Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 5
Текст из файла (страница 5)
16) Число вида аа — 1 (а и Ь вЂ” цевые, Ь ) 1) может быть простым только в случае, когда а = 2 и Ь вЂ” простое. 24 модулы над кольцамн главных ндньлов гд. чн, 11 17) Показать, что если а" + 1 — простое число, а ) 1 и л '= 1, то а четно и и = 2"', 18) Пусть М вЂ” мультипликативный моноид, порожденный конечным числом целых чисел 11 )1 (1 ~1(иг). Показать, что для любого целого числа Ь ) 0 существует Ь последовательных чисел, не принадлежащих М (если Ь(,..., Ьм — целые числа, большие 1, и Ь вЂ” наибольшее число последовательных чисел, ни одно из которых ие делится нп яа одно из Ьо то (Ь+ 1)-1 = Ь,г+... + Ь,„', установить затем, что для любого г ) 0 всякое достаточно большое числе па ыножества М делитсн по крайней мере на одно из чисел д(~). Получить отсюда новое докааательство предложения 5. 19) Доказать, что для любого целого л ) 0 показатель степенна с которым нростое число р нходит в п(, равен Ч~9 ~(пр-а) (зта сумма а=( имеет лишь конечное число ненулевых тленов), "'20) Пусть л (а) — число простых чисел, меньших действительного числа а ) 0").
Показать, что длн любого целого и ) 0 выполняется неравенство лл (2и)-и О«) ( ( и ~ ((2л)л (2и) л,/ /2л'~ (установить, что ( ( кратно произведению простых чисел д таких, что п ( 9 (2л; пснользуя упражнение 19, показать, что, с другой Г 2п, тг „(и) стороны, ( )делят произведение П р (Р), где р пробегает множество п, вростых чпсел, меньших илп равных 2п, а г (р) — наибольшее число, для которого р" (Р) ( 2п). Вывести отсюда существование таких дей- ствительных чисел а и Ъ, что 0 ( а ( Ь, аи(!оба)-1 (и(п) (Ьп(!ойп)-т (установпть, что 22"п-г ( (2п)! (л!)-з ( 22")., 21) Показать, что для л«) 1 и и ~ 1 рациональное число л-г+ (и+ 1)-г+...
+ (и+ гп) — ь не может быть целым числом (еслв 2ч — наибольшая степень числа 2, которая делит хотя бы одно иа чисел и, и + 1,..., и+ гп, то ока делят только одно из них). 22) Пусть а и Ь вЂ” целые числа, большие нуля, с( — нх н. о. д., и — целое число; положим а= На„Ь = с(Ь,; покааать, что если дробь а (а+ Ь)... (а+ (п — 1) Ь)(п! записать в несократвмом виде, то ее знаменатель содержит только простые делители числа Ь„ не превосходящие п (рассмотреть покааатель степени, с которым некоторый простой делатель входит в знаменатель, п применить упражне- *) Доказано, что прп а -« + оо имеет место аснмнтотика я (л) — лдоб л (см., например, И н г ам, Распределение простых чисел, Москва, 1930).
КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ние 19). Получить отсюда прямое доказательство того, что биномиальвые коэффициенты и! !(т! (и — т)!) — целые числа. 23) Пусть и — целое рациональное число, большее 1; показать, итон. о. д. и — 1 биномиальыых коэффпцыеытов ( ! (1 ( Ь ( п — 1) ',.й/ равен 1, если и делится на два различных простых числа, и равен р, если и есть степень простого числа Р. 24) а) Пусть п = ~Р«» — рааложение целого рационального.
Ь висла на простые множители. Показать, .что сумма положительных делителей и равна рзь — 1 о(и)= =П '" РА б) Число и называется совершенным, если 2п = и (и). Покааать„ что летное висло и совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2" (2ь+г 1), где Ь )~ 1 и 2ь+г — 1 — простое (если и имеет вид 2му, где иг > 1 и у — нечетное, то у делится на 2м«ь —. 1; вывести отсюда, что если бы у не было простым, то выполнялось бы неравенство ы (и) ) 2п).
