Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 43
Текст из файла (страница 43)
С другой стороны, радикал И (А) ве обязательно является нильидеалом (см. ниже врвмер $); тем более И (А) не обязан быть нпльпотентвым идеалом; может случиться, что (И (А))з = И (А), хотя все элементы его нильпотептны (упражнение 2). Олкдствик 4. Радикал произведения семейства колец (А„)„ег равен произведению радикалов Я (А,). В самом деле, в произведении ИА, обратимы слева те влем> менты, проекции которых на каждое А, обратимы слева. Твогкма 2. Пусть А — кольцо, 1 — его левый идеал.
Включение( ~ Я (А) выполняется тогда и только тогда, когда 1ЛХ ~ М для любого А-модуля ЛХ конечного типа, не сводящегося к О, Если модуль М конечного типа и ~ (0), то Я (М) ~ М (и'2, предложение 1); следовательно, при 1с-Я (А) и 1М Ф ЛХ (следствие 1 предложения 6), Обратно, если для любого А-модуля ЛХ ~ (0) конечного типа (ЛХ ~ М, то, в частности, для простого А-модуля 8 будем иметь 18 = (0), то есть 1сЯ(А) (предложение 6). П р и м е р ы.
1) Кольцо А формальных степенных рядов от р переменных с коэффициентами ив поля К является кольцом целостности (гл. 1Ч, $ 5, и' 3, теорема 1); его обратимыми алементами являются формальные ряды со свободным членом ~ 0 (гл. 1Ч, $5, и' 6, предложение 4). Формальные ряды беа свободного члена составляют в А единственный максимальный идеал, то есть радикал кольца А. Единственным кильпотентным элементом радикала является О.
'Более общее утверждение: радикал локального кольца является его единственным максимальным идеалом., Заметим, что поле дробей кольца А без радикала, так что подкольцо кольца без радикала может иметь радикал ~ (0). 2) Пусть С вЂ” кольцо целостности; всякое кольцо многочленов А = С [Х,)„ег, где мне>местно Х непусто, является кольцом без радикала.
В самом деле, пусть 1 б А и 1 ~ 0; тогда многочлен 1 — (е при любом у ~ А степени 0 будет иметь степень т 0 н, следовательно, необратим'в А . 13 Н. Втрбакк полупгостык мОдули и НОльцА гл, чпь $ б 194 Заметим, что если В =- К [[Х»..., ХгП, где К вЂ” поле, и А = = К [Хы ...., Хя[ — подкольцо в В, то И (А) = (О), а А П И (В) Ф Ф (О) (см.
пример (). 3) Пусть Š— множество, К вЂ” поле, А — кольцо функций, определенных в Е и принимающих значения в К, содержащее все константные функции. Кольцо А без радикала. В самом деле, отображение / -+ / (х) при любом х ~ Е является гомоморфизмом кольца А на К, так что его ядро является в Л максимальным идеалом т„; пересечение всех дт„очевидно, равно (0). Пгвдложвнив 8.
Пусть А — кольцо главных идеалов. а) Кольцо А без радикала тогда и только тозда, когда А тело или множество максимальных идеалов А бесконечно. б) Факторкольцо А/Ах без радикала тогда и только тогда, когда элемент х не делится ни на какую степень экстремального элемента с показателем ' ь 1 (или, как говорят еи(е, допуская вольность речи, х не имеет кратных множителей *)).
Пусть (рв) — система представителей экстремальных элементов. Максимальными в А являются идеалы Ар„; для того чтобы элемент з б А принадлежал И (А), необходимо и достаточно, чтобы он делился на все р, откуда следует а). Пусть х = и 11 р"ив о и разложение элемента х на экстремальные элементы; кольцо А/Ах нзоморфно тогда произведению колец А/Ар„"о (гл. ч11, $1, п' 2, предложение 4). Если все и равны 1, то кольца Л/Ар являются полями и кольцо Л/Лх полупросто. С другой стороны, идеалы кольца А/Ар,"о являются каноническими образами идеалов Ар™, 0<т<п. Таким образом, при п„) 1 радикал кольца А/Ар,"и равен Ар /Ар,"", и следовательно, факторкольцо А/Ах имеет ненулевой радикал.
