Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 8
Текст из файла (страница 8)
$4, следствие 1 теоремы 2). д) Пусть р — простое число; обоапачим череэ /Ч Я-модуль, являющийся примой суммой моыогеыиых модулей Е/(рч) (к>1), и череа е„— элемеыт модуля Л', у которого коордииата с помором н равна классу 1 (шод ри), а все остальные координаты равны нулю. Пусть М вЂ” подмодуль Е-модуля/у х (2, порожденный элемеятами (е„, р-"). Показать, что подмодуль кручеиия Р модуля М ые обладает в М дополнением (устаиовить, что всякий элемент модуля М/Р делится па р" при любом п, ыо ки один элемеят М, ке кратный (О, 1), ые обладает втим свойством). 8) Пусть А — кольцо главвыл идеалов, л — его экстремальный элемент и М вЂ” л-модуль.
Говорят, что элемент х б М имеет емсосиу и, если х б л"М и х б ли+'М. Элемеит х яаэывается элемеятом бесконечной емсоием, если х б л"М для всех и Р 1. а) Показать, что модуль М делим тогда и только *огда, когда все его алемеыты бесконечной высоты (упражыекие 3). б) Пусть х б М вЂ” элемепт высоты и и лх = О; покааать, что если * = лиу, то мокогеыыый подмодуль Ау модуля М обладает в М дополиеыием (заметить, что Ау — чистый подмодуль, и применить упражнение 7г)). в) Показать, что всякий неделимый л-модуль М содержит по крайней мерв один мокогеияый подмодуль, обладающий дополяеыием. (Пусть х б М вЂ” влемеыт коиечяой высоты и существуют целые числа т такие, что элементы леих ~ О и имеют бескоыечкую высоту; пусть е— наименьшее иэ этял чисел; записать равенство л,' * = лу, где высота у строго больше высоты л'-'т, и к элементу у — л'шх применить б).) Вывести отсюда, что всякий перавложимый л-модуль мокогепеи и иэоморфеы модулю (/н (упражпеыие 3).
9) а) Пусть М вЂ” л-модуль и Мо — его подмодуль, состоящий иэ элемеытов бвскоиечкой высоты. Показать, что л-модуль М/Ме ыв содержит элементов бесконечной высоты. б) Пусть р — простое число и Š— р-группа, прямая сумма групп Е„= Е/(ри) (и ~~ 1); обоаиачпм череа еи б Е„класс 1 (шод р"). Пусть Н вЂ” подмодуль Е, порождеякый элементами ег — ри-геи, и > 2, и М = Е/Н. Покаэать, что в М подмодуль Мо, состоящий иа элемектов бесконечной высоты, есть (Ег + Н)/Н и иэоморфея Ег. поэтому ыи один элемент иэ Мо ке имеет бесконечной высоты в Мв.
"10) а) Пусть М вЂ” л-модуль беэ элемектов бесконечной высоты и /Ч его чистый подмодуль, порождеяяый максимальыым псевдо- МОДУЛИ КРУЧЕНИЯ НАД КОЛЬЦОМ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 39 свободвым семейством элементов модуля М (упражкеиия 4 и 76)). Показать, что М//т' — делямый модуль (рассуждать от кротивиого, применяя упражиеиия 8в), 7в), 7б) и в заключение упражнение 4в)).
'б) Рассмотрим на модуле М метризуемую топологию л; ваяв в качестве фундаментальной системы окрестиостей куля подмодули я"М, я рь О (Общ. топол., гл. 111, $1, и' 2). Для того чтобы фактор- модуль М/р был делимым, иеобходвмо и дрстаточио, чтобы подмодуль Р был всюду плотен в М в топологии Я'. в) Р, и Рэ — всюду плотиые в М в топологии Х чистые подмодули, являющиеся прямыми суммами моиогеквых подмодулей. Покаэать, что Рг и Рэ иэоморфиы (ааметить, что для всякого э фактормодуль Рг/яеР~ иэоморфек М/я"М). г) Пусть М вЂ” пополнение М в топологви В (Общ. топол., гл.
111, $ 2, и' 7). Показать, что для всякого а б А отображепие х -~-ах является (топологическим) гомоморфиэмом М иа аМ, что для любого целого числа и подмодуль я"М открыт и эамкнут и является замыканием мвожества я"М, а фавтормодули /И/я"М и М/яаМ иэоморфяы. д) Пусть М вЂ” модуль кручения модуля М, показать, что М— я-модуль, М = М, и М вЂ” частый подмодуль в М.
