Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Л. Своаства характерггсттгческого лгногочлвнар след тг отгределтгтель Пусть Š— векторное пространство конечной размерности п над полем К н и — его эидоморфизм. В з 3 мы определилихарактеристический многочлсп эндоморфнзма и, у„(Х) .= с)еФ (Х 1 — У). Напомним, что если зндоморфизм и имеет в базисе (е;) пространства Е матрицу У, то )~„(Х) = )(и (Х) = без (Х 1 — У), Свободный член этого многочлена равен у„(0) = ( — 1)ябе1(и). Найдем коэффициент при Х"-', для этого положим У = (иы) и заметим, что при развертывании определителя бес (Х Хя — У) = бес (ЬНХ вЂ” иц) члены, содержащие Х" ', должны получиться по крайней мере нз п — 1 диагональных множителей, и их в самом деле будет л, Следовательно, эти члены будут теми же, что у произведения Ц (Х вЂ” и„), так что искомый коэффициент равен — ~ иы —-- $=$ 1=1 = — Тг (и).
Поэтому характеристический многочлен эндоморфизма и имеет вид Хи(Х) =Х" — Тг(и) Х" г+... +( — 1)" деь(и). (5) Пгвдложвннк .з3. 1Еусть Š— векторное пространство конечной размерности и над алгебраически замкнутым полем К, и— зндоморфизм пространства е и х„(х) = П (х — а~) — разложе$=-$ ние его характеристического многочлена на линейные мнолсители. Для любого многочлена д с когффициентами из К характеристический многочлен зндоморфизма д (и) дается формулой и Хи > (Х) = П (Х вЂ” у(а;)), 4 $ (6) и его след и определитель — формулами Тг(д(и)) = ~~~ ~д(а;) (7) йеь(д(и)) = П о(а;).
(8) Ясно, что ввиду (5) формулы (7) и (8) следуют иа (6). Для доказательства формулы (6) возьмем в пространстве Е базис, относительно которого матрица У = (им) эндоморфизма и треугольна, и применим следующую лемму: Лкммз 3. Если В и С вЂ” треугольные матрицы порядка и и (р;) и (7~) — их диагонали, то матрицы В + С и ВС треугольные, и ит диагонали равны (()~ + 7~) и (()Л;). Это утверждение очевидно для суммы В + С. Если рассмотреть матрицы В и С как матрицы двух зндоморфнзмов у и А относительно канонического базиса (е,) пространства К", то предположение леммы означает, что у (е) = ();е; + уь й (е ) =— = у,е; + г;, где векторы у; и г~ принадлежат подпространству у;, порожденному векторами е» с индексами Й ) й Так как У; 88 модтлн няд кольцямн глзвных идкллов гл, чп, г; л эндомоээизмы ввктогных пгостглнств 89 устойчиво относительно у и Ь, то д(Ь(е;))эа р>у;е; (шос у;), что и доказывает утверждение для произведения ВС.
Так как матрица ЕУ эндоморфнзма и является треугольной матрицей с диагональю (а;), то из леммы 3 по индукции следует, что д (0) — треугольная матрица с диагональю (д (а>)). Тогда ХՄ— д (б) — треугольная матрица с диагональю (Х вЂ” д (а;))„ что' и доказывает формулу (6). Слкдствик 1, Эндоморфизм и обратим тогда и только тогда, когда многочлен д независим с )( . В самом деле, утверждение, что миогочлены д и у„независимы, равносильно утверждению, что онн не имеют общих корней, то есть по формуле (8) беь (д (и)) ~ О. 3 а м е к а п н е. Свойство быть пеэавкспмым с у равносильно свойству быть пезавпсвмым с мвппмальпым маогочлевом эвдоморфвзма и (следствие 1 к предложению 8).
Поэтому предыдущее следствие вытекает также пэ предложеппз 1 1 С п' 2. Слкдствик 2. Пусть г с К (Х) — рациональная дробь над' полем К. Для того чтобы эндоморфизм и допускал подстановку в г (гл. ХЧ, 'х 3, и' 2), необходимо и достаточно, чтобы все его собственные значения а> допускали подппановку в г.
В этом случае выполняются формулы: ь э )(,<„>(Х)= П (Х вЂ” г(а>)), Тг(>'(и))= ~ г(а;), ь сеь(г(и)) = П г(а>). >=1 Запишем г в виде р>д, гдв р н д — независнмыв многочлены. Для того чтобы и допускал подстановку в г, необходимо н достаточно, чтобы беь (д (и)) чь О, откуда ввиду формулы (8) и следует первое утверждение. Поэтому ввиду следствия 1 нужно считать, что д независим с у . Согласно тождеству Безу существуют многочлвныу иЬтакие, что ду + Ь)(„=- 1.
