Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 13
Текст из файла (страница 13)
р, где рь (1 (/г(т) — различные простые числа. Следовательно, рз-компонента группы 6 является циклической группой порядка рз (1(/с(т). По следствию 1 в группе 6 существует элемент порядка и. з. Неразложимые моду/ли. Элементарэзые делизпели Опгеделение 3. Модуль М над (произвольны.ч) кольцом А называгтся разложимым, если он пргдставлгн в виде прямой суммы двух подмодулвй, отличных от М и от (О). В противном случив он называгтся неразложимым.
Заметим'(гл. 1, $ 6, В' 6), что моногениый модуль А/а разложим тогда и только тогда, когда существуют такие идеалы Ь и с, отличные от а и А, чтоА = Ь+ с и а = Ь П с. Тогда модуль А 'а изоморфен прямой сумме модулей А/Ь и А/с. Если А — кольцо целостности, то идеал а =-.
(О) этим свойством пе обладает, ибо в противном случае произведение любого элемента х Е Ь и любого элемента у Е с равно нулю, а это невозможно. Следовательно, кольцо целостности А является неразложимым А-модулем. Если А, — кольцо главных идеалов, то а = (а), Ь =- (Ь), с = (с) и предыдущие условия означают, что а есть н. о.
к., а 1 — и. о. д, элементов Ь и с (з 1, и' 2, предложение2). Элемента ассоциирован тогда с произведением двух независимых элементов Ь и с (гл. у'1, Ь 1, В'12, предложение 12 (ДЕЛ)); но зто возможно лишь в случае, когда элемент а делится на несколько различных экстремальных элементов. Иэ сказанного можно заключить, что всякий А-модуль конечного типа разлагается в прямую сумму моногенных подмодулей (В' 3, теорема 2). Пгедложение 6. Для того чтобы модуль конечного типа над кольцом главных идеалов А был нгрвзложим, необходимо и достаточно, чтобы он был иээмсрфен модулю А или модулю вида А /(р"), гдг р — экстремальный элемент кольца А и п>1 — целое число.
60 модзлн нлд кольцами главных идвллов гл. гп. г 4 Теперь ясно, что всякий модуль конечного типа над кольцом главных идеалов является прямой суммой неразложимых модулей. Более точно:. Пгвдложккив 7. Пусть А — кольцо главных идеалов, и Р— система представителей экстремальных элементов кольца А. Всякий А-модуль конечного типа Е разлагается в прямую сумму неразложимых подмодулей конечного типа. ((ля такого разлолсения обозначим через т (О) число неразложимых подмодулей, изоморфных А, и для всякого элемента р" (р Е Р, п>~1 — целое число) обозначим через т (р") число неразлолсимых подмодулей, изоморуэных А ~(р"). Тогда числа т (О) и т (р") не зависят от рассматриваемого разложения. В самом деле, модуль Е является прямой суммой своего модуля кручения М (который определяется однозначно) и свободного модуля, изоморфного Ач (и'3, следствие 1 теоремы 2).
Целое число д =- т (О) определяется однозначно, так как оно равно рангу свободного модуля Е!М. Докажем теперь, что модуль кручения М есть прямая сумма неразложимых' модулей конечного типа. Нам потребуется следующая лемма: Лвмма 2. Если А — кольцо главных идеалов, то любой подмодуль моногенного модуля сам является моногенным.
В самом деле, любой подмодуль моногенного А-модуля А/(а) имеет вид (И)/(а), где а делит а; следовательно, ок порождается смежным классом элемента д по гпод а. Рассмотрим каноническое рааложеиие модуля М в прямую сумму его р-компонент Мр (з 2, теорема 1) и некоторое разложение модуля М в прямую сумму моногенных подмодулей Х; (и' 3, теорема 2). По следствию теоремы 1 з 2 модуль Х, есть прямая сумма подмодулей Л'; () Мр (р пробегает множество Р). По лемме 2 калсдый из модулей Н, () Мр моногепиый, и поскольку его аннулятор имеет вид (р"), то модуль Н; () Мр иаоморфен фактормодулю А /(р"). Докажем, наконец, что числа т (р") определяются однозначно. Так как М вЂ” модуль конечного типа, то ои не может быть разложен в бесконечную прямую сумму подмодулей, отличных от (О); каждый иа образующих элементов модуля М в любом прямом раз- ИОдули кОнечнОГО типА нАд кольцом ГлАВных идеАлоВ 61 ло;кении М имеет конечное число компонент чь О.
Следовательно, в каждом разложении модуля М в прямую сумму неразложимых подмодулей имеется лишь конечное число подмодулей, изоморфных А /(р"). Обозначии через Рр сумму всех неразложимых подмодулей такого разложения, являющихся р-модулями. Ясно, что Рр с: Мр, и так как модуль М является, с одной стороны, прямой суммой подмодулей Рр, а с другой стороны, прямой суммой подмодулей Мр (р пробегает множество Р), то Рр —— Мр при любом р~ Р, Наконец, так как модуль Рр есть прямая сумма конечного числа подмодулей, нзоморфных модулям вида А /(р"), и множество идеалов (р") (и~~1) совершенно упорядоченно по включению, то единственность чисел т (рэ) вытекает из следствия предложения 2. Определение 4.
