Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 3
Текст из файла (страница 3)
о. д. или н. о.к. в поле ту (относительно кольца Я), будет предполагаться, что эти элементы >О; это КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ позволит говорить о единственных н. о. д. н н. о. к. некоторого множества рациональных чисел. Экстремальные целые числа ) 0 кольца Я вЂ” зто в точности числа, которые мы называем простыми рациональными числами или, короче, простыми числами (гл. 1, З 8, и'7у таким образом, всякий экстремальный элемент кольца Я имеет вид р нлн — р, где р — простое число, н множество простых чисел является системой экстремальных представителей элементов кольца Я, ПРедлОжение 5.
Множество простых чисел бесконечно. В самом деле, если (р;) (1<г<п) — произвольное конечное семейство различных простых чисел, то любой простой делитель д а числа (П р;) + 1, больший 1, отличен от всех р;, так как в противо- 1 г положном случае он делил бы 1. Б. Делимость многоч.аенов от одного переменного над полем Кольцо К (Х! многочленов от одного переменного над полем К является кольцом главных идеалов (гл, 1У, з 1, и' 5, предложение 7). Его поле дробей есть поле К (Х) рациональных функций от Х с коэффициентами иа поля К.
Кольцо К (Х! содержит подкольцо многочленов пулевой степеяи, то есть поле констант, которое обычно отождествляется с К; элементы, входящие в Ка, обратимы в К, а следовательно, н в К (Х); обратно, из равенства бед (иг) = — бея и + с(ед в следует, что всякий обратимый много- член из К [Х! имеет нулевую степень; поэтому группа У обратимых элементов кольца К (Х! совпадает с Ка. Таким образом, два ассоциированных многочлена отличаются друг от друга только ненулевым постоянным множителец; в частности, всякий класс ассоциированных многочленов содержит единственный унитарный многочлен (гл. Гу', $ 16, и' 3). Следовательно, подгруппа, порожденная в К (Х) а унитарными многочленамн, содержит ровно по одному элементу из каждого класса ассоциированных рациональных дробей н поэтому изоморфна группе ега =-- К (Х)а/У главных дробных идеалов ноля К (Х). В частности, всякий раз, когда будет идти речь о н, о.
д. нли н. о. к. в поле К (Х) (относительно кольца К (Х!), будет предполагаться, по эти элементы 2 Н. Вурсааа 18 мОдУли нАд ИОльцами ГлАВных идиАлОВ Гл. Уп. 1 1 являются частными унитарных многочленов (нли нулем). Благодаря этому соглащению можно говорить о вполне определенных н. о. д. и н. о.
к. любого множества рациональных дробей. Экстремальными элементами кольца К [Х[ являютсн нвнриводимыс многочлсны (гл, [У, 5 1, и'4, определение 4), а множество Х неприводнмых унитарных многочленов является системой представителей экстреыальных элементов кольца К [Х[. Многочлея первой степени всегда непрпводнм. Если ноле К алгебраическп замкнуто, то верно и обратное (гл. У, 1 4, и' 2, предложение 1); следовательно, в этом случае каждый многочлен р (Х) степени а из кольца К [Х[ может быть единственным образом (с точностью до порядка множителей) представлен в виде р (Х) =-а (Х вЂ” а>) (Х вЂ” аз) ... (Х вЂ” а„), где а н а> — элементы поля К. Пгвдложкнив 6. Длл всякого колл К множество унитарных нсприводимых многочлснов кольца К [Х[ бесконечно.
В самом деле, пусть (р>) (1 <1(и) — некоторое непустое семейство различных неприводимых унитарных многочленов; а тогда многочлен ( [1 р;)+1 необратим н всякий его неприво' >=1 димый унитарный множитель непременно отличен от всех р,> в противном случае он делил бы 1. У и р а ж н е н н я. 1) Покааать, что если Л вЂ” кольцо целостности, то кольцо А [Х; ) не может быть кольцом главных идеалов: 1) если число переменных Х; больше нлп равно 2; 2) если А — не поле (рассмотреть ндеалы (Х )+(Хг) (а чь [3) и (а) + (Ха), где а — необратя.
мый элемент нз Ла). 2) Показать, что в кольце К [[Х[[ формальных степенных рядов над полем К всякий экстремальный элемент ассоциирован с Х, *3) а) Показать, что кольцо целостности, в котором всякий идеал главный и всякое непустое множество идеалов имеет максимальный элемент, есть кольцо главных идеалов (воспользоваться тем, что для всякого идеала а кольца Л, не совпадающего с А, существует такой 1 макскмальный идеал (р), что — а — идеал кольца А, содержащий а Р и не совпадающий с ннм).