25) Пусть а н Ь вЂ” независимые строго положительные целые. числа. Пслп а и Ь = 2, то существуют такие целые числа я и у, что 1 ая+ Ьу = 1 ы ! я ! ( — Ь, ! у ! ( — а. Ьолее того, пара чисел а, у, удовлетворяющая этим условиям, единственна. Рассмотреть случай,. когда одно нз чисел а и Ь равно 2. 26) Пусть с и у — независимые целые числа; всякое целое число з,. такое, что ! з ! ( ! ау !, может быть одним илн двумя способами представлено в виде х = в*+ эу, где и и и — целые, причем ! и ! ( ! у),. ! и ! .- ! а ! . Привести пример, в котором х имеет два таких представления. 27) Пусть ( и у — незавнснмыо ьшогочлеыы кольца К (Х); показать, что всикий многочлен Ь, такой, что бея (Ь) (йеб(9), может. быть единственным образом представлен в виде Ь = и)+ еу, где в и е — многочлены, н ден (и) (бел (у), бея (и) (бей ()).
(Провести. сначала доказательство, как в упражнении 26 (основанное на алгоритме Евклида), а затем доказательство, в котором задача сводится к линейной.) «28) а) Пусть К вЂ” алгебраычески заыкыутое поле, г' — отличный от констаыты уяитарный многочлеы из К (Х), у — мыогочлен из К [Х, У); предположим, что для каждого корня п; мыогочлена Г существует корень р! мпогочлена у (пп у) такой, что — (и ч р!) ~ь О.
ду ду Н Показать, что существует многочлен Ь (Х) Р К (Х) такой, что. у (Х, Ь (Х)) = 0 (шоб 1 (Х)) (с поыощыо предложения 4 свести. 26 модули над кольцами главных мджалов. гл. Чы. 1 т доказательство к случаю [ (Х) = Хж (ж ) 1); доказать, что кольцо К [Х[/(Хж) изоморфно факторкольцу К [[Х[[/(Хж), и применить предложение 10 гл. 1Ч, 1 5). б) Показать, что, в частности, если ез — целое число, и делящееся на характеристику поля К, то для тобой пары независимых унитарных многочленов 1 и )е из К [Х[ существует такой мкогочлен а (Х) е б К [Х[, что (е (Х))ж = ге (Х) (щоб г' (Х)).
й 2. Модули кручения иад кольцом главных идеалов Х. Модулы мртеченмм Пусть М вЂ” модуль над коммутативным кольцом А. Будем гово рить, что элемент х Е М аннулируется элементоы сс Е А, если чсх = О (другими словами, если се принадлежит аннулятору элемента х (гл. [[, у 1, и' 9)); следовательно, всякий зависимый элемент модуля М вЂ” это элемент, который аннулируется некоторым ненулевым элементом кольца А. Для всякого элемента а Е А множество М (а) аннулируемых им элементов модуля М образует подмодуль в модуле М вЂ” ядро гомотетии х -+.ах. Пгждложжниж 1. Множество М зависимых элементов модуля Е над кольцове целостности А является подмодулелс модуля Е. В самом деле, если х и у — зависимые элементы, то существуют такие отличные от нуля элементы и и р, лежащие в А, что ах = О и ру = О.
Но тогда сер ~ О и длн любых Л, р Е А ар(Лх + [ьу) = О, так что элемент Лх + ру зависимый. 3 а и е ч а н и е. Пусть Ж вЂ” модуль над произвольным коммута. тинным кольцом А. Если * б Š— зависимый элемент, то всякий элемент подмодуля Аз зависим. Но если А имеет делители нуля, то сумма двух зависииых элементов может пе быть зависимым элементом: например, в кольце Е/(б), рассматриваемом как модуль над самим собой, 1 = 3+ 4. Предложение 1 приводит к следующему оцределению: Ошжджлжниж 1. Подмодулем кручения модуля Е над кольцом целостности называется подмодуль, образованный зависимыми элементами модуля Е. Если Е совпадает со своим подмодулем кручения (то есть всяетий его элемент зависим), то, допуская вольность речи, говорят, Ф мОдУли НРУчения нАд НОльцом ГлАВных идкАлОВ 27 что Е есть модуль кручения.
