Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3 а и е ч а н и я. т) Заключение предЛожения 5 остается в силе, если вместо алгебраической замкнутости поля А предполагать лишь, что й содержит все корни минимального миогочлена матрицы у. 2) Иг предложения 3 следует, что если матрица О подобна диагональной таблице жордаяовых матриц (УА), то число матриц зь вида у„„„(для фиксированных т па) определяется однозначно матрицей О.. Опгеделение 2. При любом целом т > 1 и любом а С К матрица 5', называется лсордановой матрицей порядка т, относящейся к числу а. Мы доказали, таким образом, следующее предложение: з эндомоэюизмы виктоэных пэоствлнств 79 3) Заметив, что минимальный многочлен жордановой матрицьз У, равен (Х вЂ” а)ю, получаем следующий результат: Пгидложкнии 6.
Если квадратная матрица У подобна диагональной таблице из жордановых матриц (П„,, „,), то минимальный многочзен о (Х) матрицы У является н. о. к. многочленое (Х вЂ” и,) Б другими словами, о (Х) = Ц (Х вЂ” сг) е, где Р— ееР множество различных элементов семейства (оц) и т„— наибольший из показателей ти соответствующих индексам 1, для которых а;=а. 4) Более общим образом, если матрица 0 подобна диагональной таблице из жордановых матриц У„„„, то методом, абсолютно аналогичным указанному в замечании 3 $ 4, и' 7, легко вычисляются инварианты подобия матрицы (7; надо выписать в одну строчку многочлены (Х вЂ” а)", относящиеся к одному и тому же а, расположив пх в порядке убывания показателей степени, и дополнить пх единицами; после атого ннвариаяты подобия получаются, если брать произведения членов„ стоящкх з одном столбце.
Например, для матрицы надо написать (Х вЂ” 2), 1, (Х вЂ” 3)з, 1, 1, и инварианты подобии будут равны (Х вЂ” 2)(Х вЂ” з)з, 1, 1, З. Собст«ентгые атеачежим тг собственные «еыторы Ош иделении 3. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и над полем К, и — его эндоморфизм, П вЂ” матрица и относительно некоторого базиса (е;) пространсгпва Е. Элемент х ~ Е называется собственным вектором эндоморфизма и (и матрицы П), если существует такой элемент а ~ К, что и х =- ах; если х чь О, то скаляр сс (вполне определяющийся элементом х) называется собственнмм значением эндоморфизма и (и магприцы О). Д'ля любого собственного значения а эндоморфиз а и множество г" таких элементов х ~ Е, что и х = ах, является векторным подпространством, устойчивым относительно и, и называется собственным подпространством Е, относящимся к значению и. 80 МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ГЛ.
ЧГД эб П р и м е р. Для того чтобы вектор базиса с~ был собствекзым вектором матрицы О' = (иуа), необходимо я достаточно, чтобы ид; —— О длз всех А ~ ц другими словами, столбец с номером ) должен сводпться к своему диагональному члену; в этом случае собственный вектор е; соответствует собстзевному значению и; = ин. Таким образом, для треугольной матрицы порядка э (например, для жордаповой матрицы) вектор базиса, имеющий номер т собственный; у диагональной матрицы все векторы базиса являются собстввнвымя, и это, очевядяо, характеризует диагональные матряцы.
3 а м е ч а и и е. Предположям, что в пространстве К имеется такой базис (е~)1 -; А, что все элементы матрицы О' эвдоморфяэма и отяосятельяо этого базиса принадлежат некоторому подполы Ко поля К. В обозваченяях замечания к предложенкю 4 ясно, что если а — собственное значение эндоморфизма и я з б К вЂ” соответствующий собственный вектор, то для любого Кэ-автоморфнзма о поля К ас является собственным значением и, а зо — собственным вектором, соответствующим о, Утверждение, что а Е К является собственным значением эндоморфизма и (и матрицы П), оаначает, что ядро эндоморфизма сс 1 — и содерясит ненулевой вектор х ~ Е, то есть этот эндоморфизм необратим (гл.
11, $ 3, следствие предложения 11), и, кроме того, означает также, что выполняется равенство с[еь(а 1 — и) =йе4(п Մ— П) =0 Это приводит нас к следующему определению; Ош вдвлвник 4. Пусть П вЂ” квадратном матрица порядка и над полем К. Характеристическим ммоэочлспом матрицы П называется определитель )~о (Х) матрицы Х 1„— П (элсмвнты этой матрицы лежат в К [Х[): то(Х) = пес(Х л„— П). Из вычисления этого определителя сразу же следует, что характеристический многочлен матрицы П является унитарным мяогочленом степени и. Пусть и — эндоморфизм векторного пространства Е; отобрансение Х.1 — и является эндоморфизмом К[Х[-модуля Е [Х[ = К [Х[ <х) Е, получаемого из Е расширением до К [Х[ основного поля К (гл.
