Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(ХХ) (ХХ1) (ХХП) (ХХ1П) (ХХ!Ч) (ХХ Ч) БИПЛИОГРАфИЯ Ь). Н. А Ь е 1, (Ептгев, т. 1, ей. Яу!отг е1 1,1е, СЬПвИап1а, 1881. А. Ь. С а и с Ь у: а) Ьеропв впг 1ев арр11саИопв йп Са!сп! 1пйл1- 1ев1ша! Ь !а Оеошйтг(е (1Ептгез сошр!егев (2), т. Ч, Рапв (СапгЫег- Ч1!!атв), 1903, стр. 248); Ь) Япг !'4цпаг)оп й 1'аЫе йе !аппе!!е оп ййшгшше 1ея ЬгйбаЬтея яйсп!а(гев йев р!апйтев (1:Ептгев сошр!е!ев (2), т. 1Х, Раг1в (СаптЫег-Ч!!!агя), 1891, стр. 174. Р.
С. Ь е 1 е и и е - В 1 г 1 с Ь 1 о 1, %егЬе, т. 1, ВеН!и (С. Ве1шег), 1889, стр. 619 †6. Е. К и ш ш е г, 2пг ТЬеопе йег сошр1ехеп ЕаЫеп, 1. йе СгеВе, ХИ11, р. 319 (1847). СЬ. Н е г ш 1 1 е, (Епъгм, т. 1, Рапв (СаптЫег-Ч1!!агв), 1905. 7. 1. Я у 1 т е я ! е г, Со!!ее!ей Ма1ЬешаИса1 Рарегз, т.
1, СашЬг!йбе, 1904: Ап еппшегаИоп о! 1Ье соЫас!я о1 11пея апй впг(асез о! !Ье весопй огйег, стр. 219 (= РЬ(1. Маб., 185Ц. %. В. Н а ш1! !оп, Вес!пгев оп Япа1егп(опв, ВпЫш, 1953. А. С а у 1е у, СоВесгей Ма0гешаИса! Рарегв, СашЬг148е, 1889— 1898: А шешо1г оп 1Ье 1Ьеогу о1 шаспсея, т. П, стр. 475 — 496 (= РЫ!. Тгапв., 1858). Н. 1. Б ш 1 ! Ь, Со!!евсей МагЬешаИса! Рарегв, т. 1, Ох1огй, 1894: Оп вуягешз о! !1пеаг 1пйегегш1паге ецпас!опя апй сопЯгпепсев, вгг. 367. (= РЫ1. Тгапв., 1861).
Е. Я с Ь е г 1 п 8, В!е Ыпйашепта! С1авяеп йег хпвашшепбезе1хЬа- геп агПЬшеИвсЬеп рогшеп, АЬЬ. Сев. Сох!)пЯеп, Х1Ч, 13 (1868 — 1869), К, ру е ! е ге С г а в я, Ма1ЬешаИвсЬе 1Чег)ге, т. П, Вег!1п (Мауег ппй Мй!!ег), 1895: Хпг ТЬеог1е йег Ы1!пеагеп ппй опайга11зсЬеп Рогшеп, стр. 19. Ь. К г о и е с Ь е г, Аые(папйегяе1хипЯеп е!п18ег Е18епвсЬа(гоп йег К1аввепаыаЫ Ыеа!ег сошр!ехег 2аЫеп, Мопатв.
АЬЬапй!. Вег!ш (1870), стр. 881 (= %егЬе, т. 1, Ье)рх16(ТепЬпег), 1895,стр. 273). С, 1 о г й а п, Тга!1е йев впЬз1ПпВопз е1 йея йцпа1!опя а!64Ьг(спев, Рапя (ОапгЫег-ЧП1агя), 1870, стр. 114 — 125. С. Р г о Ь е и! и в, ТЬеопе йег 11пеагеп Уогшеп шП яапхеп СоеН1- с1еп!еп, 1.
йе СгеВе ЬХХХЧ1, 146 (1879). О. угоЬеп(пв ппй 1.81!сЬе!Ьегбег,()еЬегСшрреп топ тег1аысЬЬагеп Е!ешеп1еп, 1. йе Сге!1е 1ХХХЧ1, 217 (1879). В. В е й е Ь 1 п й, беяашше!1е ша1ЬешаИвсЬе !ЧегЬе, т. П, Вгапп- всЬие16 (Чгеъе8), 1932: 1)еЬег Хег!еЯппбеп топ ЕаЫеп йпгсЬ 1Ьге Яговягеп Яеше1пвашеп Те1!ег, стр. 103. а) Е. А г 11 и ппй О. Я с Ь г е ! е г, А!ЯеЬгя1зсЬе Копя!гпЬ1)оп гее!1ег Когрег, АЬЬ. МасЬ. Беш. 17п!т. НашЬпг8 Ч, 83 (1927); Ь) Е. А г ! ! п, ()еЬег й1е Еег!еЯшщ йеВЫ1ег рпп)г!!опеп ш 1)пайгаге (1Ый., стр.
