Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 19
Текст из файла (страница 19)
и' 4, замечание 1 к предложению 10 и упражнение 1Э). 83 ЗНДОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 4. Приведение к диагональному виду Опгкдклкник 5. Пусть Е» — векторное пространство конечной размерности и над полем К и и — его эндоморфиэм. Говорят, что и приводится к диагональному виду, если в пространстве Е имеется базис (е1), относительно которого матриуа эндоморфизма и диазенальна.
Зто утверждение равносильно тому, что в пространстве Е существует базис, состоящий из собственных векторов зндоморфизма и, нли еще, что собственные векторы эндоморфизма и порождают Е. Пгьдложвник 9. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и над полем К, и и — его эндоморфизм, приводящийся к диагональному виду. Для любого собственного значения сс ~ К эндоморфизма и через У обозначим соответствующее собственное подпространство. Тогда Е является прямой суммой $' . Пусть (е,) — базис пространства Е, относительно которого эндоморфизм и имеет диагональную матрицу У = (и1;), и пусть У, а Е К,— множество таких инДексов 1, что ии — — а.
Запишем п условие принадлежности элемента х = ~ $1е1 Д1 ~ К) про1=1 странству р; оио означает, что их = ~ и11$1е1 = ~ а~,в1, 1=1 1 1 то есть $1 = О при 1(( У . Таким образом, семейство (е1)1зг а является базисом в г', откуда непосредственно следует предложение. Это предложение следует также нз предложения 1 (н' 1). Пгкдложкник 10.
Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и над полем К, и и — его эндоморфизм. Следующие утверждения эквивалентны; а) Эндоморфизм и приводится к диагональному виду. б) Все корни минимального многочвена д (Х) эндоморфизма и простые и лежат в К. В самом деле, каждое из условий а), б) означает, что в пространство Е имеется базис, относительно которого матрица У 6" 84 мОДУли нАД кольЦАми ГлАВных иДИАлОВ Гл.
У11 1 5 эндоморфиама и имеет вид диагональной таблицы нз жордановых матриц Г1, (и' 2, определение 2). Вычисление минимального многочлена матрицы 0 (и' 2, предложение 6) покавывает, что утверждения «все а — простые корни миогочлена а (Х)» и «все показатели т равны 1» эквивалентны. Однако последнее утверждение показывает, что 11 — диагональная таблица нз матриц порядка 1, откуда н следует предложение. Слкдствяк. Если все корни характеристического многочлена андоморфигма и простые и лежат в К, то и приводится к диагональному виду. В самом деле, минимальный многочлен делит характеристический многочлен.
3 а м е ч а н н я. 1) Ксан матрица (г дкагоиальна и (а;) — ее диагональ, то матрица Х уи — 1Г диагональна, ее диагональ есть (Х вЂ” а;), и к характеристический многочлен матрицы (Г равен П (Х вЂ” и;). 1=1 Вычнсленяе сумм п проязведенкй дяагональных матриц (гл. 11, 1 6, и' 5, упражяеняе 1) непосредственно покааывает, что Хи Щ = О. отсюда следует теорема Гамильтона — Кэли (следствяе 2 предложеикя 8) для матриц,подобных некоторой диагональной матрице. Пусть .теперь у, (1 ( г ( и, 1 ( 1 ( и) — из переменных; рассмотрим матряцу У =- (У1.) с элементамн на алгебраического замыкаяяя П поля рацпонааьяйх дробей 9 ((УП)).
Характеристический много«лен т«атриды У является многочленом с Ч«лмми коэффициентами Р ( Угр Х) от переменных У1- и Х; характеристический многочлен проязвольнок матрицы (ип) над прояавольнмм коммутатквным кольцом равен Р (вьо Х). Покажем, что все корни многочлена Р (У1,Х), рассматря- 11 ваемого как многочлен яз кольца П (Х), яр«асме. В самом деле, пусть Я» (1 (» ( и) — и переменвмх; рассмотрям вгногочлен В (Я1„Х) = Х" + Я1Х" 1+... + Я„над полем Я =Я (Я1,..., Я„); пусть Ь» (1 (» ( и) — его корни в алгебраическом замыкании поля Яб элемент А = П (ь1 — ~г)з является симметрическим многочленом 1<1 с целымк коэффициентами от переменных ь», л следовательно, будет многочленом Ф (Я1, Яг...
„ Яи) с целыми коэффициентами от Я1, (гл, У, Прнложеняе 1, предложенне 3). Пусть Р (У, Х) = Х" + и + ~ Р» (Уг ) х"-", где Р» — мкогочлены с целыми козффнцнентамп »=.1 от У«И если бы мкогочлен Р имел кратные корин, то выполнялось бы равенство Ф (Р1 (У1 ),..., Ри (У )) =О; но при подстановке сюда ЗНДОМОРвРИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 85 вместо УН элементов некоторой диагональной матрицы с раалкчвыми диагональными элементами получается протпворечпе. Следовательно, матрица У подобна диаговалькой матрице и Р (Угу, у) = О. Так как элемевты матрицы Р (Ув, У) являются мпогочлепамм с целыми козфгт фпЦкевтами от ПЕРемепвых Ув, то иРинЦин нРсдслженил алеебРаичесниг тождеств (гл.