Тогда имеем д (а;) д (а>) = 1, и ввиду теоремы Гамильтона — Кали д (и) у (и) = 1. Теперь для получения нужных формул достаточно применить формулы (6)„ (7) н (8) к эндоморфизму р (и) у (и) =- г (и). 90 модули над кольцами главных идвалов гл. чм, 1 б Слхдствив 3. Для любого целого числа г>0 выполняется п равенство Тг (и') = ~~~ а~, 'это равенство выполя,ястся и для э=! г ( О, если эндоморфиэм и обратим. Это следствие является частным случаем предыдущего. Слхдствив 4.
Пусть поле К имеет характеристику нуль; андоморфиэм и ни ьпотентгн тогда и только тогда, когда Тг (и') = 0 для 1 <г<п. Если эндоморфиэм и нильтотентен, то его собственные значения а; равны нулю и Тг (и') = 0 при любом г ) 0(следствие 3). Обратно, если Тг (и') = 0 при 1~<г<п, то все собственные значения а; равны нулю, поскольку К имеет характеристику куль (гл.
У, приложение 1, следствие предложения 4), и эндоморфиэм и иильпотентен (предложение 4). Слвдствих 5. Матрица У1„— 1/ обратима в кольце квадратных матриц над полем К (У) рациональных дробей над полем К. .Кроме того, Тг((У1„— П) ') =уо(У)/)(о(У), еде 11о — производная многочлсна уо. В самом деле, взяв г (Х) = (У вЂ” Х)-', можно рассмотреть 4У./„— 1/) х как рациональную дробь с коэффициентами иэ К (У). Тогда следствие немедленно вытекает иэ следствия 2 э и формулы )(й (У)/)(о (У) = ч~~ ~(У вЂ” а;)-' (гл. У, приложение 1, ю' 3, формула (3)). 3 а и е ч а и и е. Отметим, что следствия 1, 4 к 5 предложения 13 остаются э силе и з случае, если не предполагать поле К алгебраичэски аамкнутым; з самом деле, достаточно зыраэать эти следствия з терминах матриц н рассмотреть элементы этих матриц как принадлежащие алгебраически замкнутому расширению поля К.
чэ. Харатстеристмчвсмтгтл мтвогочлен тпеиворного тсроивведвнтсм двух эндоморудивмов Пгкдложвнив 14. Пусть Е (соответственно Е') — векторное лространство конечной размерности над алгебраически вамкнутым молем К, и (соответственно и') — эндоморфигм пространства Е 7 ЭНДОМОРФИЗМЫ ВБКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 91 (соответственно Е') и у„(Х) = Ц (Х вЂ” и,)" г (соответственно 1 (Х) = Ц (Х вЂ” ~~)т1) — разложение его характеристического многочлена на линейные множители (все а~ (соответственно рт) различны). Тогда характеристический многочлен зндаморфизма и бС и' векторного пространства Е ф Е' задаетсл формулой т н„(Х)= Ц(Х вЂ” а()з) ' '. Пусть У; (соответственно У;) — надпространство в Е (соответственно в Е'), состоящее из элементов х, для которых существует такое целое число 1с) О, что(и — а;)"=0(соответственно(и' — р )"=О).
Из следствия 4 к предложению 8 следует, что размерность У; (соответственно $'~) равна и; (соответственно тг). Так как Е (соответственно Е') — прямая сумма подпространств У; (соответственно У~) (предложение 4), то Е ® Е' — прямая сумма надпространств У; ® У;. (гл. 111, з 1, предложение 7). Однако сужение на У; ® У; эндоморфизма и ® и' — айаг (е® е'), где е (соответственно е') — тождественный автоморфизм Е (соответственно Е'), нильпотентно; в этом можно убедиться, записав равенство и ® и'— — а,р; (е ® е') = (и — а;е) ® и' + а,е ® (и' — ~~е') и заметив, что по формуле бинома сумма двух перестановочных ннльпотентных элементов нильпотентна.
Так как размерность У, ® У;. равна п,т;, то из следствия 3 к предложению 8 следует, что )(„а„(Х) = Ц(Х вЂ” айаг)"~ г, что и требовалось доказать. T. Прнмеггеннет зхормалъный баоне цнгспичееного растанреннм Мы уже доказали (гл. У, 3 10, и' 9, теорема 5), что всякое конечное растирение Галуа бесконечного поля К имеет нормальный базис. Теперь мы докажем эту теорему для случая, когда поле К произвольно (конечно или нет) и Х вЂ” его циклическое расширение; этот результат применим к произвольному конечному рас- 92 модули нАд кольцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. ч11 1 б ширению конечного поля К, так как всякое такое расширение циклично (гл.
Ч, 3 11, п' 4, предложение 5). Пусть à — (циклическая) группа Галуа поля Лг, и — ее порядок, и — ее образующий. Автоморфизм и является эндоморфизмом поля Ф, рассматриваемого как векторное пространство размерности и над полем К. Пусть )ׄ— К [Х [-модуль, ассоциированы ный с и (и' 1); для любого многочлена р = ~~~~~ аьХА из кольца А=С К [Х[ произведение р х (х Е 1Ч„) равно ~~ аьи" (х). 'Гак как, А=с по предположению, и" = 1, то многочлен Х" — 1 кратен минимальному многочлену д эпдоморфизма и (и' 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
