Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 2
Текст из файла (страница 2)
С другой стороны, равенство с[ = — ~ а,х„(а, Е А) показывает, что г всякий общий делитель элементов х, в В делит с[. Важным применением этсгс следствия является тот случай, когда А =- К [Х], В = Ю [Х], где К вЂ” некоторое поле, К вЂ” его расжкрекке. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Первое утверждение предложения 1 означает, что группа д'е решеточно упорядочена (гл. У1, з 1, и' 9). В частности, всякое конечное семейство злемептов поля К обладает н. о. к.
Следовательно, к кольцам главных идеалов можно нрименять результаты гл. У1, и'и' 9, 10, 11 и 12, отмеченные знаком (ДЕЛ). Из второго утверждения предложения 1 следует Теогвмь 1 («тождество Безу»). Для того чтобы элвмснты х„(с Е г) кольца главных идеалов Л были в совокупности независимы, необходимо и достаточно, чтобы существовали такое влсмснты а, (г ~ г') кольца Л, что ~ЧР„а,х, = 1, причем лишь конечное число а, г отлично от нуля.
Необходимость итого условия следует нз предложения Обратно, если ~ а,х, = 1, то всякий общий делитель элементов х„ г делит 1, и следовательно, 1 — н. о. д. этих элементов. Предложение 2. Пусть а, 6, а, т и р — элементы поля дробей К кольца главных идеалов А. Тогда следующие утверлсдения равносильны: 1) «с( — н.
о. д. элементов а и 6» и «(с() .— -- (а) + (6)». 2) «т — н. о. к. элементов а и 6» и «(т) = (а) () (6)». 3) «р — экстремальный влемвнт А» и «(р) — максимальный идеал Л». Утверждение 1) уже доказано (предложение 1). Далее, общие кратные элементов а и Ь образуют идеал (а) Д(Ь), который, по предположению, является главным идеалом (т), то есть т — и. о. к. элементов а и Ь.
Это доказывает утверждение 2). Наконец, первое из утверждений 3), по определению (гл. Ч1, з 1, и' 13), равносильно утверждению, что (р) — максимальный злемент упорядоченного по включению множества отличных от А главных идеалов кольца А. Так как все идеалы кольца А — главные, зто означает, что (р) — максимальный идеал кольца А, откуда следует 3). 0у»счу (соответственно пересечение) конечного числа идеалов кольца главных идеелов Л наеыоают иногда н.
о. д. (соответственно н. о. к.) »тих идеелои. Пгедложкние 3, 11усть а, Ь, с — элемента поля дробей кольца гл оных идеалов А и г( — н. о. д. влемснтов а и с. Сравнение 14 мОдули нАд кольцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. у«д ах ьи Ь (пнн( с) имеет целое решение хе ~ А тогда и только тогда, когда А делит Ь; в этом случае всв целые решения х й А этого сравнения совпадают с целыми решениями сравнения х =— х, («поп сг/ '), Если ах ав 6 (п«О«( с) и х Е А, то существует такой элемент у й А, что Ь = ах+ су.
Следовательно, А делит Ь. Обратно, если А делит Ь, то Ь = ахо + суо, где х„уо Е А (предложение 1). Поэтому ахе ьв Ь (гао«( с). Кроме того, в этом случае сравнение ах — Ь (що«( с) равносильно сравнению а (х — х,) = О (гпо«( с); положив а = аа' и с = ас', получим а' (х — х,) ве О (гаоп с'). Но это сравнение (для всех х Е А) равносильно сравнению х — хе вв О («по«( с'), так как а' и с' — независимые целые элементы (гл. у1, 5 1, предложение 10 (ДЕЛ) и следствие 1 предложения 11 (ДЕЛ)).
Пгедложввие 4. Пусть (а;)~а,а„— конечное семейство попарно независимых элементов кольца главных идеалов А. Тогда фактор- кольцо (соответственно А-модуль) А/(П а,) игоморфно (соответ~=1 отвеина игоморфвн) проигвгдснию колец (соответственно А-модулей) А /(а;). Так как элемент а„не аависнт от а„.. „а„, (гл. у'!, $ 1, я'12, следствие 3 предложения 11 (ДЕЛ)), то индукцпей по п докаэательство сводится к случаю н =- 2.