3 а м е ч а ни е. Полояспв А = и, получаем, что факторнольцо кольца беэ радикала может иметь радикал, отличный от нуля. Кроме того, для любого Я-модуля М выполняется равенство И (и) М= (О), хотя радикал модуля М может быть отличен от (О) (например, при Ы = ю/(р"), где р — простое число, я ) т). е) Вольность состоит в том, что всякий элемент кольца А делится на любую степень любой единицы кольца А. 195 РАДИКАЛ г1.,Радикал сгт>тпынови кольца тг аршинова модуля ТеоРемА 3. Радика.а ортинова кольца А является наибольшим нильпотентным двусторонним идеалом кольца А.
Всякий нильпотептный двусторонний идеал кольца А содержится в И= Я(А) (и' 3, следствие 3 теоремы 1). Надо доказать, следовательно, что Я нильпотентен. Последовательность Я" убывает, так что существует такое целое р, что Я" = — Яэы =... ... = а. Предположим, что а Ф (0).
Существуют такие левые идеалы (, что а( Ф (О), например ( = Я. Пусть т — мини' мальный элемент множества таких левых идеалов. Имеем а(Ит)= (аИ) т = ать (0); так как Итс=т, то, по определению т, Ит = т. Доказав теперь, что А — модуль т конечного типа, мы получим отсюда противоречие (и' 3, теорема12). Однако, по предположению, найдется элемент х ~ т такой, что ах чь (0); следовательно, а (Ах) чь (0); поскольку Ах ~ щ, то, по определению Ф, Ах = т, что и ваканчивает докавательство. Следствие. Радикал коммутап>ивного артинова кольца является множеством его нильпотентных элементов, Теогемя 4, Для того чтобы модуль М был полупростым и конечной длины, необходимо и достаточно, чтобы он был артиновым и бег радикала. Уже известно, что полупростой модуль конечной длины артинов ($2, и' 1, предло>кение 3) и без радикала (и' 2, следствие предложения 5).
Обратно, пусть М вЂ” артинов модуль без радикала, и Я вЂ” минимальный алемент множества конечных пересечений максимальных подмодулей модуля М. Если Х вЂ” максимальный подмодуль в М, то Х П г> ~ г>, откуда по определению Л, >У П Л = Л, то есть г> ~ Х.
Отсюда, ввиду И (М) = (0), следует, что )> = (0). Следовательно, в М существует конечное семейство максимальных подмодулей М, (1 <1< и), пересечение которых равно (О). Отображение х — >- (Л (х)), где /> — канонический гомоморфигм модуля М на М>'М>, является инъективным гомоморфиамом модуля М в Ц (М!М,) = Р; но модуль Р >=> >3* полгпгостык модгли и кольца гл.
тыь г 6 полупрост и имеет конечную длину; следовательно, модуль М также полупрост и имеет конечную длину. Сллдствнк 1. Фактормодуль артинова модуля по его радикалу является полупростым модулем конечной длины. В самом деле, этот фактормодуль артннов (з 2, и' 1, предложение 2) и без радикала (и' 2, следствие 1 предложения 3). Слвдствив 2, Для того чтобы кольцо было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы оно было артиновым и бег радикала. В самом деле, если кольцо А полупросто, то модуль А имеет конечную длину ($4, и' 1, аамечание).
Слвдствив 3. Факторкольцо артинова кольца по его радикалу полупросто. В самом деле, модули А,/Ж (А) н (А~Я (А)), имеют одно и то же кольцо гомотетий н, следовательно, одни н те же подмодули; поэтому утверждение вытекает из следствия 1, Слвдствив 4. Д'ля того чтобы кольцо А было простым, необходимо и достаточно, чтобы оно было артиновым и единственными его двусторонн ми идеалами были (0) и А.
Иавестно уже, что эти условия необходимы. Онн и достаточны, так как при их выполнении Я (А) = (0), то есть кольцо А полу- просто (следствие 2) н, по определению (з 5, и' 2, определение 2), просто. Пгвдложвннв 9. Пусть А — коммутативное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны; а) Кольцо А артипово и не содержит нильпотентных элементов чь О.
