Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 24
Текст из файла (страница 24)
о. к, и т. д.), основанного на рассуждениях, которые, в су~цностя, почти не отличаются от рассуждений, проведенных ванне, в гл. У1, $ 1. К венцом етого здания являются две аамечательные теоремы: доказательство существования бесконечного множества простых чисел (Книга 1Х, предложение 20) и процесс построения четных совершенных чисел исходя ие некоторых простых чисел (см. гл. У11, 1 1, упражнение 24; как покаеал Эйлер, атот процесс дает в действительности все четные совершенные числа), Лишь существование и единственность разложения числа на простые множители не были докаааны в общем виде; тем не менее Евклид явно докаеывает, что всякое целое число е) Если а, и аа — целые числа и а, > аю то алгоритм определяет а„ (для л ,'~ 3) по индукции как остаток от евклидова деления а„а на оо если гя — наименьший индекс, для которого а,„= — О, то а ~ является н.
о. д. кисел а, и аа. Этот прием является перенесением в область целых чисел метода попеременного вычитания (иногда называемого также кт()ера1оеогй) для нахождения общей меры двух величин, Этот метод восходит, беа сомнения, к пифагорейцам и является, по-видимому, основой доевдоксовой теории иррациональных чисел. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Уг И ЧИ 4ОЕ делится на простое число (Книга У11, предложение 31), а также следующие два предложения (Книга 1Х, предло»конг«я 13 и 14) в): «Если сколько угодно чисел, начиная с единицы, составляют прогрессию с прои«вольным посгпсянным отношением (то есть геометрическую прогрессию) и следуюи(ее ва единицей число простое, тс наибольшее число не делится ни на какие числа, кроме тех, которые имеются в прогрессии» (степень простого числа р" но>нет делиться только иа степени р с покааателем ~(п). «Если неквп«врое число является наименьшим, делан«имея на (данные) простые числа, то внв не делится ни на какое простое число, кроме тех, которые нервен а« ал ьно (зада им как) делители» (другими словами, произведение различных простых чисел р„..., рк не имеет простых множителей, отличных от ргг " ° рк) Таким образом, складывается представление, что Евклид не формулирует общей теоремы лишь из-за отсутствия подходящей терминологии и обозначений для проиавольных степеней целых чисел *").
Хотя внимательное изучение довольно определенно показывает наличие в тексте Евклида нескольких последовательных слоев, каждый из которых соответствует некоторому этапу раввитня арифметикиг**), вся эта эволюция происходила с начала У и до середины 1У в., к можно лишь восхищаться изяществом и логической надежностью построенных при этом теории: нужно будет ждать еще два тысячелетия, чтобы присутствовать при сравнимом прогрессе арифметики. Источником дальнейшего развития теории чисел были проблемы, называемые «неопределенными» илн «диофантовымн». Термин «днофантовы уравнения», употребляющийся в настоящее время, исторнчес»ш не совсем оправдан', под этими уравнениями обычно понимают алгебраические уравнения (илн системы уравнений) с целыми коэффициентами, для которых ищутся только целые решения.
Эта задача обычно неразрешима, если уравнения «определены», то есть имеют лишь конечное число решений (действительных *) Перевод сделан с французского текста даяной книги. (Прим, перев,) ь«) для подтверждения этой гипотезы можно также заметить, что доказательство теоремы о совершенных числах является, в сущности, частным случаем теоремы об однозначности разложения на простые множители. Впрочем, все свидетельства сходятся в том, что уже в эту эпоху явное разложение числа на простые множители быто известно и свободно использовалось; однако полного доказательства этой теоремы разложения не было вплоть до доказательства Гаусса в начале «1))м(п(э(Полез» ((У1 П), т. 1, стр.
15). ввв) См. В. Ь. ч а и г) е г УУ а е г с( е и, ГИе Аг)ь)»шеь()«багру()»адогеег, ИаПК Ашь, СХХ (1947 — 1949), стр. 127. Примером остатка старых теорий могут служить предложения с 21 но 31 Книги 1Х, в которых исследуются самые элементарные свойства делимости на 2 н которые, несомненно, относятся к эпохе, когда общая теория простых чисел еще не была развита. Известно, впрочем, что категории четного и нечетного играли большую роль в мистических философских теориях первых пифагорейцев. Естестяенно поэтому и связать с ними укааанный отрывок.