100); с) Е. А г11 и ппй О. Б с Ь ге(е г, Е!пе Кепп- хе!сЬпипд йег гев!! аЬЯевсЫовепеп Кбгрег (1ЬЫ., стр. 225). ГЛАВА У111 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА Все кольца, рассматриваемые в этой главе (исключая приложение), предполагаются кольц ми с единицей (обозначаемой обычно 1), а все модули — унитарными; все рассматриваемые модули, если не оговорено пропшаное, предполагаются левыми. Для всякой алгебры А над полем К, если не оговорено противное, поле К отождествляется с подалгеброй К 1 центра алгебры А (гл. 11, т 7, и' 4); таким образом, всякий А-модуль при сужении кольца скаляров до К наделяется структурой векторного пространства над полем К. 5 1.
Коммутирование А Проектирования Опгвдвлвнив 1. Пусть А — кольцо М вЂ” А-модуль и Ь = = Хл (М) — кольцо эндоморЯиэмов модуля М. Элемент е ~ Ь называется проектированием (в М), если ег = е (иными словами, е — идемпотент кольца В (гл. 1, т 1, и' 4)). В дальнейшем будет удобно для всякого гомоморфизма и А-модуля М в А-модуль Х подмодуль и (М) модуля Х называть, допуская вольность речи, образом гомоморфизма и.
Пгкдложкник 1. Пусть А — некоторое кольцо, М вЂ” А-модуль, В = Жл (М), е — проектирование в М. Пусть Л' = е (М) — образ эндомору7изма е и Р = е т (О) — его ядро. а) Модуль М есть прямая сумма Х и Р. б) Д'ля всякого элемента х Е М, имеющего вид х, + хз, где х~ т, Л1, хг б Р, выполняется равенство е (х) = хг. в) Элемент 1 — е является проектированием, его образ есть Р, а ядро — Л1.
120 полупэостыв мОдули и колъцА Гл. т1п, 6 1 г) Правый идеал е7 есть множество элементов и Г Л, образ которых содержится в )т"; левый идеал г" е есть множество элементов и ч Х, ядро которых содержит Р, Из равенства (1 — е)' = 1 — 2е + е' = 1 — е следует, что 1 — е — проектирование. Пусть х ~ М. Элемент х принадлежит )т' тогда и только тогда, когда х = е (х); достаточность этого условия очевидна, а необходимость следует из того, что если х = е (х'), то е (х) = е'(х') - е (х') = х. Это показывает, что Л1 является ядром проектирования 1 — е.
Меняя ролями е и 1 — е, можно убедиться в справедливости утверждения в). Формула у = е (у) + (1 — е) (у), (1) справедливая для всех у Е М, показывает, что М =- )У + Р. Если г Е 1У Д Р, то г = е (г) и е (г) = О, так что Л' Д Р = (0). Это доказывает утверждение а); утверждение б) следует тогда из формулы (1). Наконец, пусть с ~ Ь; включение С (М) с: Л справедливо тогда и только тогда, когда (1 — е) с = О, то есть с Е ег,; с-' (0):э Р тогда н только тогда, когда с (1 — е) — — О, то есть с ~ Ье. Это заканчивает доказательство. Обратно, пусть М вЂ” А-модуль, Л~ и Р— дополнительные подмодули в М. Для любого х = х, + хг, х, ~ Х, хг Е Р, положим е (х) = х, (компонента х в Л' (гл. 11, з 1, и' 7)).
Ясно, что е — единственное проектирование в М, имеющее ядро Р и образ )т'. Проектирование е называется проектированием модуля М на Ж. Опгкдвлвник 2. Пусть некоторое А — кольуо, М вЂ” А-модуль, Л' — его подмодуль. ПодмолульЛ' называется прямым слагаемым в модуле М, если Л имеет в М дополнение. В соответствии с предыдущим для этого необходимо н достаточно, чтобы в модуле М существовало проектирование, у которого образ или ядро совпадает с Л'. Если Х вЂ” прямое слагаемое в модуле М, то всякий гомоморфизм и подмодуля Л' в А-модуль Р продолжается до гомоморфизма модуля М в Р, например до гомоморфизма и о е (е — проектирование М на -Л).