е) Пусть я-модуль М является прямой суммой мкожества (Еа) моногеияых подмодулей. Топология Я'не дискретяа тогда и только тогда, когда аииулятор модуля М равен нулю. Обоэиачим в атом случае через Ь' произведение модулей ПЕ,„, и пусть Р— подмодуль Е, состоящий иэ элементов, у которых ие более чем счетное множество координат отлично от нуля; покавать, что модуль М можно отождествить (как топологический модуль) с подмодулем Р, обраэоваивым элемеитами (х„) такими, что для любого целого а существует лишь конечное число индексов а, для которых х„б я"Ьаг Показать тогда, что модули М, М, М и Р раэличвы.
Вывести отсюда, что Мие является ни прямой суммой моиогеивых модулей (испольэовать д)), ни прямой суммой неразложимых модулей (устаиовить, что М ие содержит элементов бескоиечкой высоты, и примеиить упражнеяие 8в))., "11) Пусть М вЂ” я-модуль, и Л' — его подмодуль, у которого все ненулевые элемеиты имеют в М высоту <А. а) Пусть Р— чистый подмодуль М, Р(я) С ./у (я) и Р (я) ~/у (я). Пусть а — элемеят иэ В (я), ие принадлежащий Р (я), и хе— элемент а+ Р (я), имеющий в М наибольшую высоту й; пусть хэ — — ч"ус.
Покаэать, что сумма Р+ Ауо прямая и является чистым подмодулем в М. б) Пусть В есть псевдосвободиое подмножество М, причем Р (я) ~ Л' (я), где Р— чистый подмодуль М, порожденный В. Показать, что существует псевдосвободиое подыяожество С з В такое, ято 40 моджли нлд кольцами гллнных мднллои гл. чп, 1 2 11 (я) = Л' («), где Π— чистый подмодуль, порожденный С (воспользоваться упражнением а), применить теорему Церна). е12) а) и-модуль М является прямой суммой моногенных подмодулей тогда н только тогда, когда в нем существует псевдосвободиое подмножество Н такое, что М (я) = Л< (я), где Л' — чистый подмодуль, порожденный Н. б) Модуль М разлагается в прямую сумму моногенных подмоду, лей тогда и только тогда, когда он является объединением возрастающей последовательновти (Рд) подмодулей, причем высоты ненулевых элементов наждого Рл сграиичеиы (для доказательства достаточности испольаовать а) и упражнение 11б)).
в) Вывести из б), что если модуль М является прямой суммой моногеивых подмодулей, то и всякий его подмодуль является прямой суммой моиогенных подмодулей. г) Пусть М вЂ” л-модуль со счетным множеством (хь) образующих. Покааать, что модуль М является прямой суммой моногенных подмодулей (обозначив через Рь подмодуль, порожденный образующими х<, 1 ( Л, применить к возрастающей последовательности Рь упражнение б) воспольаоваться упражнением 5, примененным к убывающей последовательности Рь П лтМ (при фиксированном )с)).
е13) Пусть п — экстремальный элемент кольца главных идеалов А, М вЂ” и-модуль иад кольцом А. Пусть 1 — множество ординальных чисел а (Теор. мв., гл. 111) таких, что мощность мнол<ества ординальных чисел (а не превосходит мощности М. Для каждого а у1 следующим образом определим подмодуль М<о~ модуля М< Ме = М; если а имеет предшествующий а — 1, то М<о~=яМ<о <>. в противном случае М<о1 равно пересечению всех М<31 для )) ( а. а) Показать, что существует наименьшее ординальное число т Е 1, иссисдиее для М, такое, что М<т+ю = М<т).
Показать, что М<т> обладает дополнением в М и является прямой суммой подмодулей, изоморфных Уи (упражнение 3). к-модуль Л1 нааывается ириссдеииыл, если М<т) = (О). б) Пусть М вЂ” приведенный л-модуль. Показать, что для всякого х б М существует наибольшее ординальное число у (х) (т такое, что х Е М<т<хд (в частности, у (О) = т). Обобщая определение из упражнения 8, говорят, по у (х) является высотой элемента х в М.
Покавать, по если у(х) (у(у), то у(х+ у) = у(х), и что если у (х) =у (у), то у (и+у) > у (х). Элемент х б М нааывается ссбствеииым относительно подмодуля у Е М, если для всякого у у Лг высота у (х+ у) не превосходит у (х); показать, что в этом случае у (х Х у) = = ш(п (у (х), у (у)) для всех у Е Л'. в) Пусть а — ордннальное число (т и М (а) — подмодуль в М (а), состоящий из элементов х, для которых существует у б М<о+'1, удовлетворяющий условию пх = яу. При фиксированном х и прн у, модули кгучиния над н<>льцои главных идвллов 41 обладающем этим свойством, элементы и = х — у образуют в подмодуле М (и) П М<а> класс по шоб М (я) Д М<а+1>. Пусть ф— канонический гомоморфизм модуля М(я) П М<"> на его фактормодуль по М (л) > > М<и+ >.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