1(О ИСТОРИЧЕСКИЕ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ЧГ И ЧП илн комплексных), но, напротив, часто допускает решения, если число неиавестных больше числа уравнений. Однако если Дкофант и был первым, кто рассматривал «неопределенлые» проблемы, то целые решения он разыскивал только в исключительных случаях и чаще всего удовлетворялся нахождением лишь одного рациона»»лого р»ше»»ва (11). Проблемы этого типа Диофант чаще всего мог решить алгебраическими вычислениями, в которых арифметическая природа неизвестных не играет роли «); теория делвмости также играет у него неаначительную роль (слова «простое число» встречаются лишь один раз ((11), Книга Ч, задача 9, т.
1, стр. 334, 335), а понятие взаимно простых чисел привлекается лишь для доказательства теоремы о том, что частное двух взаимно простых чисел может быть квадратом лишь в случае, когда каждое из вих является квадратом)»*). По-настоящему изучать целые решения неопределенных уравнений начали только в раннем средневековье иитайские и индийские математики.
Первые прилип к размышлениям этого рода, видимо, при создании календарей (в которых определение общих периодов нескольких циклов астрономических явлений составляет именно «днофантову» проблему первой степени); во всяком случае, им мы обяаанм открытием (которое бмло сделано, боя сомнения, между 1У и Ч11 вв. н. э.) правила нахождения общих решений линейных сравнений (см. гл. Ч1, $1, упражнение 25). Что же касается индяйскол математики, находившейся с У по Х 111 вв. в подлинном расцвете„ то индийцы умели ие только методично (с помощью алгоритма Евклида» изучать системы линейных диофантовых уравнений с проиавольным числом неизвестных ""*), но и первыми рассмотрели и реюили уравнения второй степени и среди нпх некоторые частные случаи «уравнения Ферма» Л'з»+ 1 = уз ((111), т. 11, стр.
87 — 307). *) Решая неопределенные задачи, Диофант всегда сводит их к задаче с одним неиавествым с помощью численного выбора остальвмх неизвестных, делающего воаможвым решение получаемой задачи. Представляется зсе же„ что этот метод объясняется его обозначениями, которые не поаволяли ему. оперировать одновременно с несколькими неизвестнымн; во всяком случае„ в процессе вычислений он не упускает из виду сделанные численные подстановки и в случае, когда они не подходят, вмписывает условие пригодностж подставляемых переменных и решает ату вспомогательную задачу.
Другимя словами, он польауется этими подставляемыми численныыи значениями так, как мы делаем это с параметрами, и в конечном счете все это сводится к рааысканию рационального параметрического представления заданного алгебраического многообразия или его подмногообрааия (см. (11Мз)). **) Многие данные свидетельствуют в то же время о более обширных знаниях Диофанта: он знал, например, что уравнение хе+ уз = и не имеет рациональных решений, если я — целое число вида 45+ 3 (Книга Ч, зада.- ча 9 и Книга Ч1, задача 14 ((П), т. 1, стр. 332 — 335 н стр. 425, см. така е (11Ь»з), стр.
105 — ИО)). **») Астрономические задачи также приводили индийцев к научению такого рода уравнений (см. (Л1), т. 11, стр. 100, 117 н 135). ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Ч! И Чы ш Мы ве прослеживаем здесь всю историю диофантовых уравнений степени )1, которая после работ Ферма, Эйлера, Лагранжа и Гаусса привела к созданию в Х1Х в. теории целых алгебраических чисел. Как мы уже отмечали (см, Исторический очерк к гл.
11 и 111), иаучевие систем линейных уравнений, которое, как казалось, не ставит больше интересных проблем, в этот период оставалось в тени: в частности, никто не пытался нв сформулировать общие условия разрешимости произвольной системы уравнений, нп описать множество решений. Однако в середине Х1Х в. Эрмиту в его исследованиях по теории чисел пришлось использовать некоторые леммы о линейных диофантовых уравнениях, и в особенности вприведенную форму» линейной подстановки с целыми коэффициентами ((Х111), стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
