Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1, 1 6). ч13) Пусть М вЂ” модуль кручеякя ковечкого типа яад кольцом главных идеалов А. Приведением ееиряженнии модулем модуля М называется модуль, сопряжеивый к точному модулю, ассоцппроваияо- му с М (см. псправлеиия к выпуску т 1). Этот модуль также обоапа- чается через Ме. а) Показать, что модуль Ме, рассматриваемый как А-модульн изоморфев модулю лпиейвых отображеивй модуля М в А-модуль К/А (см. 1 2, и' 3); зтв отображения вазываются зараюнерами мо- дуля М, б) Показать, что если злемеиты се, р 8 А ве равны О, то модуль ливейяых отображений А/(и) в А/(()) изоморфев А (б), где б — в.
о. д. и п р (гл. 11, 1 2, упражнение 2). Вывести отсюда, что приведенный сопряженный модуль М* модуля М иеоморфен М п кавояпческое отобрюкекие модуля М в Мее является изоморфизмом М яа Мч" (прпмееить упражпевие 12). в) Пусть Н вЂ” подмодуль в М, /Ус — подмодуль в М*, ортоговаль- кый к Д/, Десс — подмодуль в М, ортогоиальиый к /Ус; показать, что /усе = /у и что модуль, совряжеввый к /у, отождествляется с й/е//уо (заметив, что модуль, совряжеивый к 5/, содержит Ме/Уе, а модуль, сопряженный к Ме//Ус, равен Усе в содержит /У, применить упраж- вевпе 12).
модули коничного тнпл н»д кольцом гл»вных ндвьлов 67 г) Применяя в), распространить ва модули кручеиия конечного типа кад кольцом главных идеалов теорию линейных уравнений иад телом, развитую в гл. 11, $4, и' 8. д) Вывести из б) и в), что для любого подмодуля Л/ модуля М в М найдется подыодуль Р такой, гго М//У изоморфеи Р, а М/Р иаоморфеи Л'; два подмодуля М, обладающие этими свойствами, называются ээаилимли. Показать, что при любом сс 8 А подмодуль М (а), состоящий из элементов з б М таких, чтоссз = О,к подмодульаМ взаимны. "14) Пусть М вЂ” модуль кручения коиечиого типа иад кольцом главных идеалов А.
а) Показать, что для любого его подмодуля Л' ранг и модуля М ие превосходит суммы рангов модулей Н и М/Л/. (Пусть М = Е/Н, где Š— свободный модуль равга и и Н вЂ” его подмодуль раига и; пусть Л' = Л/Н, где Н с Л с Е; заметить, что если ранг модуля Л1 равен р, то в Н существует подмодуль Л ранга и р, обладающий в Л дополнением Ю, и Ю 1") Н = Л является его дополнением в ХХ; кроме того, модуль (Е () ЕЛ)/Л имеет ранг р.
и — р и изоморфеи фактор- модулю модуля Е/Л (упражиекие 10а)); в заключеяие воспользоваться упражнением Зб).) б) Пусть Л/ — подмодуль модуля М ранга р, и пусть о ранг фактормодуля ЛХ/Л'. Пусть Аа~ (1 ( 1 ( и) — иввариавтвые факторы модуля М, а А()» (1 ( Ь ( р) — иввариаитвые факторы модуля М, расположевяые в порядке возрастания. Показать, что при 1 ( Ь ( р элемевт р» делится ва а» <р»ч „, (использовать а) и упражяеиие 8в), заметив, что (»М)/(»Н) изоморфев фактормодулю модуля М/Л/). 15) а) Пусть М вЂ” модуль кручеиия конечного типа ранга и вад кольцом главных идеалов А, и Аа~ (1 ( / ( и) — его иивариавтвые множители, расположеивые в убывающем порядке. Пусть (()~) (1 ( 1 ( ( и) — некоторая последовательвость элемевтов кольца А такая, что при 1 ( 1 ( и (); делит а; и при 1 ( 1 ( и — 1 а; делит ()1+о Пусть (М;) — последовательность подмодулей модуля М такая, что М1л1.„является примой суммой М~ и М~ иаоморфеи А/Аа1 (1 (1( и), 'пусть а; — образующий модуля М~ (1 ( 1 ( и).
