Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 22
Текст из файла (страница 22)
а) Показать, что если характеристика тела К не равна 2 и г (х) = = х+ и (х), ю (х) = х — и (х), то Š— прямая сумма подпространств У = э (Е) н И' = ю (Е), выполняются равенства и (х) =- х в и (х) = — * в И'. Вывести отсюда, что всякая квадратяая матрица А порядка л над телом К, удовлетворяющая условию Аз = 1„, подобна некоторой матрице вида (О" '~. р) б) Если характеристика тела К равна 2 н з (х) = х+ и (х), -1 то э (Е) ~ е (0), и обратно. В частности, если эндоморфиам э имеет ранг р, то 2р ~ и.
Всякая квадратная матрица порядка и над телом К, удовлетворяющая условию Аз = ря, подобна некоторой диагональной таблице из р+ 1 матриц (гя хр, з, я,..., з), где з — матрица (~ ~) е16) Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле, А — квадратная матрица порядка и над К. а) Показать, что если А = ВС, где Вз = Сз = 1, то А обратнма п подобна А-'. б) Пусть матрица А подобна жордановой матрице Ся, ь (л' 2). Покааать, что если А = ВС, где Вз = Сз = з", и и, э, ю — эндоморфизмы пространства Е = Ке, соответствующие матрицам А, В, С, то е и и имеют единственный (с точностью до гомотетин) общий собственный вектор, являющийся единственным (о точностью до гомотетии) собственным вектором эндоморфнама и.
в) В предположениях упражнения б) будем считать, что характеристика поля К не равна 2; показать, что В и С подобны. Пусть Уз, У- (соответственно И'+, И'-) — подпространства в Е, в которых э (х) = х и э (х) = — х соответственно (соответственно из (х) = хи х (х) = — х); показать, что, заменяя при необходимости В и С на — В н — С, можно 98 модули ияд кольцами главных идвллов гл. чы, с б и пусть всв1 — — ~Ч~ вС ава — таблица умножения в этом базисе. Пусть а (1 = ~~ (ссвс — квадратная матрица порядка п над В, где (сс — квадратные матрицы порядка и над А, все, кроме конечного числа, равные нулю.
можно написать равенство с)ес ((1) = ~я~~ ~),:свс, где ),:с б А (),,- = 0 с для всех индексов, кроме конечного числа). Показать, что если матрицы Х; над А попарно перестановочны н обладают свойствамп ХсХ1=Ч~0 ~впаХ» и ~ (ссХс=О, то Ч~~ ~)сХс=О а с с (испольаовать тождество ГС'П = (с)еС 11) 1, где (1' — присоединенная матрица). Вывести отсюда, в частности, что если Х вЂ” квадратная матраца вад А, то многочлен )(х (Л) = с)ес (Я1н — Х) удовлетворяет соотношению Гамильтона — Кали )(х (Х) = О. б) Пусть Х вЂ” квадратная матрица порядка н над А и ()сс) (Е))— присоединенная матрица к 2. 1н — Х; показать, что многочлен у (о) б А ]о] обладает свойством у (Х) = 0 тогда и только тогда, когда при любых С ис проиаведение у (Е) Ьсс (Х) кратно )(х (Я) (заматать, что при любом у б А (Я] можно написать равенство д (Я) 1„— у (Х) = = (Е.1„Х) У, где У вЂ” матрица над кольцом А (Е]).
19) Пусть А — коммутативиое кольцо с единяцей, Х и У вЂ” квадратные матрицы порядка н над А; показать, что характерястическпе многочлены матриц ХУ и УХ равны (сначала доказать зто утверждение для случая, когда А — поле и матрица Х обратима, а затем применить принцип продолжения алгебраических тождеств). Привести пример, в котором А — поле и матрицы ХУ и УХ имеют равные ранги н, следовательно, не подобны. *20) а) Пусть К вЂ” тело, намвсушативнвв илн нвт. Рассмотрим векторное пространство Е размерности н над К и андоморфкзм н этого -1 пространства такой, что В, = и (0) не сводится к 0; пусть н, — в-я -1 итерация эндоморфизма н, В, = и,(0) и г — наименьшее число, для которого и„+с (Е) = и, (Е); показать, что г является также наименьшим числом, таким, что В„ = Вг+„ и Е является прямой суммой В и и (Е); покааать также, что сужение и на ив(Е) — эндоморфизм.