б) Кольцо А полупросто. в) Кольцо А — прямая композиция конечного числа полей. Согласно следствию теоремы 3 утверждение а) равносильно тому, что кольцо А артнново и без радикала; следовательно, эквивалентность а) и б) является частным случаем следствия 2 теоремы 4. Эквивалентность б) и в) вытекает из предложения 12 н теоремы 2 $ 5, в' 4, 197 РАДИКАЛ Сллдствие.
Всякая подалгебра конечного ранга коммутативной алгебры беэ радикала над полем К является прямой композицией конечного числа полей, каждое иэ которых является расширением конечной степени поля К. В самом деле, всякая такая подалгебра является артиновым кольцом и не содержит нильпотентных элементов ~ 0 (аамечанне к следствию 3 теоремы 1).
б. Модули иад атгтггинооым кольцом Пггдложение 10. Пусть А — артиноео кольцо, М вЂ” А-модуль. Следующие свойства эквивалентны: а) Модуль М полупрост; б) И (А) М = (О); в) Кольцо гомотетий Ам полупростпо. В самом деле, всякий модуль над иолупростым кольцом полу- прост ($ 5, и' 1, определение 1), так что иа в) следует а); аннулятор любого полупростого А-модуля содержит И (А) (и' 3, предложение 6), так что иа а) следует б); на конец, иа б) следует в), так как равенство И (А) М = (О) влечет, что кольцо Ам иеоморфно факторкольцу А/И (А); это факторкольцо полупросто (и' 4, следствие 3 теоремы 4), так что кольцо Ам также полупросто ($ 5, и' 3, предложение 10). Пввдложение 11.
Пусть А — артиново кольцо. Существует лишь конечное число классов простых А-модулей, и оно равно числу простых компонент 1бакторкольца А/И (А). Иа оиределепия радикала следует, что всякий простой А-модуль можно рассматривать как простой (А/И (А))-модуль, и наоборот. Но кольцо А/И (А) полуиросто (и' 4, следствие 3 теоремы 4), так что достаточно применить предлон;ение 11,т 5, и' 3. Пгедложение 12. Пусть кольцо А обладает таким нильпотентным двусторонним идеалом п, что А/и полупроото (например, А — артиново кольцо) и М вЂ” произвольный А-модуль. Следующие три свойства эквивалентны; а) М имеет конечную длину; б) М артинов; в) М петеров.
198 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. РЦ1, 1 6 Известно, что а) влечет б) и в) (3 2, п' 1, предложение 3). Предположим теперь, что модуль М артинов (соответственно петеров) и и" = (0). Достаточно покааать, что модули МАМ, кМспэМ,..., и" 'М)лэ М имеют конечную длину.
Однако ати модули аннулируются идеалом и, то есть их можно рассматривать как (А!п)-модули, и притом полупростые (А/п)-модули. Так как они, сверх того, артиновы (соответственно нетеровы) (т 2, пч 1, предложение 2), то наше утверждение докааано (т 2, и' 1, пример 2). Следствие 1. Луста А — артиноео кольцо, М вЂ” А-модуль конечного типа. Тогда модуль М имеет конечную длину. В самом деле, модуль м артинов (3 2, и' 3, предложение 7). Следствии 2. Для любого артиноеа кольца А модуль А, имеет конечную длину. Это утверждение — частный случай следствия 1. Следствие 3.
Всякое артиноео кольцо неверово. ПРедложкние 13. Лусть А — коммупсатиеная алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем К. Всякий простой А-модуль имеет над К размерность 1. Всякий простой А-модуль можно рассматривать как простой модуль над кольцом А /Я (А); следовательно, можно ограничиться случаем, когда кольцо А полупросто. Тогда всякий простой А-модуль является простым модулем над одной на простых компонент кольца А (1 5, и' 3, предложение 11). Но кольцо А коммутативно, а поле К алгебраически аамкнуто, так что простые компоненты кольца А являются полями, изоморфными К (и 4, следствие предложения 9); отсюда и следует утвергкдение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
