Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 38
Текст из файла (страница 38)
С другой стороны, А, являются простыми подмодулямв в А-модуле А,; следовательно, модуль А, полупрост, и А — полу- простое кольцо. Опгеделение 3. Минимальные двусторонние идеалы полупростого кольца называются его простыми компонентами, Пгедложение 10. Всякое факторкольцо полупростого кольца А полупросто и изоморфно некоторому подколацу в А, то есть сумме простых компонент кольца А. Это следует из предложения 5 и' 1 и теоремы 1. Если а — деустсропппй идеал кольца А, то всякий (А/с)-модуль отождествляется с некоторым А-модулем и, следовательно, пслупрсст; зто непосредственно доказывает первую часть предлсжепая 10. поостыв и полтпгостыв кольца Пгвдложввив 11.
Пусть А — полупростое кольцо, (А;),к,<„— семейспыо его простых компонент. Существует г классов простых А-модулей. Для любого простого А-модуля Я существует единственный индекс 1 (1<г<г) такой, что А,Я ~ (О); модуль Я, рассматриваемый над кольцом А;, прост. Ввиду предложеиия 6 и' 1 достаточно заметить, что всякий мияимальиый левый идеал кольца А является минимальным левым идеалом в одной и только в одной компоненте А, (гл. 1, 4 8, в' 10, предложение 6). Простые А-модули, соответствующие яомиоивнтам А~ и АЬ г ~ Р не изоморфны, даже если А~ и Ау иаоморфны как кольца: в самом деле, они имеют различные аянуляторы, 4.
Стпроентее тьростпыш теолет1 Твогимя 2. а) Пусть М вЂ” векторное пространство конечной рагмерности г над телом Р. Кольцо А = Хр (М) эндоморфигмов модуля М (игоморфное кольцу матриц М„(Рь) над противоположным телом Р' (гл. 11, з 6, и' 5)) просто. Иэотипный модуль А, имеет длину г. А-модуль М прост. б) Обратно, пусть А — просгяое кольцо, модуль А, имеегп длину г, М вЂ” простой А -модуль, .Р— тело, коммутант модуля М. Тогда г?1шо (М) = г и гомоморфизм а -+- ам кольца А в Хр (М) биектпивен. Пусть М вЂ” векторное пространство конечной раамеркости г иад телом Р и А = Хо (М). А-модуль М точный и'простой Я 3, и' 1, пример 2). С другой стороны, пусть (хы хг,..., х„)— базис М иад телом Р.
Отображение а-~ (ахы ахю..., ах„) является ияъективиым А-гомоморфизмом модуля А, в М' (т 2, и' 3, лемма 4); ясно также, что этот гомоморфизм сюръективев (гл. ?1, т 2, п' 4, следствие 2 предложения 3). Следовательно, модуль А, — изотипный модуль длины г, и кольцо А просто (н' 2, предложение 8). Обратно, пусть А — простое кольцо и М вЂ” простой А-модуль. Коммутаит Р модуля М вЂ” тело (4 4, и' 3, предложение 2). Кольцо гомотетий модуля А, совпадает с его бикоммутактом (з 1, и' 2, следствие предложения 4); бикоммутакт модуля В, то есть Хо (М), отождествляется с бикоммутаитом модуля А„то есть с кольцом А: 172 полупгостыв мОдули н кольцА гл. уш, $ ь зто следует из предложения 8 з 1, и' 3, н того, что модуль А,— изотипный типа М (и' 2, предложение 8). Наконец, размерность Мш„(М) конечна, так как в противном случае кольцо ло (М) было бы не артиновым (з 2, и" 3, пример 4), что неверно (в' 1, пример 1); из первой части доказательства следует равенство й1шо (М) = 1л (А,).
3 а м е ч а н и е, Пусть А — простое кольцо. Так как все простые А-модули А-изоморфны, то тело Р в теореме 2б) однозначно, с точностью до изоморфизма, определяется заданием лишь кольца А. Отсюда получается следствие: пусть М, (соответственно Мг) — конечномерное векторное пространство над телом Р, (соответственно Рг); если кольца ьо, (М,) и ьв, (Мг) изоморфны, то тела Р, и Рг нзоморфны и о1шо, (М,) = 41шв, (Мг). Слвдствив 1. Пусть А — кольцо, М вЂ” иготипный полупростой А-модуль конечной длины г, В = л"л (М). Кольцо В просто.
и 1г(В,) = г. По предложению 4 $4, и' 4, кольцо В изоморфно кольцу эндоморфнзмов некоторого векторного пространства размерности г, и достаточно, следовательно, применить теорему 2. Слвдствиз 2. Пусть М вЂ” модуль над полупростым кольцом А. Контрмодуль модуля М конечного типа, бикоммутант модуля М совпадает с кольцом гомотетий. Второе утверждение следует из первого (1 4, п' 2, следствие 1 теоремы 1), Так как модуль М обладает лишь конечным числом изотнпных компонент (и' 3, предложение 11), то доказательство сводится к случаю, когда модуль М изотипен. Тогда длина его контрмодуля равна размерности простого А-модуля Я над его коммутантом Р (т 4, и' 4, предложение 4в)). Однако модуль Я можно рассматривать как простой модуль над одной из простых компонент кольца А (и' 3, предложение 11).
