Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поназать на примере, что подмодули Рь не обяэательно устойчивы относительно автоморфивмовмодуля М(взяв в качествеМ Е-модуль конечной длины, врпмевить упражнение 9). 11) Пусть А — кольцо, и А-модули А и Ап имеют конечную длину отождествим модуль Ап с сопрюкенпым модулем к А,, Для всякого левого идеала 1 (соответственно всякого правого идеала г) ортогональный к лему в Ал (соответственно в А,) идеал 1э (соответственно эе) является правым аннулятором идеала 1 (соответственно левым аннулятором идеала г) в А.
Будем рассматривать следующие свойства'кольца А: а,) Для любого простого левого А-модуля сопряженный модуль прост илн сводится и О. аэ) Для любого простого правого А-модулл сопряженный модуль прост нлн сводится к О. ()э) Для любого минимального левого идеала 1 1оо=1. ()л) Для любого правого минимального идеала г гсе = г. у) ДлинымодулейА иАс равны. а) Покаеать, что иэ условия ()л) следует аэ). Если условие п,) выполнено, то длина модуля Ье, сопряженного к левому А-модулю Е конечной длины, не превосходит этой длины (заметить, что для любого подмодуля М модуля Е фактормодуль Ь'"/Мо иаоморфен некоторому подмодулю сопряженного к М модуля Ме; провести индукцию по длине модуля К).
б) Покапать, что любые два иа условий а ),ас)и у) влекут третье (испольэовать а) и тот факт, что всякий левый А-модуль конечной длины изоморфен некоторому фактормодулю модуля А",). При выполнении этих условий кольцо А наэывается ияаолютпенмм. В этом случае для любого левого или правого А-модуля Е конечной длины длины модуля Е и его сопряженного Е* равны и модуль Ь'* отождествляется с Е, для любого подмодуля М в Е выполяяется равенство Л/сс = М, и его сопряженный модуль иэоморфен Ее/Ме; кроме того, для любых двух подмодулей М и К модуля Е имеем (М () /т')е =- Ме+ Л/э. 12) Подмодуль М модуля Е называется накрытым, если в фактор- модуле Е/М существует простой подмодуль.
Модуль Е называется иелуартиновпн, если всякий его подмодуль, отличный от Е, накрытый. Всякий артинов модуль полуартпнов. Всякое векторное простраяство полуартииово. а) Пусть Š— модуль, Р— его подмодуль, отличный от Ь'. Для того чтобы модуль Ь' был полуартинов, необходимо и достаточно, чтобы модули Р и Е/Р были полуарткновы. (Для докаэательства того, что если модуль .Е полуартинов, то и модуль Р полуартинов, рассмотреть максимальный элемент в множестве подмодулей М модуля Е таких, что М () Р = (О).) коммгтант и викоммутант полупгостого модуля 157 б) Если модуль Е является прямой суммой некоторого семейства полуартиповых подмодулей, то и Е полуартивов.
в) Пусть К вЂ” тело, А — кольцо Кк. Покааать, что А-модуль Аз является произввдеиием простых А-модулей, во ие полуартииов. (Рассмотреть в кольце А прямую сумму Я мивимальиых левых идеалов и показать, что А-модуль Аг/8 ве содержит простых А-модулей.) г) Показать, что вели кольцо А ветерозо, то всякий полуартивов А-модуль является прямой суммой артякозых подмодулей.
д) Пусть Š— векторное пространство бескояечяой раамервости, А подкольцо, порожденное в ,У (Е) звдоморфизмами ковечвого ранга и единицей. Показать, что А-модуль А, полуартивоз (использовать а) и б)), во ве является суммой своих артииовых подмодулвй (см. $ б, упраживвие 3). $4. Коммутант и бикоммутант полуиростого модуля У, Бпкоммупзатвтп нолупростого модуля Пусть М вЂ” полупростой А-модуль,  — его бикоммутант. Очевидно, всякий В-подмодуль модуля М является его А-подмодулем.