Гв', 1 2, схолпя к теореме 3) показывает, что для любой матрицы У = (иы) пад нрвзввслънылв нвмлвутативнывв нсльцсл выполняется равенство Хи(д)=Р(иы, д)=о. Это доказывает теорему Гамильтона — Кале дзл общего случая матриц кад коммутатизкым кольцом, 2) Заметим, что в предшествующем доказательстве мы пе попользовали других результатов, доказанных в атом параграфе: з самом деле, возможность приведения к диагональному ввду матрицы, у которой все собстзеввые значения раалпчвы, как у (УЫ), следует из того, что и соответствующих собственных вектороз линейно независимы. В процессе доказательства предложения 10 мы видели, что жорданова матрица может быть подобна диагональной матрице только в случае, если ее порядок равен 1. Заметим, что нильпотентный зндоморфизм, приводимый к диагональному виду, является нулевым.
Пнедложзниз 11. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности п над алгебраически замкнутым полем К, и и— его эндоморфизм. Эндоморфизм и единственным сиособом можно предстовшпь в виде и = Р+ ив, где и и и» вЂ” перестаноеочные эндоморфизмы пространства Е, Р приводится к диагональному виду, а ив нильпотентен. При этом Р и ив являются многочленами относительно и. Предположим, что существует пара (Р, во), удовлетворяющая первой части утверждения; убедимся, что такая пара единственна.
Пусть гг — собственное значение эндоморфигма Р и ӄ— соответствующее собственное. подпространство. Так как о н и перестановочиы (поскольку и = Р+ и>), то г' устойчиво относительно и; зто следует из леммы: Лемма 2. Пусть у и Ь вЂ” перестановочные эндоморфизмы векторного пространства Е. Всякое собственное подпространство эндоморфизма д устойчиво относительно й. 86 ИОдули ИАд ИОльцАми глхвных идкАлОВ гл. чи, $5 В самом деле, если И'А — собстввниое подпростраиство зндоморфизма д, относящееся к собственному значению А, то отношение х с лт'А влечет.дй х = Ьд х = й Ах = Ай х. Это показывает, что йх с Ига Следовательно, подпростраиство у' устойчиво относительно и и ю; так как сужение о иа г'„является гомотетией с коэффициентом а, то сужение и — а ка г'„совпадает с сужением иа У„зидоморфизма ю и, следовательно, нильпотектко.
Это означает, что Р„ содержится в подпростракстве М , состоящем из векторов х 6 Е, для которых существует такое целое число )с> 1, что (и — сь)ьх = О. Так как Е является прямой суммой г'„(предложеиие 9) и прямой суммой М (предложвиив 4), то отсюда следует, что гг„= М . Следовательно, о однозначно определяется эидоморфизмом и: его сужение па каждое М„является гомотетией с коэффициентом сг. Обратно, определим эидоморфизм о этим условием и положим ю = и — и Ясно, что о приводится к диагональному виду и эидоморфизм и~ иильпотеитеи.
Остается убедиться в том, что и и й являются мпогочлвиами относительно и (отсюда ужв будет следовать, что оки перестаковочиы); достаточно показать это для о. Однако по предложению 4 существуют такие миогочлеиы д„, что компонента в М„любого элемента х ~ Е равна д„(и) х. Тогда о = ~ ид„(и), что и заканчивает доказательство. а 3 а меч а я ля. 1) Пусть П матрица эядояорфязма га тогда У = Б + Х, где матрица Х подобна лкагояальвой матрице, Ж нильвотеятва, и 8 и Х являются мяогочлекани относительно П. Если П является диагональной таблицей кз жордаяовых матриц, то Ю сводятся к ее диагонали, а Ч вЂ” треугольная матрица, состоящая яз нулей и единиц (в" 2). 2) В' общем случае можно сделать уточнение об алемеятах матриц д и Х: Пгвдложвиив "г2.
1Хусть К вЂ” алеебраически замкнутое поле, Р— его подполе, 0 — квадратная матриц, зсе элементы которой принадлежат Р, и характеристический мнозочлен ее сепарабелен над Р. Тозда есе элементы матриц 8 и Х принадлежат Р. Пусть Е с: К вЂ” поле корней характеристического миогочлеиа матрицы с); существует такая обратимая квадратная матрица Р ЭНДОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 87 с элементами из поля Ь, что матрица РЮР ' является диагональной таблицей из жордановых матриц (замечание 1 к предложению 5); следовательно, все элементы матриц Я и гт' принадлежат Х. Пусть а- произвольныйР-автоморфнзм поля К; для любого много- члена р ~ К [Х] через рс обозначим многочлен, полученный нз р после применения к его коэффициентам автоморфнзма в; аналогично для любой матрицы А над полем К через Ас обозначим матрицу, полученную из А после применения к ее элементам автоморфизма и; ясно, что если В = р (А), то Вс = рп (Ас).
Рассмотрим теперь матрицы Яс и гт'с. Так как 17 = Ус, то С = Я + гт'с; кроме того, матрица Яс приводится к диагональному виду, гт'с нйльпотентна, и если Я = р (сг), то Яс =- рс (У). Тогда кз единственности разложения матрицы У следует, что Ло =- Я и )т'с = )т'; это означает, что элементы матриц Я и гт' инвариантны при любом Р-автоморфизме о поля К. Однако, по предположению, поле 7, сепарабельно над Р, и следовательно, элементы матриц Я н гт' принадлежат Р (гл. У, з 7, п' 2, определение 1). Заметим, что заключение предложения 12 неверно, если характернстнческнй многочлен матрицы У нс сепарабелен над г" (упражнение 12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