111, $2, и'1). Если П вЂ” матрица зндоморфизма и относительно базиса (с,) пространства Е, то Х 1„— П вЂ” ма- л ЭНДОМОРФИЗМЫ ВККТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 81 трица эндоморфиама Х 1 — и относительно (е;), рассматриваемо- го как бааис К (Х)-модуля Е (Х]. Отсюда следует, что оес (Х. 1 — и) = се ь (Х 1„— У); зто покааывает, что бес (Х 7„— У) не зависит от выбора базиса (е;), и позволяет назвать этот многочлен характеристическим многочленом эндоморфизма и. В терминах матриц это означает, что характеристические много лены двух подобных матриц совпадают; впрочем, в атом легко убедиться прямым вычислением. Характеристический многочлен эндоморфизма и обозначается через )(, (Х). Замечание перед определением 4 показывает, что: Пгвдложвннв 7. Для того чтобы элемент а С К был собственным значением эндоморфизма и, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характперистического многочлена эндоморфизма и.
Пгвдложвнив 8. Пусть и — эндоморфизм некоторого векторного пространства конечной размерности п над полем К, т (Х)— его характеристический многочлен и д; (Х) (1 < ~ < и) — его инварианты подобия. Тогда 'т„(Х)=д,(Х)дг(Х) ... д (Х). Так как инварианты подобия не меняются при расширении основного поля (пэ 1, следствие 2 предложения 2) и это справедливо, очевидно, и для характеристического многочлена, то можно считать, что поле К алгебраически замкнуто. Тогда существует (предложение 5) базис пространства Е, относительно которого матрица эндоморфизма и является диагональной таблицей из жордановых матриц У ОЬ „~О (1<1<у); тогда из вычисления ннвариантов подобия (замечание 4 к предложению 5) следует, что г произведение этих инвариантов равно Ц (Х вЂ” и (1)) и). 4=.г Известно, с другой стороны, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов (гл.
Ш, З 6, и' 4, нрнмер 2); отсюда следует равенство ОеФ (Х 1 — и) = (Х вЂ” а (г))"чО, что и доказывает предложение. с=л 6 Н. ВуРбвки 82 МОДУЛИ НАД КОЛЪЦАМИ РЛАВНЫХ ИДНАЛОВ РЛ ЧЫ, е б Слвдствия 1. Пусть, в обозначениях предложения 8, д (Х)— минимальный многочлсн зндоморфизма и; тогда д (Х) делит у, (Х) и )е„(Х) делит д (Х)". В частности, минимальный и характеристический многочлсны эндоморфизма и имеют одинаковыс корни в поле К, являющиеся собственными значениями и.
Так как д (Х) = ук (Х), то очевидно, что д (Х) делит у, (Х). С другой стороны, каждый многочлен о; делит д, и следовательно, их произведение у делит д". Слкдствнк 2 (етеорема Гамильтона — Кэлиэ). Для любого зндоморфиама и векторного пространсгпва конечной размерности над полем выполняется равенство те (и) =-О.
В самом деле, )( (Х) является кратным минимального много- члена эндоморфизма и (следствие 1). Слвдствик 3. Для того чтобы эндоморфизм и был нильпотснлин, нсобходизео и доста очно, чтобы его характеристический много- член имел вид Х". Это немедленно вытекает из следствия 1. Слкдствив 4. Предположим, что поле К алгсбраически замкнуто, и для любого корня сс многочлена )(и (Х) через М обозначим векторное подпространство в Е, состоящее из тех элементов х с Е, для которых существует целое число й ) О такое, что (и — сс)" х = О (см. предложение 4). Если корень гс имеет в )(к (Х) кратность т, то подпространство М имеет раэмсрносгпь т. Это немедленно следует из предложения 5 и вычисления определителя треугольной матрицы.
3 а м е ч а ни я. 1) Пусть С вЂ” конечная абелева группа порядка т; легко проверить, что произведение инвариантвык множителей группы 6 равно т. Таким образом, имеется аналогии между характеристическим мноеочяепом матрицы и порядкам конечной абелевой групгпе. Эта аналогия идет достаточно далеко; например, теорема Гамильтона — Кали соответствует утверждению, что для любого элемента * Р Ге выполннетея равенство тх = О. При эхом, совершенно аналогично доказательству этого утвер.кденин, можно легко провести прямое доказательство теоремы Гамильтона — Кали (см. упражнение 4). 2) Теорема Гамильтона — Кали обобщается на матрицы над произвольным коммутативным кольцом (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