Обратно, если тождественное отображение подмодуля Л' продолжается до гомоморфизма г модуля М в Л', то 7' о 1 = /, так что 7' — проектирование модуля М на Х, и Л'— прямое слагаемое в М. $2$ коммутиРОВАнив Пусть М и М' — А-модули, и — гомоморфизм модуля М в М', з — гомоморфизм модуля М' в М. Если з зи — тождественное отображение модуля М, то и з Р— проектирование в М', и — изоморфизм модуля М на и (М), з отображает М' на М, и модуль М' есть прямая сумма нодмодулей и (М) и з-' (О), являющихся, таким образом, прямыми слагаемыми в М'. Ош вделвние 3. Семейство (е„),ее идемпотентов некоторого кольца называется ортогональным семейством, если при е ,—ь н выполняется равенство е,е„=- О.
Пусть М вЂ” А-модуль, являющийся прямой суммой семейства (М,),ег своих подмодулей, и е, (х), х Е М,— компонента элемента х в М„; тогда е, — проектирование, его образ есть М„а ядро ~ М,. Семейство (е,),ег ортогонально, так как при е ~ и, х ~ М АТЕЕ имеем е (х) Е М„, н следовательно, е„е„(х) = О. (е,),ег называется семейством проектирований, ассоциированным с разложением модуля М в прямую сумму Х М,. Обратно: Пгвдлозквннв 2. Пусть М вЂ” А-модуль, (е,),ег — ортогонол~ нос семейство проеюпирований модуля М, обладающее следующим свойством: е, (х) =- О для любого х Е М и для всех индексов е Е 1, кроме конечного числа, и х = ~з е„(х). Тогда М является прямой еег суммой подмодулей М, = е, (М) и (е,)нг — семейство проектирований, ассоциированное с разложением модуля М в прямую сумму ~з М,.
ЕЕГ В самом деле, равенство М =- ~~~ М, очевидно. Пусть злементы 'Ег у, Е М„все, кроме конечного числа, равны нулю и ~~~ у, = О; иг тогда ~ Яе„(у,) = О, откуда для любого индекса и следует равенство 'ег О = — е„(~~~~~ е, (у,)) = е„(е„(у„)) =- е„(у„) = у„. ЕЕХ Это показывает, что сумма Я М, прямая.
Последнее утверждение 1ез предложения очевидно. 122 полупгостык модули и кОльцА ГЛ. Хгп, г М. Коммутпагггп тг бтгноммутпантп Опгкделение 4. Пусть Х вЂ” кольцо и А — подмножество в Х. Коммутантом (или централиаатором) множества А в Х называется подкольцо А' кольца Х, состоящее из всех злементов, перестановочных со всеми злементани множества А.
Коммутант А' множества А в Х называется бикоммутантом множества А в Х. Имеет место включение А ~ А'. Следовательно, А ' содержится в своем бикоммутанте, который есть не что иное, как коммутант В множества А"; но из включения А с: А" следует, что А':г В, то есть множество А' совпадает со своим бикоммутантом. Если множество А является подкольцом в Х, то его центр равен А П А'. Если, кроме того, кольцо А коммутативно, то А с: А' и, следовательно, А' ~ А"; таким образом, в этом случае центр кольца А' равен А".
Если Х вЂ” алгебра над полем К (которое можно отождествить с некоторым подполем центра алгебры Х), то коммутант любого ее подмножества является в Х подалгеброй. НРкдложкнив 3. Пусть А (соответственно В) — алгебра над полем К, С (соответственно Р) — подалгебра в А (соответственно в В), С'(соответственно,0') — коммутант подалгебры С (соответственно Р) в А (соответственно в В). Тогда коммутант подалгебры С 3» Р в А Зк В равен С' Зк Р', Необходимо доказать, что всякий элемент г = Е~ а, 8 Ь, коммутанта С 8».0 входит в С' 3к Р'; рассматривая надпространства, дополнительные к С' и Р', в А и В соответственно, можно убедиться (гл.
111, т 1, и' 3, предложение 7), что С' бр» Р' является пересечением С' 3» В и А бР» Р'. Элементы Ь; можно предполагать независимыми; для любого х ~ С должно быть справедливо равенство (х ® 1) г = г (х ® 1), то есть Х, (ха; — а;х) (х> 3 Ь| = О; отсюда ха~ — а,х = О для любого х Р С (гл. 1П, 5 1, и' 3, следствие 1 предложения 7), то есть а; й С' для любого индекса г, н следовательно, г Е С' 3к В; аналогично доказывается включение г Е А Зк.0'.
Следствия. Пусть Я и Е' — центры соответственно алгебр А и В. Тогда центр алгебры А ®к В ровен Я 8 к Я'. 123 коммутиговлник Пусть А — кольцо, М вЂ” левый А-модуль, й — кольцо эндоморфизмов структуры абелевой группы модуля М. Гомотетия х -~ ах, а Е А, является элементом группы П и обозначается ам.' Отображение а-~- ам есть гомоморфиам кольца А на некоторое подкольцо в 1г, называемое кольцом гомотетий модуля М и обозначаемое Ам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
