Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Предположим, что подмодуль /У устойчив относительно любого элемента а некоторого подмножества А кольца 14< пусть а, а б А,— эндоморфпзм абелевой гру<шы М//У, получаемый иэ эндоморфизма а путем факторизации; отображение ар — ра в подмодуле /У является нулевым и, следовательно, путем факторизации определяет некоторое отобрал<ение ая модуля М//у в /У. Подмодуль /у имеет в М дополнение, устойчивое относительно любого а б А, тогда и только тогда, когда существует гомоморфиэм </ абелевой группы М/<У в абелеву группу <У такой, гго для любого а б А выполняется равенство ая = </а — а</. 2) Пусть М вЂ” абелева группа, (е — к<щьцо ее эндоморфнзмов, А — подкольцо в 4), содерл<ащее единичный элемент (е, А' — коммутант и А" — бикоммутант А и 4<.
КОММУТИРОВАНИК а) Пусть А-модуль М является прямой суммой конечного семейства подмодулей (д!!) „ и (р;) <,. „ — семейство проектирований, ассоциированное с раэложением М = ~~~ )у!. Показать, что кольцо А' 1=! есть прямая сумма правых идеалов р!Л' (соответственио левых идеалов А'р!). б) Обратяо, пусть А' есть прямая сумма конечного семейства (т!)!<!<, правых идеалов (соответственно конечного семейства (1!)!<!< левых идеалов); тогда А"-модуль М раалагается в прямую сумму некоторого семейства т подмодулей )у! (1 ( ! ( т), причем т! (соответствеико 1;) есть множество таких элементов и б А', что к (М) <- У! (соответственно и ()то) = (0) для любого ! ~ !), в) Пусть выполняются условия, укаэанные в а). Определить канонический иэоморфиэм абелевой группы Хл (Х1, Лу) яа подгруппу р!А'р! группы А'! показать, что при ) = ! это отображение явлнетси лвоморфиэмом колец.
3) Пусть А — кольцо. а) Для того чтобы элемент е б А был идемпотектом, необходимо н достаточно, чтобы отображение х — ~. ех было проектированием в А-модуле А, (илп отображение х -~.хе было проектированием в Ае-модуле А,). б) Пусть е„еэ — кдемпотепты кольца А. Показать, что абелева группа сл (Ае!, Ает) иэоморфка (е!А) () (Леа) = е,Аеэ, а кольцо Хл (Ае!) иэоморфно кольцу е!Аео в) Пусть ео еэ — идемпотенты кольца Л. Показать, что следующие трп условия эквивалентны: и) Ле! = Лет, 'р) е!еэ =- е! и еэс! =- еэ', у) (1 — е,) А = (1 — еэ) А. Иэ этих условий следует, кроме того, что в кольце А существует обратимый элемент а такой, что еэ — — асга-' (воспольэоваться утверждением а) и упражнением 1а)).
г) Пусть е„гэ — пдемпотенты кольца А. Покааать, что следующие трн условия эквивалентны: и) левые А-модули Ае, и Аеэ ивоморфны; ()) правые Л-модули е,Л и еэА иэоморфны; у) существуют элементы х, у б А такие, что ху = еэ, ух = е, (воспольэоваться утверждением б)). При выполяении этих условий идемпотенты е! и сэ называются эквилалекжкыл!и. д) Если идемпотенты е, и еэ эквивалентны н принадлежат центру кольца А, то они равны. е) Пусть(е!) <! „, П!) ! „— семействалидемпотентовкольцаА и для любых индексов ! и ! выполняются равеяства е!еу = — б! е., Я = Ь!)(!.
Показать, что если идемпотенты е! ну! при любом 1, 1 < ! ~ л, с о эквивалентны, то е = Ч~" „е! и ! = ч~~ ~г! — эквивалентные ядемпотекты. !=.1 !=! полупгостык модули и кольца гл. чггц Г 1 4) Пусть М вЂ” векторное пространство размерности 3 над полем К, (св ез, сз) — его базис над полем К и А — подкольцо в сл (М), состоящее на зндоморфизмов, ю~еющкх относительно базиса (с„ез, ез) матрицу вида (а, Ь, с — произвольные элементы поля К).модуль М, рассматриваемый как А-модуль, является прямой суммой подмодулей гт = К'г + + Кез и Р = Кез.