б) Будем предполагать теперь, что В, = Е; положим Ь = сПвт В, — сПш В, „где Ве — — (О] (с (в (г). Показать, что пространство Е является прямой суюшй г подпространств Ев (с ( в < г), где Ев — пряная сумма йв подпространств С„„размерности в, инвариантвых относительно и, н при подходящем выборе базиса в Е сужение эндоморфиэма и на С„,в имеет жорданову матрицу.
Получить отсюда новое изложение теории приведения к жордановой форме квадратных матриц над алгебраяческя замкнутым полем. ЗНДОМОРФНЗМЫ ВККТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 99 о21) а) Пусть А — квадратная матрица порядка п над алгебраии чески замкнутым полем и )СА (Х) = П (Х вЂ” сес) — разложение ее С=С характеристического многочлена на множители первой степени.
Показать', чта при 1 ~( р < п характеристический многочлен р-й внешней степени матрицы А (гл. 111, 5 О, и' 3) равен П (Х вЂ” пн), и где Н пробегает множество последовательностей из р целых чисел (ф,),ыьыр таких, что 1 < й < Сз «... Ср ~4 л, и для всякой такой последовательности и = (Сл) положено ан = ас а, ... ае . Вывести з р. р ( н отсюда, что йеС ЯА) = (Леь А)~Р б) Пусть А — жорданова матрица 0и,н, и Ф О. Покааать, что при л ~е 3 р-я внешняя степень матрицы А подобна диагональной таблиЦе из жоРДановых матРиЦ Уг, лв, гДе 3 < г ( п, и число ел г этих матриц, имеющих порядок г, удовлетворяет следующим соотношениям: е„ж — — О при г ) л, енр, — — 1 при р = 1 и р = и — 1, е„р„— — О при 1 < р < л — 1, и, наконец, еич, р,„—— е„р„+ е„, р и „(расположить индексы Н в лексикографическом порядке и воспользоваться упражнением 10а)).
22) Пусть Т, (1 ( 1 ~( и, 1 (1 < и) — лз переменных и Т = (ТН) — матрица порядка и над кольцом Я [Тнн ..., Т„„). Обозначим через Л (Т,О ..., Т„„) (саответственно ЛН (Тяп ...,Т,)) определитель матрицы Т (соответственно алгебраическое дополнение в Т элемента ТН); атн выражения являются многочленами от Т с целымк коэффициентами. Пусть Х; (1 < 1 < и, 1 (1 < л) — из лоллрно иерееелоноеочныз квадратных матриц порядка р иад коммутативным кольцом А с единицей и У вЂ” квадратная матрица порядка ир над А, имеющая ввд квадратной таблицы из матриц ХНХю ° ° Хси ХНХзз ° ° Хти ХлсХиз ...
Хил Показать, что определитель матрицы Н равен определителю квадратной матрицы Л (Х„,..., Х„„) порядка р. Провести нндукцию по л, рассматривая два случая: а) Положим Уц = Л" (Хм, ..., Х „) и предположим сначала, что Леь Ун не является в А делителем О; умножить тогда матрицу 0 слева на < ГМ Угг "° Улг О У ... О О О ... Тр 100 ИОДУли нАД кОльЦАми го1АВных иДеАлОВ гл.
У1Ц о б б) Общий случай свести к а), рассматривая матрицу 2 1„— 11 иад кольцом мвогочлепа А [2) от одного переменного 2. 23) Пусть А — коммутативпое кольцо с едииицей, Хеу (( ( 1 ( и, 1 (1 ( и) — пз попарно переетаноеочныа квадратных матриц порядка и иад кольцом А, (е;) пепи — базис А-модуля А". Предположим, что выполияа1тся и соотношений 'Я Хце) = О (( (1 ( п), где е1 1=.! отождествлен с матрицей-столбцом из своих компоиеит относительно каиокического базиса модуля А". Показать, что (в обозиачеииях упражнения 22) А (Х11,..., Х„„) = О. (Положив в этих обозиачеяиях Уе = А 1 (Х», ..., Х„„), рассмотреть уравкеиия "г"1» (ч~~~ ~Хцее) = 0.) 1=1 Получать из этого результата новое докааательство теоремы и Гамильтона — Коли (если Х = (иц), то ~~~ (со11 — б1.Х) е1 = О, )=1 где бц — символ кроиекера и (е1) — капопическпй базис модуля А").
ПРИЛОЖЕНИЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ УНИТАРНЫХ МОДУЛЕЙ Обобщим некоторые результаты Э 5 на эндоморфизмы произвольных унитарных модулей над коммутативным кольцом. В дальнейшем А — коммутативное кольцо с единицей (и, быть может, с делителями нуля), Š— унитарный А-модуль и и — эндоморфизм модуля Е. 1. Модуль, ассоциироваъгный с эидомоттфанмом Рассмотрим кольцо многочленов А [Х! от одного переменного Х над кольцом А. Для любого многочлена р ~ А [Х! и любого х Е Е положим рх=- р(и)х; (1) тем самым определено билинейное отображение (р, х) -~- рх произведения А [Х! Х Е в Е, задающее на Е структуру унитарного А [Х[-модуля.
Множество Е, наделенное этой структурой, обозначается Е„; заданная па Е структура А-модуля получается сужением на А кольца операторов модуля Е . Заметим, что подмодули модуля Е, представляют собой не что иное, как подмодули модуля А, устойчивые относительно и. Так как отображение (р, х)-+ рх произведения А [Х! я. Е в Е А-билинейно, то оно канонически определяет А-линейное отображение ~р тензорного произведения А [Х! ф Е А-модулей А [Х! и Е в А-модуль Е: для любых р Е А [Х! и х Е Е имеем ~р(р 8 х) =р х= р(и) х (2) (гл. 111, з 1). С другой стороны, известно (гл. 1Н, з 2), что тензорное произведение А [Х! ф Е наделяется структурой А [Х[-модуля 102 пгиложкние с помощью равенства о (р З х) = (др) З х для любого а с А [Х1; выполняется равенство ф (о (р З х)) = ф ((ор) З х) = (д р) х = о (и) (р (и) х) = д ф ( р З х), и поэтому ф является, в смысле этой структуры, А [Х1-линейным отображением А [Х1-модуля А [Х1 З Е в А [Х1-модуль Е„.
Мы предполагаем изучить структуру А [Х1-модуля Е, с помощью отображения ф. Заметим, что и является А [Х1-эндоморфизмом модуля Е„, так как и (рх) = (ир (и)) х = р (их). С другой стороны, формула (3) и (р З х) = р З (их) определяет А [Х 1-зндоморфизм и тензорного произведения А [Х1ЗЕ. Из формул (2) и (3) сразу же следует, что А [Х1-линейные отображения и, и и ф связаны соотношением ф о и = и о ф. (4) Наконец, обозначим через ф А[Х1-зндоморфизм Х вЂ” и тензорного произведения А [Х ! З Е (другими словами, ф (р З х) = = (Хр) З х — р З (и х)), Тогда имеем следующее предложение: Нзвдложкнив 1.
Образ тензорного произведения А [Х1 З Е -1 при А [Х)-линейном отображении ф равен Е„; ядро ф (0) отображения ф совпадает с образом А [Х1 З Е при зндоморфизме ф = Х вЂ” и. Так как ф (1 З х) = х для любого х Е Е, то, очевидно, ф является отображением А [Х) З Е на Е; с другой стороны, р(Х(р З х)) =Х ф(рЗх)=и.ф(рЗ х); иными словами, фл Х = ноф; ввиду (4) файф = О, то есть образ М тензорного произведения А [Х1 З Е при отображении -г содержится в ф (0). Таким образом, достаточно доказать, что ф(0)с М. Для етого заметим, что поскольку одночлены Х" (й) 0) обраауют базис А-модуля А [Х1, то всякий элемент г г.
А [Х 1 З Е однозначно записывается в виде з = ~~~~ Хь З хю где элементы з 10З эндомогч»измь» гнитлгнь»х модглкк -» ха к Е все, кроме конечного числа, равны нулю. Коли г Е»р (0), то»р (г) = ~ и".ха — — О, и можно написать г= — ~ (Х" 8 ха — 1 ® (и" хь)) = ~к~ ~(Х" — и") (1 ® хь). Но А [Х 1-эндоморфизмы Х и и тензорного проиаведения А [Х 8 Е перестановочны, так что Х" — й является композицией ь †» Х вЂ” и и ~ Х й ~ ', это доказывает существование элемента »=о у б А [Х1 ® Е такого, что г = »[»у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