Пусть а и 6 — независимые элементы кольца А. Тогда (а) + (6) = — А и (а) Д(Ь) = (аЬ) (гл. т'1, $1, п' 12, предложение 12 (ДЕЛ)). Пусть у (соответственно Ь) — каноническое отображение кольца А на А/(а) (соответственно на А/(6)). Рассмотрим отобрал«ение / = (у, Ь) кольца А в (А/(а)) х (А/(Ь)). Ясно, что / — гомоморфиэм (структуры кольца и структуры А-модуля) и его ядро равно (а) П (6) = (аЬ), Поэтому достаточно показать, что / является отображением кольца А «на» (А/(а)) Х (А/(6)), то есть для прои»вольных элементов с и А кольца А нужно доказать существование такого элемента х ~ А, что х = с (що«( а), х ьл А (гао«( Ь). Но в силу иеэависнмости элементов а и Ь существуют элементы и, п ~ А, удовлетворяющие условию иа+ пЬ = 1.
Поэтому достаточно положить х =- аиа+спЬ. Заключение предложевпя 4 неверно без предполоп~елпя о поперпой независимости элементов е~ (ом. 1 4, преллом~епие 6). 15 КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 3. Разложение на экстремальные элементпьс в ъольиах главных идеалов Теперь мы применим к кольцам главных идеалов результаты гл. Ч1, $1, и' 13, относящиеся к рааложению на экстремальные элементы. По предложению 2 элемент р кольца главных идеалов А экстремален тогда и только тогда, когда кольцо А/(р) является ПОЛЕМ (ГЛ. 1, З 9, Н'3, тЕОрвиа 2), та ЕСТЬ СраВНЕНИЕ аХ аа Ь (шой р) имеет в А решение прн любых а и Ь, не кратных р. Опееделение 2.
Системой представителей экстремальных элементов кольца главных идеалов А называется такое семейство (р„) экстремальных элементов, что всякий экстремальный элемент кольца А ассоциирован с одним и только одним р„. Теовемя 2. Пусть А — кольцо главных идеалов и (р„) — система представителей его экстремальных элементов. Тогда всякий ненулевой элемент х поля дробей кольца А меет единственное представление вида х=иПраа, а где и — обратимый элемент кольца А, и„— целые рациональные числа, иг которых лишь конечное число отлично от нуля.
Для того чтобы элемент х был целым, необходимо и достаточно, чтобы все п„были положительными. Для доказательства применим теорему о разложении в сумму экстремальных элементов (гл. Ч1, $ 1, теорема 2 и предложение 15), наше утверждение, по существу, является ее перефразировкой.
Так как группа сйе решеточно упорядочена, условия упомянутой теоремы будут выполнены, если мы убедимся в том, что всякое непустое множество главных идеалов кольца А имеет максимальный элемент; но зто следует из леммы: Леммл. Пусть А — кольцо (быть может, некоммутативное и без единицы), в котором всякий левый идеал имеет конечное число обрагующих.
Тогда всякое непустое множество Ф левых идеалов кольца А, упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент. В силу теоремы Цорна (Теор. мн., Роз., з 6, и' 10) достаточно доказать, что множество Ф индуктивно. Если (ас) — совершенно 16 мОдули ИАд кОльцАми ГлАВных идвАлОВ Гл. чы, в 1 упорядоченное множество элементов Ф, то объединение а идеалов а„является левым идеалом кольца А и имеет, следовательно, конечное число образующих (а>),~> -„. Но всякий элемент а> принадлежит некоторому идеалу авп и так как множество (аь) совершенно упорядочеяо, то все и; (1<>(п) входят в наибольший иэ идеалов аы, скажем е„.
Тогда а = а„принадлежит Ф, то есть множество Ф индуктивно. В дальнейшем мы будем изучать нвшврввы кольца, то есть коммутативные кольца, в которых каждое непустое множество идеалов имеет максимальный элемент. 3 а м е ч а н и е. Правая часть равенства (1) называется разложением элемента х на экстремальные множители. Ксли х = иД р"а и у = УП р"'а — разложения элементов х и у на о хх а о экстремальные множители, то х делит у тогда и только тогда, когда для всякого а ла(та; отсюда н. о.
д. (х, у)=11р ~ а' а>, П. О. К. (Х, У) =ПРвисюа' е>а> а (2) Свойство, описывеемое теоремой 2, справедливо для колец более широкого класса; эти кольца появятся у нас ниже под названием у>вктвриовьнмх колец. шы увидим, что кольце многочленов и формальных степенных рядов от любого числа переменных являются факторизльными кольцами. 4. Делтлмоспеь тселыос у>ацтсональтсьгх мтссел Как было сказано, кольцо Я целых рациональных чисел является кольцом главных идеалов; его поле дробей есть Д. Мультипликативная группа (> обратимых элементов кольца Я состоит иэ двух элементов: 1 и — 1.
Группа Я+в строго положительных рациональных чисел содержит единственный элемент иэ каждого класса ассоциированных элементов кольца Ч) следойательио, она иэоморфна группе о"е = 9е/У главных дробных идеалов поля Д, с которой ее обычно и отождествляют. В дальнейшем, когда речь будет о н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