а) Показать, что бикоммутавт В А-модуля М совпадает с А, каноническое отображение Ь -~- Ья бикоммутавта В в бикоммутант модуля К нвъектввно, во ве сюръективво, а яавоническое отображение Ь -ь Ьр бикоммутанта В в биноммутант модула Р сюръективво, но не нвъективно. б) Получить из а) пример модуля М' над кольцом Л' и прямого множителя Л" в М', для которых каноническое отображение бикоммутанта модуля М' в бвкоммутант модуля В' яе было ни ивъективным, ви сюръектнввым (рассмотреть произведение М' = М Х М как модуль над кольцом Л' = А Х А). 5) Пусть Л-модуль М вЂ” прямая сумма семейства (Р,), Г свовх подмодулей, модуль Р— один из Ро Р— его бикоммутант, Предположим, что для любого индекса г 51 существует Л-нзоморфизм модуля Р„на В-поючодуль модуля Р. Показать, что каноническое отображение Ь -ь Ьг бикоммутанта модуля М в Р сюръевтивно. е6) Пусть К вЂ” поле, А = К [Х, У) — кольцо многочленов от двух переменных вад полем К, ю — идеал (Х) + (У] кольца А, п — идеал (Хз) + (Уз) кольца А, Р— А-модуль т/к.
Показать, что коьщутант С модуля Р нзоморфен кольцу А(а, где а — идеал (Хз) + + (Х У) + (Уз). Вывести отсюда, что в тенаорном произведении Р ЭО Р прн любом х Е Р выполняется равенство ~р (Х У) 8 х = 0 (~р — кавовпческое отображение модуля ж на ю!в); вывести также, что каноническое отображение а„модуля Р в Т (Я (Р)) не ивъективно и не сюръективно. 7) а) Пусть в обозначениях упражнения 6 М вЂ” А-модуль ж!а. Показать, что нанонвческое отображение рм модуля 8 (Т (М)) в М сюръектнвво, но не ннъективво. б) Привести првмер кольца А и пары модулей А-модулей Р, М таких, что отображение ()м модуля Я (Т (М)) в М ввъективво, но не сюръективио (взять Р и М таким образом, чтобы си (Р, М) = (О)). в) Получить из а] и б] пример А-модулей Р и М таких, что отображение ()ы не инъектнвво н не сюръективно (так же, как в упражнении 4б)).
8) а) Пусть Р— А-модуль, С вЂ” его коммутант, У вЂ” свободный правый С-модуль, (и,), г — базис модуля Г. Покавать, что коммутакт 135 КОМЫУТИРОНАНИН В .4-модуля М = у ЗО Р изоморфен кольцу двойных семейств (пах)< ьдг„г элементов С таких, что пРн любом Я Е Р и любом ХбУ бмьдгхг элементы и ь (х) = 0 для всех д, кроме конечного числа, а произведение (ась) (Г ь) = (ивь) двух семейств определяется формулой 1 (в) = ~~~~ ~а ь (г ь (я)). тзт Вывести отсюда, что отображение (-~- В ()) множества пс (р) в В = Хл (М) ннъектквно; привести пример, в котором это отображение не сюръективно (в качестве А взять тело, и Р— бесконечномерное векторное пространство над А). б) Показать, что в контрмодуле модуля М (над В) всякий подмодуль имеет вид У ®О Р', где 7' — подмодуль контрмодуля модуля Р.
в) Показать, что если множество 1 конечно и имеет в элементон, то кольцо В (изоморфное кольцу матриц М„(С)) является прямой суммой и левых идеалов, изоморфных коитрмодулю модуля М (см. упражнение 2а)). 9) Пусть кольцо А — прямая сумма конечного семейства левых идеалов 1О иаоморфных, каи А-модули (1 ~ 1 ~( и). а) Показать, что в кольце А существует семейство элементов еЫ (1 ~~ 1 ( п, 1 ~) ~~ п) таких, что сОем, = Ь)ьеы (би — симнол Кронекера) и 1~ — — Аеп (см.
упражнение Зг) и гл. 1, з 8, упражнение 1б). Обратно, если в кольце А существует семейство вл элементов е11 таких, что ег еа» = Ьуас;а и 1 = ем + езз+... + еа„, то левые ядеалы Аеп изоморфны, как А-модули (см. упражнение Зг)). Пусть  — подкольцо н А, состоящее иэ элементов, перестановочных со всеми ег . тогда кольцо А нзоморфно кольцу матриц м„(В), а В изоморфпо йодкольцу, противоположному коммутанту каждого на А-модулей Асм (применить предложение 4 и следствие 2 теоремы 1).