Обратно, всякий А-подмодуль модуля М является прямым слагаемым (у 3, пч 3, предложение 7) и, следовательно, ($ $, и' 3, предложение 5а)) В-подмодулем. С другой стороны, пусть Л', и Л'з — подмодули модуля М. Л(, и Л(т А-изоморфны тогда и только тогда, когда они В-иаоморфиы (у 1, и' 3, предложение 5в)). Иа предыдущего следует, что справедливо утверждение а) в следующем предложении: Пгвдложкнив т.
Пусть М вЂ” полупростой А-модуль,  — его бикоммутант. а) Для того чтобы модуль М был простым (соответственно ивотипным полупростым) А-модулем, необходимо и достаточно, чтобы он был простым (соответствекко изотипным полупростым) В-мадулелг. б) Пусть (Мь)ьеб — семейство изотипных компонент модуля М и Ьь, Ь Е В, — сужение Ь на Мь. Отображение Ь -~.
(Ьь) является тогда изоморфизмом кольца В на произведение бикоммутантое компонент Мь. 158 полтпгостыи модтли и кольца гл. тш. ! 4 в) Если М вЂ” изотипный полупростой модуль и  — сзо простой подмодуяь, то канонический гомоморфизм Ь->- Ьв кольца В в бикоммутант Вв модуля В является изомору>измом В на Вз. Утверждение в) является частным случаем предложения 8 з 1, и' 3. Остается доказать б), Ясно, что отображение Ь->- (Ь!) является инъективным гомоморфизмом кольца В в произведение бикоммутантов компонент Мю С другой стороны, пусть сю Л с Я,— элемент бикоммутанта модуля Мю Существует единственный 7-эндоморфизм с модуля М, суя!ение которого на любой М! совпадает с сю Достаточно показать, что с б В. Подмодули Мь устойчивы относительно любого эндоморфизма с( Е Хз (М) (з 3, н'4, предложение 10), следовательно, сужение с(! эндоморфизма на М! принадлежит Хл (М!).
По предположению, с(ь и сь перестановочны при любом Л б (8, так что эндоморфизмы а и с перестановочны, что и заканчивает доказательство. 2. Теорема плот>!остать Ламма 1. Пусть М вЂ” пояупростой А-модуль, Ь вЂ” элемент бикоммутанта В модуля М и х Е ЛХ. Существует элемент а ~А такой, что ах = Ьх. В самом деле, А-подмодуль Ах является В-подмодулем (н' 1), так что Ьх Е Ах.
Ткогвма 1 (теорема плотности). Пусть ЛХ вЂ” полупростой А -модуль, и Ь вЂ” элемент бикоммутанта В модуля М. Для любой конечной последовав>еяьности (х,)><>~„элементов модуля М существует элемента Е А такой, что ах; = — Ьх! дяя всех1 <><и. Пусть 1>, ! ~ (1, п~,— канонический изоморфизм модуля М на >-й мкожитель модуля М". Вследствие предложения 8 3 1, и' 3, в бикоммутанте модуля М" найдется элемент Ь' такой, что Ь'1! = 1>Ь, 1<><п. Применив лемму 1 к элементу х = (х!) = = ~ 1! (х,) модуля ЛХ", получим, что существует элемент а Е А >=! такой, что ах= Ь'х= ~ Ь'Х>(х!) ~ 1>(Ьх!), >=1 >=1 откуда следует равенство ах; = Ьх>, 1 < ! <и, номмутант и викоммттант полупгостого модуля 159 Слвдствив 1.
Пустпь М вЂ” полупростой А-медуль. Если его контрмодуль является модулем конечного типа, то бикоммутант В модуля М совпадает с его кольцом гомотетий Ам. Пусть Ь Е В. Нужно доказать, что существует элемент а с А такой, что Ь = аы. Пусть М' — контрмодуль модуля М, и с — конечная система его образующих. По теореме 1 в коль.
це А существует элемент а такой, что Ь и аы совпадают на мно>кестве р; но тогда Ь = ам, так как Ь и аы являются эндоморфизмами модуля М'. Следствии 2. Пусть М„Мз,..., ̄— простые А-модули различных ассов, и предположим, что контрмодули их — конечного типа. Пусть а», аг,..., а„— элементы кольца А. В кольце А существует элемент а такой, что ам, = (а»)мп 1<»(п. В самом деле, пусть М вЂ” прямая сумма модулей М;. А-модуль М полупрост, и его изотипными компонентами являются М;.