б) Пусть К вЂ” поле, К> = К [[ХЦ вЂ” поле формальных степенных рядов от одного переменного Х (гл. 1У, 1 5, и' 7), )7 = К> [[Ц[ кольцо формальных степенных рядов от г с коэффициентами нэ ПОЛЯ Ко Пусть А — подкольцо в В, состоящее на формальных рядов КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ со ~ а„(Х) У", у которых формальный ряд ае (Х) содержит степени Х и о лишь с положительными покаэателями. Доканать, что главвъгй идеал (Х) — единственный максимальный в А, а идеал, порожденный элементами 1Х-о (п — целое рациональное число), не является главным. 4) Пусть А — кольцо целостности, о" устойчивое относительно умножения множество ненулевых элементов этого кольца. Обоэначим череэ Ая кольцо элементов ав-т (х б А, э б о) поля дробей Х мольца А (гл.
1, $9, упражнение 7). а) Покаэать, что если А — кольцо главных идеалов, то и Ая— кольцо главных идеалов. б) Покаэать, что если А — кольцо главных идеалов и (р)— его экстремальный элемент, то дополнение о к идеалу (р) устойчиво относительно умножения; покаэать далее, что идеал рАя — единственный максямальвый идеал кольца Ав и поле Ав/рАя ивоморфно А/(р). "5) Иоммутативное кольцо с единицей наеывастся кваэихольцох алааямх идеалоа, если всяквй его идеал главный.
а) Покаэать, что факторкольцо кваэикольца главных идеалов, а ханже проиэведепие кояечного числа кваэиколец главных идеалов являются квавнкольцамн главных идеалов. б) Элемент р ~ О кваэикольца главных ядеалов А наэываетсв хеделиямм, если он необратвм, и нэ равенства р = ху (х б А, у с А) следует, что либо *, либо у принадлежит Ав.
Покаэать, что вснкий элемент кваэикольца главных идеалов А может быть представлен (по крайней мере одним способом) в виде проиэведевия обратвмых и неделимых элементов (прпменить лемму к теораме 2). в) Идемпотент е коммутативного кольца А навывается ясраалсжиммх, если не существует пары ненулевых идемпотентов, удовлетворяющей условиям с = 1+ Ю (х = О.
Покааать, что проиэведевие двух неразложимых идемпотентов равно нулю. Покаэать, что в кваэикольце. главных идеалов А всякий вдемпотент является суммой нерааложимыи пдемпотептов (показать, что если в — идемпотент, то и 1 — е — идемпотент; применить лемму к теореме 2). Вывести отсюда, что всикое кваэпкольцо главных идеалов есть прямая компоэиция конечного мноя1ества кваэнколец главных идеалов Ам в каждом иэ которых единица является пераэложнмым ндемпотентом.
Для того чтобы элемент а = ~ а; (а~ б А~) кольца А был неделимым, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой индекс й, что 1 Ф й, элемент а; быа необратим в АО а аа был неделим (в АА) или равен нулю (последннй случай не может осуществиться, если АА кольЦО целостнОстИ). Привести пример неделимого элемента х б А, для которого идеал Аа ве является главным максимальным. "*6) Пусть А — кваэинольцо главных идеалов (упрюкнепие 5) с делителями нуля, в котором единица является раэложимым ицемпотентом. 2э 20 мОдУли ИАд кпльдАми ГлАВных идеАлОВ Гл.
У11, 1 1 а) Показать, что если длп некоторого элемента х кольца А выполняется условие х" 6 Ах»+г, то или х обратим, или х» = О (если х» = = ах»+г, рассмотреть элемент а"х"). б) Применив упражнение 56) и лемму к теореме 2, покааать, что существуют неделимый злемент р и конечная последовательность (а»)1 „ . отличных от нуля алемеитов кольца А, обладающих свойством О = раг, а» = ра» 1 для 4 ~( » ( зг — 4, а,„ 5 Лр (определить последовательность (а») пщ1уктивно и показать, что щгеалы Аа» и Аа» 1 различны). в) Покааать, что главный идеал АЬ, состоящий па таких у 5А, что ур»' 6 Ар™, совпадает с А; применив а), вывести отсюда, что р"'=О.
г) Пусть 4 — неделнмый влемеят кольца А; показать, что главный идеал Ар + А 4 необходимо совпадает с Ар (ааметить, что в противном случае ои совпадал бы с А и что, с другой стороны, ввиду в), элемент 4 — хр обратим при любом х 5 А). Вывести отсюда, что Ар — максимальный идеал в А и что всякий элемент, не принадлежащий Ар, обратим (применить упражнение 56)). д) Покааать, что 4 = ир, где и — обратимый злемент (с помощью в) показать, что и не может принадлежать Л 4 и, следовательно, должны выполняться равенства р = ху = ихр; доказать, что элемент ии обратим, установив с помощью а), что главный идеал, состоящий из таких з 6 А, что зр 5 Арз, совпадает с Лр).
Вывести отсюда, что для всякого х 5А существуют целое рациональное число»> О и обратимый злемент ю такие, что х = мр», и что единственными идеалами кольца А являются идеалы Лр» (О м. » ~ ж); с помощью а) докааать, кроме того, что зги идеалы рааличны. е) Пусть (х ) — семейство элементов кольца А, и пусть Ап— 1 Ф порожденный им идеал. Показать, что существуют такие злемепты х', Ф что для всякого 1 х„= пх', и чу ~Ах,' = Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