б) Пусть М вЂ” А-модуль. Показать, что )У~ — — е;;М являются В-модулями и М, рассматриваемый как В-модуль, есть прямая сумма модулей )т'; (1 ( 1 ( л); кроме того, В-модули Х~ попарно изоморфны (рассмотреть отображеяия х -ч- епв и р -~. ему) и их аннулятор есть пересечение подкольца В и апнулятора М в кольце А. Обратно, для любого В-модуля )т' на прямой сумме М л В-модулей, изоморфных )т, определить структуру А-модуля таким образом, чтобы амМ = дг. в) Каждому В-подмодулю Р модуля )У, поставим в соответствие в А-подмодуль ~ е,Р модуля М. Покааать, что тем самым определеяо г 1 биективное отображение множества В-подмодулей модуля )У, па множество А-подмодулей модуля М, строго возрастающее по включению. полупгостые ИОдули и кОльцА гл,мн,$2 166 ф 2. Артииовы и нетеровы модули 1.
Атппиновы н нетперовьс модулы Опгеделение 1, Модуль М над кольцом А называется артиновым (соответственно нетеровым), если выполняются следующие эквивалентные условия: а) всякое непустое множество подмодулей модуля М, упорядоченное по включению, имеет минимальный (соответственно максимальный) элемент; б) всякая убывающая (соответственно возрастающая) последовательность подмодулей модуля М стационарно.
Эквивалентность условий а) и б) следует из предложения 6, Теор. Мн., гл, 111, 3 6, и' 5. Для того чтобы модуль М был артииовым (соответственно нетеровым), необходимо и достаточно, чтобы он был артиновым (соответственно нетеровьпи) как модуль над своим кольцом гомотетий Ам. П р и м е р ы. 1) Векторное пространство конечной размерности артиново и нетерово. 2) Пусть (М,),е г — бесконечное семейство ненулевых модулей. Прямая сумма М = ~~З ~М, не является ни артиновым, ни ег нетеровым модулем: в самом деле, всякой бесконечной строго убывающей (соответственно строго возрастающей) последовательности (з„) подмножества множества Р соответствует бесконечная строго убывающая (соответственно строго возрастающая) последовательность подмодулей Р„= ~ М, модуля М.
~ з зз Деммь 1. Пусть М вЂ” петеров А-модуль, Š— подмножество в М. В Е существует конечное подмножество Р, порождающее в М тот же подмодуль, что и Е. В самом деле, пусть % — множество подмодулей модуля М, порожденных конечными подмножествами из Е, и Л' — максимальный элемент множества %. Тогда Х + Ах ~ Зй при всяком х ~ Л', так что Х + Ах = Х, то есть х б Л'.
Отсюда Е с: Н, что и доказывает лемму. АРтиновы 11 нктеРОВы мОдули 137 ПРздлол»вник 1. Для того чтобы А-модуль М был нетеровым, необходимо и доппаточно, чтобы всякий его подмодуль был конечного типа. По лемме 1 зто условие необходимо. Обратно, предположим, что оно выполнено. Пусть (Р„) — возрастающая последовательность подмодулей модуля М и Р— объединение всех Р,. Подмодуль Р порождается конечным числом элементов х„..., х, следовательно, существует достаточно большое число и, такое, что все х; принадлел ат Р„, то есть Р„= Р, откуда и следует, что М вЂ” петеров модуль. Пгвдложение 2.
Для того чтобы А-модуль М был артиновым (соответственно нетеровым), еобходимо и достаточно, чтобы сущеппвовол такой артинов (соответственно петеров) подмодуль Л", апо у>актормодуль М/»1' также артинов (соответственно петеров) . Если модуль М артинов (соответственно петеров), то всякий его подмодуль Л', очевидно, артинов (соответственно петеров); фактормодуль М/Л» также артинов (соответственно петеров): зто следует из того, что отобран»ение, ставящее в соответствие каждому подмодулю модуля М/Л> его обратный образ в М при каноническом отобран»енин, инъективно и сохраняет включение (гл. 1, $6, и' 13, теорема б). Обратно, предположим, что модули Л и М/Л' артиновы (соответственно нетеровы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