Следовательно, семейство (а;)и, определяет элемент Ь бикоммутанта.А-модуля М (предложение 1). С другой стороны, контрмодуль модуля М вЂ” конечного типа (всякий эндоморфизм одного из модулей М, может быть продолжен до эндоморфизма модуля М). По следствию 1 в кольце А найдется алемент а такой, что ам = Ь, что и доказывает следствие. Пусть  — кольцо зядоморфизыов абеаевой группы Р, и А и В— яодкоаьца в В. Подкольцо А называется плотным относительно В, если для всякой конечной последовательяостя (г»)»» „злемектов и в всякого злемевта Ь б В существует и б А такой, что »=Ьг», »<»< .
'Коли в группу Е введена дискретяая топология, а в кольцо В— топология простой сходимостк (Общ. топол., Ров., 1»3, и' 2), то зто свойство выражает тот факт, что А плотно относительно В в топологии пространства б., Теорема 1 может быть выражена тогда слодующии образок: если А-модуль М полупрост, то его кольцо гомотетий плотно в своем бикоил»ухаете.
'Заметим, что пространство В отделимо и умножение в В яепрерывво. Следовательно, комыутавт всякого подмножества замккут в Л, так же, как и его бикоимутакт. Следовательно, бикоммутавтоы полупростого модуля В является заиыкаиио в Л кольца его гоыотетвй., полупгостые ИОдули и колы1А ГЛ. УП1, $4 160 З. Коммутиапие простиого моду вм Лкммь 2. Пусть М и зт' — А-модули, и 1 — ненулевой гомоморфигм модуля М в >1'. Если модуль М прост, то 7' инъективел', . если модуль >1' прост, то 7' сюръевиивен.
Если модули М и Х просты, то 7 биективен. В самом деле, образ гомоморфизма 7' является ненулевым подмодулем в Х, а ядро — подмодулем в М, отличным от М. Это доказывает два первых утвер>кдения. Третье утверждение следует из двух первых. Пгкдложкник 2 (лемма Шура). Коммутант простого модуля является телом. В самом деле, по лемме 2 всякий ненулевой элемент этого коммутанта обратим. Таким образом, контрмодуль простого А-модуля М является векторнь>м пространством над коммутантом Р модуля М, и размерность его над Р пе обязательно конечна; бикоммутант модуля М является кольцом эндоморфизмом Хо(М) этого векторного пространства, и кольцо гомотетий модуля М плотно в Хо(М) (теорема 1).
Слкдствпк (теорема Бернсайда). Пусть А — алгебра над алгебраически замкнутым полем К и М вЂ” простпой А-модуль конечной размерности над К. Тогда Ам = Х» (М), и коммутант модуля М есть иоле Кы гомотетий ам, где а пробегает К. В самом деле, коммутант Р модуля М является телом (предложение 2), содер>кагцимся в я» (М) и содержащим в своем центре поле Кы. Покажем, что Р == Хм, чем ввиду следствия теоремы 1 и закончится доказательство. Кольцо Х» (М), а следовательно н Р, имеет конечный ранг над полем Кы (гл.
11, 4 7, и' 6); следовательно, и Р имеет конечный ранг над Км. Поэтому следствие вытекает иа леммы." Лкммл 3. Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле, Р— его надтело, имеющее над К конечную размерность и содержащее его в своем центре; тогда Р = К. коммутлнт и викоммутлнт полупростого модуля 161 В самом деле, пусть х Е Р. Подтело К (х) тела Р, порожденное элементом х, является коммутативным расширением конечного ранга над К и, следовательно, совпадает с К.
Отсюда хЕ К Слкдствик 2. Пусть А — алгебра над азгебраически замкнутым полем К, и Мб, Мю..., ̄— простые А-модули различных классов, конечномерные над К. Пусть с~ ч Хк (М;), 1 <?< и; существует элемент а Е А такой, что ам. = — сн 1 <[<и. Это вытекает из предыдущего следствия и следствия 2 теоремы плотности (теорема 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