В обозначениях предлолсения У, идеалы (р") (р ~ Р, и >~ 1 — целое число), для которых т (р") ) О, называются элементарн ми делителями модуля Е, а целые числа т (р") — их кратностями. Если число т (0) ) О, то оно называется кратпностью нулевого элементарного делителя. Как и для инвариантных множителей (и' 2, определение 1), в случае, когда А = Я или А = К (Х) (К вЂ” поле), канонический образующий идеала (р") (целое положительное число или унитарный многочлен), допуская вольность речи, также называют элементарным делите ем модуля конечного типа Е. 3 ам е ч а н и я. 1) Если Ь' — конечная абелева группа, то ее структуру можно описать, выписав последовательно ее элементарные делители, каждый столько раз, какова его кратность. Говорят, например, что группа С есть группа»типа (2, 2, 4, 27, 27, 25)» (или просто <группа (2, 2, 4, 27, 27, 25)»), если оиа изоморфка произведению двух групп 2/(2), одной группы Е/(2»), двух групп Е/(Зз) и одной группы Е/(5з).
2) Если модуль кручения /Е конечного типа над кольцом главных идеалов А задан как прямая сумка ыоногелных модулей, изоморфвых фактормодулям А/(од (в частности, если известны его впеариавтиые множители), то можно найти его элементарные делители, а следовательно, и кх кратности, заметив, что факторкольцо А/(з) изоморфно ироизэедекию факторколец А (р» ~Р)), где а .—. е П р" ОΠ— разложерьр иие элемента а па экстремальные множители (1 1, предложение 4], Рассмотрим в качестве примера мультплликатэзкую группу С (464600) обратил»ых элементов кольца Е/(464600) Я 2, п' 4).
Тэк как 2 модули над кольцами главных идкллов гл. тн, 14 464600 = 2з 5з 23 101, то эта группа паоморфва проиаведению групп 6 (2з), 6 (5з), 6 (23) и С (101) ($2, теорема 3). Последние три группы циклические, и нх порядки 20, 22 и 100, а группа 6 (2з) является проиаведением двух циклических групп второго норядка (там же), так как 20 = 2з 5, 22 = 2 11 и 100 = 2з 5з, то группа (464600) имеет тип (2, 2, 2, 2з, 2з, 5, 5з, 11). 3) Для вычисления иввариавтных факторов модуля кручения по иззествым элемеятарным делителям снова будем опираться на тот факт, что если алемевты а1кольца А попарно пеаависпмы, то произведение Ц А/(а;) является моногеквым модулем, иаоморфным А((а1аз...
а„) (4 1, предложение 4). Способ вычислеяня продемонстрируем на примере группы 6(464600): элементарные делители р" группы 6, относящиеся к одному экстремальному элементу р, записываются в одну строчку, начиная с элементарных делителей наивысшей степеня; каждая полученная таким образом строчка дополняется (если это необходимо) единицами, с тем чтобы все строки имели одинаковую длину: 2з, 2з, 2, 2, 2 5з,5, 1,1,1 11, 1, 1, 1, 1 Тогда нпвариантные факторы являются проиаведеннямп элементов, стоящих в одном столбце: 1100, 20, 2, 2, 2. В самом деле, группа 6 изоморфва произведению циклических групп порядков 1100, 20, 2, 2, 2 в ситу предложения 4 1 1, н поскольку каждый из этих порядков делится ва следующий, то зтп порядки являются инвариантными мнвкителямн группы С (теорема 3).
У п р а ж н е н н я. 1) пусть (г = (аи) — матрица из т строк и л столбцов над кольцом главных идеалов А. а) Предположим сначала, что элементы а;; независимы в совокупности. Показать, что существуют обратимые матрицы Р и 4) с элементами из кольца А такие, что матрица РАО равна единице. (Для каждого аы иь 0 пусть з(иы) — сумма показателей степеней в разложении а; на экстремальные элементы и г (С] — наименьшее пз чисел г (а;.) покааать, что если з (П) ) О, то существуют такие обратимые матрицы Л, о", что з ()1(гЯ) ( з (6); воспольаоваться тождеством Беау; применяя прн необходимости перестановки строк илп столбцов, ограничиться лишь такимп матрицами и и Ю, которые имеют зпд ( ' ТО и где Т вЂ” матрица порядка 2, Х вЂ” единичная матрица, плп 0 У,~' являются произведением таких матриц и матриц перестзвовок.) б) Пусть бг — и, о.
д. элементов матрицы (Г. Покааать, что существуют такие обратимые матрицы Ро ()и что модули коинчиого типа илд кольцом главных идналов 63 где все влементы матрицы и, делятси на бг (нспользовать а) н преобразования, состоящие в прибавлении к некоторой строке (или столбцу) некоторого кратного другой строки (соответственно столбца)).
в) Получить из б) способ явного вычисления инвариантных факторов матрицы с элементами из кольца А = Я. Применить этот способ к матрице 12 12 18 30 2) Пусть А кольцо главных идеалов. Для того чтобы два подмодуля М и )У модуля Ач переводились друг в друга некоторым автоморфизмом модуля Ач, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные факторы относительно Ач совладали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