Кслн подмодуль кручения модуля Е нулевой (то есть всякий ненулевой элемент модуля свободен), то Е называется модулем без кручения. Пгвдложкннк 2. Если М вЂ” подмздуль кручения модуля Е над кольцом целостности А, то фактормодуль Е/М без кручения. В самом деле, пусть х — класс элемента х Е Е по псосс М. Если х — зависимый элемент фактормодуля Е/М, то существует ненулевой элемент сс ~ А такой, что ссх ~ М; но тогда существует элемент (3 Е А, (3 Ф О, такой, что р (ссх) = О, и так как ()сх чь О, то хбМ.
Ясно, что если М вЂ” подмодуль кручения модуля Е, то для всякого подмодуля Р модуля Е пересечение РПМ является подмодулем кручения модуля Р. В частиости, всякий подмодуль модуля кручения сам будет модулем кручения. С другой стороны, всякий фактормодуль модуля кручения тоже будет модулем кручения. Наконец, если (М,) — произвольное множество модулей кручения над кольцом целостности А, то их прямая сумма М будет модулем кручения. В самом деле, если х ~ М н х = ~ч~~х„где х, Е М, то, по предположению, каждый х, аннули- В руется некоторым элементом ссс ~ О кольца А, причем можно считать, что ас = 1, если х, = О.
Тогда элемент а = )(ас отличен от В нуля и аннулирует х. Кроме того, равенство рх = О равносильно условию ()х, = О для всех с, н поэтому аннулятор элемента х совпадает с пересечением аннуляторов элементов х„. 2, Квноническое разложение модуля кручения над кольцом главных идеалов Пусть М вЂ” модуль над коммутативным кольцом А. Если и, р — элементы кольца А наделит р, то, очевидно, М (сс) с:. М (р), В частности, когда и пробегает множество целых рациональных чисел, подмодули М (а") образуют воарастающую последовательность; следовательно, объединение М„всех М (ссь) является подмодулем, состоящим из тех элементов М, которые аннулируются некоторой степенью элемента сс.
Ясно, что для всякого подмодуля т модуля М выполняется равенство /с/„= Мь Д гс'. 28 модтли ИАд кольцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. чц, $ х Опгвдвлвнпк 2, Пусть я —.экстремальный элемент кольца главных идеалов А. А-модуль М называется я-модулем, если для всякого х Е М существует такое целое число и >1, что пзх = О (другими словамм, М совпадает со своим подмодулем М„), Очевидно, что всякий моногенный модуль вида А/(я') является я-модулем; подмодуль М„произвольного А-модуля М также будет я-модулем.
Нгкдложвник 3. Пусть М вЂ” модуль кручения над кольцом главных идеалов А и и = е Ц я",~1> — разложение произвольного 1 — — 1 элемента а ть О кольца А на экстремальные множители ($1, и' 3, теорема 2). Тогда подмодуль Л> = М (а), состоящий из элементов модуля М, аннулируемых элементом сг„является прямой суммой подмодулей М (ЛД>>) и отображение, которое каждому х ЕМ (а) ставит в соответствие его компоненту в М (я',.'<1>), имеет вид х — ~ у>х (у; Е А). Кроме того, М (я,".О>) = М П М„, = >уп>. Известно, что я", ~Ц независимо с произведением сс> — — Ц я," "> Вез (гл. 71, з 1, и' 12, следствие 3 из предло>кения 11 (ДЕЛ)); ввиду тождества Безу (з 1, теорема 1) первая часть доказываемого предложения выводится с помощью индукции по г из следующей леммы: Лвммя 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