Положим Ь=()~аг+ ~ эз+ ~(~й~ аз+... + ( ~~ '"' (" а„. а~ а~аз а~аз ... а„ г Показать, что фактормодуль модуля М по моиогевиому подмодулю АЬ иаоморфев прямой сумме и модулей А/Ай~ (1 (1 ( и). б) Пусть М и /Х вЂ” модули кручеиия ковечиого типа вад кольцом А, Аа; (1 (1 ( и) и А()» (1 ( Ь ( р) — иивариавтвые факторы соответствекво модулей ЛХ и Н, расположеивые в убывающем порядке; предположим, что р. и, ()» делит а»+ р при 1(Ь(р па» Делит 8»»<р+ч и> пРи 1 ( Ь( и — Х, гДе Х вЂ” целое число такое, что о -( и ( р+ д. Показать, что в модуле М существует подмодуль Р, пзоморфкый /У и такой, что ранг М/Р ве кревосходпт' о (разложить модули ЛХ и Л' в прямую сумму о модулей, сводя, таким 5» 68 модулн над кольцами главных идвалов гл, чн, 14 образом, доказательство к случаю е = 1; затем применять а) н упражнение 16д)). в) для того чтобы модуль <у над кольцом Л был изоморфен подмодулю модуля кручения М конечного типа, обладающему в М дополнением, необходимо и достаточно, чтобы всякий элементарный делитель Л/ был элементарным делителем ЛХ и его кратность в Л' яе превосходила его кратности в М.
Получить отсюда пример модуля кручения М конечного типа и его подмодуля Л' такого, что ранг М равен сумме рангов модулей Л< и М/Л<,но Л/не обладает в М дополнением (пспольаовать а)). 16) Пусть М вЂ” модуль иад коммутативвым кольцом А. Подмодуль Л' модуля М называется хираитериетичееиии, если и (Л/) с Л< для любого зндоморфизма и модуля М.
Для любого а 6 А подмодуль М (а) элементов э р М, ащ<улнрующнхся элементом а, и подмодуль аМ являются характерпстическпмк подмодулями. а) Показать, что еслн Л< — характеристический подчодуль в М и Р и Д вЂ” дополнительные подмодули в М, то Л< является прямой суммой Л/ П Р н Л< () О (рассмотреть проекции модуля М на Р и 4/). б) Пусть М вЂ” модуль кручения конечного типа иад кольцом главных идеалов Л; пусть Асс< — инвариантные факторы модуля М, расположенные в убывающем порядке (1 ( < ( и)', пусть (М;)<ч<ч„— последоватетьность подмодулей модуля М такая, что М является прямой суммой М<, и каждый модуль М< иаоморфен А/Аа; при 1 ( е ( и.
Пусть Л< — характеристический подиодуль в ЛХ, и А()<— аннулятор Л/ () М; (1 ( / ( и); положив а< —— ()<у<, покааать, что прн 1 ( 1 ( и — 1 )1; делит 6<+< н у< делит уьь< (заметить, что при 1 ( / ( и — 1 существует эндоморфизм модулк М, переводящий М< в М<ч<). в) Обратно, пусть Л< — подмодуль в Ле, являющийся прямой суммой подмодулей Л<< ~ М<', предполоя<вм, что аннуляторы А()< подмодулей л<< (1 (1 ( и) удовлетворяют предыдущим условиям. Покааать, что Л/ — характеристический подмодуль в М. Вывестн отсюда, что если характеристические подмодули модуля М имеют одинаковые инвариаитные факторы, то они совпадают.