Тогда по теореме 2 размерность йпп„ (Я) конечна. Слвдствив 3. Если кольцо А просто, то и его противоположное кольцо А' просто, и 1л (А,) = (лг (А,') = (лг (А„), В самом деле, отображение У вЂ” ~-'У является изоморфизмом кольца матриц ЗХ„(Р') на кольцо, противоположное кольцу матриц М, (Р) (гл. 11, 3 6, пг 6). 173 ЦРОстыв и полупРОстык кольцА Пгкдложкник 12.
а) Центр простого кольца А — поле. Более точно, если А — кольцо Хр (М) зндоморфизмов векторного пространства М над телом П, то центр А есть кольцо центральных еомотетий М, изоморфное центру тела Р. б) Центр полупростого кольца является прямой композицией центров его простых компонент. ц'тверждение а) следует из описания центра кольца эндомор$измов свободного модуля (гл. 11, $2, и' 5, следствие 1 предложения 5). Утверждение б) немедленно вытекает из определения произведения колец (см. гл.
1, З 8, и' 11). Слкдствив 1. Полупростое кольцо просто тогда и только тогда, когда его центр — поле. Если А — простая алгебра над полем К, то ее центр Я является расширением поля К; если Е = К, то алгебра А. называется центральной. Слкдствик 2. Всякая простая центральная алгебра А конечноео ранга над полем К К-игоморфна алгебре матриц М„(Ь), где Ь вЂ” тело с центром К конечного ранга над К. В самом деле, если Хр (М) (обозначения из предложения 12) имеет конечный ранг над центром К тела П, то тело П имеет конечный ранг над К (гл. 111, $3, и' 2). Слкдствик 3.
Всякая простая алгебра конечного ранга над алгебраически замкнутым полем К центральна и изоморфна некоторой алгебре матриц М, (Л~. Это вытекает из следствия 2 и леммы 3 з 4, и'3. б. Полупростпые подалгебры полупростыгс алгвбр АЕОРемА 3. Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле, А полупростая алгебра конечного ранга над полем К,  — полу- простая подалгебра в А, содержащая ее единицу. Пусть Я вЂ” простой А-модуль, Т вЂ” простой В-модуль. Тогда Я, рассматриваемый как В-модуль, имеет изотипную компоненту типа Т; длина атой компоненты конечна и равна длине изотипной компоненты типа В тензорного произведения А фг Т, рассматриваемого как А-модуль, а также длине изотипной компоненты типа В 174 полупростые мОдули и кОльцА ГЛ.
УПП 1 б в Хв (А, Т), рассматриваемом как А-модуль (см. гл. 111, приложение 11, и 7) *). Все рассматриваемые модули конечномерны над К (п' 4, теорема 2б)) н унитарны, так как, по предположению, А н В имеют одну и ту же единицу. Так как поле К алгебраически замкнуто, то тело гомотетий Кз (соответственно Кт) совпадает с коммутантом модуля Я (соответственно Т) (з 4, и' 3, следствие 1 предложения 2). Иа предложения 3 3 4, в' 3, и его следствия вытекает поэтому, что длина изотипной компоненты типа Т в Я (рассматриваемом как В-модуль) ранна й(шлХв (Т, Я) = 41шкХв (Я, Т).
Иа тех же соображений длина изотипной компоненты типа Я в А ЭвТ (рассматриваемом как А-модуль) равна ОИшкХ„(А ЭэТ, Я), а длина изотипной компоненты типа Я в Хв (А, Т) (рассматриваемом как А-модуль) равна ОИшк Хл (Я, Хэ (А, Т)). Наконец, в предложении 7 гл. 111, приложение 11, п' 8, установлены канонические иаоморфиамы абелевых групп Хл(1ЭэТ, У) — «Хв(Т, Хл(А Я))=Хэ(Т, Я) и Хл(Я Хв(А. Т))«Хв(А ЭлЯ Т) Хв(Я Т)' из определения этих изоморфиэмов немедленно следует, что они будут также иаоморфиамами для структур рассматриваемых векторных К-пространств; отсюда и следует теорема. Слвдствик.
Пусть А, В, К те же, что в теореме 3, 1л — минимальный левый идеал в А, 1э — минимальный левый идеал в В, кл — левый идеал в А, порожденный 1е. Тогда (пл 1А1 1(л ' 1В1в (1» где в правой части („ рассматривается как В-модуль. Идеал пл состоит из сумм ч~~ а~хи где а, бА, х; Е )э. Но Я-били- 1 нейное отображение (а, х) -«ах проиаведения А х'1э в А обладает свойством (аб) х = а (Ьх) для любого 6 б,В; повтому ему соответствует (гл. 111, приложение 1, и' 1, предложение 2» Я-линейное отображение у тензорного произведения А Ээ 1в в А; это отображение 1р также и А-линейно; идеал пл является обра- з) Нзпомням (тзм же), что для атой структуры произведение аи элементе и С Аи и-гомоморфизмз и злгебры А з Т есть В-гомоморфизм 1~и (1а).
175 пэостыв и полэпгостыв кольца зом при отображении вр А-модуля А Зэ1л. Ввиду теоремы 3 остается лишь доказать, что у инъектнвно. Пусть е ~ 1в — такой идемпотент, что 1в = Ве (и' 1, предложение 7); всякий элемент модуля А Эв 1э может быть записан в виде а 8 е, а ~ А, и соотношение О = ~р (а 8 е) = ае влечет О = (ае) 8 е = а 8 (е') = = а 8 е, откуда и следует доказываемое утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