17) Пусть А — кольцо главных идеалов, элемент а р А отличен от О, Š— модуль Л/А„. Произведение Е" иаоморфно А" /аЛ". а) Пусть и — линейное отображение Е" в Е"', покааать, что и может быть получено путем факторизации из некоторого линейного отображения а произведения Л" в А"'. б) Пусть А)1< (1 ( г ( р ( М(п (т, п)) — инвариантные факторы модуля э (Л") отиос<ыельно Лт, расположенвь<е в убывающем порядке, е ( р — иапболыпвй из индексов / таких, что а не делит ()<, и 6< — н.
о. д. элементов а и 6<, 1 ( 1 ( д. Покавать, что ядро и-< (О) отображения и является прямой суммой а — </ модулей, изоморфных Е, и д моногенвых модулей, изоморфвых соответственно модулям А/Абе МОДУЛИ КОНЕЧНОГО ТИПА НАД КОЛЬЦОМ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ бм (1 ~( 1 ( д). Положив а = у»б» (1 < 1 ( д), показать, что Ау» являются инваряавтными факторами модуля и (В"). 18) Пусть С вЂ” кольцо главных идеалов. Рассмотрим систему и лннейямх уравнений ~ а»Д; = )),. (1 <» ( т), все коэффициенты 1=1 и правые части которой принадлежат С, и обозначим через А матрицу (а,") нз т строк и и столбцов н через  — матрицу, полученную из А добавлением (и+ 1)-го столбца (81].
Показать, что рассматриваемая система имеет по крайней мере одяо решение ($!) в С" тогда н только тогда, когда выповяяются следующие условия: 1' матрицы А и В имеют одинаковый ранг р; 2' некоторый н. о. д. миноров порядка р матрицы А равен некоторому н. о. д. мняоров поряда р матряцы В (использовать предложение 3 я упражнение 9в)). 19) Пусть С вЂ” кольцо главных идеалов. Рассмотрим систему «линейных коигруэнцнй» "~~~ а»!з! =-. 81 (шоб а), где коэффициенты, 1=1 правые части и элемент а принадлежат С; обозначим через А матрицу (а»у), через  — матрицу, полученную нз А добавлеяием столбца (81), через ба (соответственно ба) — некоторый н.
о. д. миноров порядка й матрицы А (соответственно В). Рассматриваемая система имеет по крайней мере одно решение в С" тогда н только тогда, когда: а) при т ( и п. о. д, элемеятов а", а"" зб„..., аб»» ы язпястея Н. О. д. ЭЛЕМЕНТОВ С«и', ае»-'б»,..., аб »-1, би», б) при т ) и н. о. д. элементов а"+', а"б„..., аб„является и. о. д.
элементов аи»», а"б',..., аби. (Свестн систему линейных конгруэнцнй к системе линейных уравнений и использовать упражнение 18.) 20) а) Пусть С вЂ” кольцо главных идеалов и !(з1 зю" зр)=х а«,1, А $1,1132,1," $,„ («а) — р-ЛННЕйяая фОрМа, Олрздспзииая В Ви, ГдŠ — С-МОдуЛЬ С" (91!— координата с номером ! элемента з1). Показать, что если б — н. о. д. коэффициентов а;,1 1, то существует точка (аа) б ю' такая, что ! (з,, аг,..., зр)=-б(свести доказательствомслучаю б =- 1и, используя теорему 1, провести индукцию по р).
б) Пусть а; (1 ( 1 ( и) — и элементов кольца С, и б — нх н. о. д. Показать, что существует квадратная матрица А порядка и над кольцом С, правый столбец которой равен (а1), а определитель равея б (использовать а)). 21) Пусть С вЂ” кольцо главных идеалов, А = (аь)) — квадратная матрица порядка и над С. а) Покааать, что над кольцом С существуег квадратнап матрица У порядка и с определителем 1 такая, что первые и — 1 элементов 70 модули над кольцами гллвиьгх идкллов гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
