Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Применяя упражнение 5, распространить зто утверждение на произвольные квазпкольца главных идеалов. 7) Пусть А — кольцо целостности с единицей. Отображенке ю группы Ае в яг называется евклидовой сягазгпсй, если выполняются следующие условия: (81) ю (ху) > ю (У) для любых алементов х, у 5 ль. (Вн) Если а 5 Ае и Ь 6 А*, то существуют элементы 4, г кольца А такие, что выполняется равенство а = Ьч+г, причем г = О ялн ю (г) ( ю (Ь). Кольцо А нааывается азхлидовмм, если на нем существует евклидова статна. а) Покааать, что кольца Я и К [Х) (где К вЂ” поле) евклидовы.
б) Покааать, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов (пусть а — идеал кольца А; рассмотреть алемент идеала а с наименыпим значением зг(а)). 2$ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ в) Показать, что кольцо А целых гауссовых чисел евклидова, так как ово обладает статмой м (а+Ь8) = аз+Ьз = ФО(с)ГО (а+Ьс) (установнть, что для любого х б (З (С) существует такой элемент у б А, что )у (х — у) < .-) .
2 г) Поьааать, что кольцо В, являющееся квадратичным расширением кольца К с бааисом (1, е) (ез = 2), евклидова со статмой са(а+Ье)=( аз — 2Ьз)=! ФО О)Г (а+Ье) ) ( для любого х б 9 (с) существует такой элемент у б В, ято 2))' 8) Пусть К вЂ” квадратичное воле, то есть расширение степени 2 поля (). а) Показать, что К = () (е), где ез — целое рациональное число с(, не делящееся ни на какой квадрат (в ю). б) Пусть сс = а+ Ье (а б (), Ь б 9). Обозначим через сз сопряженный к ы элемент а — Ье. Элемент сс квадратичного поля К нааывается целым, если его норма сссз и его след сс+сс — целые рациональные числа.
Показать, что целые числа поля К образуют кольцо А (установить, что если сс и () — целые числа поля К, то сумма в произведение рациональных чисел а()+ар в сс()+рсс — целые, так что зтп рациональные числа являются корнями некоторого унвтарвого многочлена пад Я; вывести отсюда, что они — целые рациональные числа).
в) Показать, что целые алементы поля К = 9 (е) образуют /1 Я-ьсодуль с базисом (1, е), если с( — 1 Ф О (шоб 4), и ( — (1+ е)„ (,,2 1 — (1 — е), если й — 1 ы О (шоб 4); установить, что если а+ Ьа 2 целый элемент ноля К, то 2а и 2Ь вЂ” целые рациональные числа, удовлетворяющие сравнению 2аз — Ф (2Ь)з т О (шос) 4); выяснить, могут лн онв быть нечетными). Покааать, что дискримннавты этих базисов (гл. т', 1 1, и' 6) равны 4сс и К соответствепно.
сй) (Лемма Минковского) Пусть а, Ь, с, с( — действительные а Ь) числа и В=~ ~ . Тогда при АВ >В неравенства) ла+ тЬ) Ас с с(( ) ас+ тс( ) ( В имеют целые решения (л, т) и этих решений конечное число (рассмотреть в Вз дискретную подгруппу 6, порожденную парами (а, с) и (Ь, сс), и покааать, что прямоугольник К, определенный соотношениями О ~ х (А, О (у ~ В, площадь которого больше площади параллелограмма, построенного на векторах (а, с) и (Ь, й)с содержит два различных вектора, коигрузнтных по гоаб С; рассуждения провести от противного, заметив„что иначе вз прямоугольников, МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДИАЛОВ ГЛ. У11, 1 1 получеввых иа К с помощью сдвигов (Аа + Ы, Ас+ Ы), где 0 ~ А ~ ( и, 0 ~( й ( т,попарво ве пересекались бы)., «10) Пусть 8 целое рациональное число, пе делящееся па квадрат.
Будем рассматривать едввицы квадратичного поля г К =- () (У 8), то есть обратимые элемеиты кольца А целых чисел поля К (упражпевие 8б)). а) Покааать, что если 4 ( 0 («мнимое квадратичное поле>), то единствеввыми единицами К являются 1 и — 1, кроме случаев 4 = — 1, когда единицами будут также 1 и — 1, и 4 =- — 3, когда единицами будут еще — (~ 1 ~ Рг 3).
2 б) Предположим теперь, что о1 ) 0 (действительное квадратичное поле) и поле К вложено в некоторое макскмальпое упорядоченное рас- ширение поля () (гл. Ч), ВЯ 5), 'например в 24,. Показать, что положи тельвые единицы образуют подгруппу П' группы 11 единиц поля Е и В есть прямое ироиаведевие групп В' и ( — 1, 1). в) Показать, что единицы поля К целые и имеют норму 1 или 1. г) Покааать, кто группа П' пе едипичная (обояпачим череа В квадратвый корева ив дискрвмиваита бааиса целых элемевтов (упраж- нение 8в)); покааать, что целые элементы поля К, удовлетворяющие условию )г'(а) ~В, равбиваются па конечное число классов по шоб П; выбрать в каждом классе целое ()1 и для всякого действитель. ного висла В, удовлетворяющего неравенствам О ( В < ш1 (! ()1 !), повевать, вто (упражнение 9) существует такое целое (3, что 0 ( р < ~ ~В~ и )У (()) ~Р, вывести отсюда, что один иа элемевтов р()1' является единицей х), причем ~ ц ~ ( 1.
д) Показать, что П' изоморфка Е (докааать существование едв вицы е такой, что ( е( ~ 1, где ~ е! — наибольшее пэ воаможвых, используя упражпевие 9 и тот факт, что для единицы ь ) Ц = е) Покааать, ято алемент р' 2 — 1 поля (г ( Г' 2) является едивицей в (1' и имеет норму 1. ж) Вывести иа предыдущего, вто в случае П 1 ~0 (шо44) яураввеиие Ферма» ах — 23а = 1 имеет целые решения (в случае, когда 8 выест простой делитель вида 4я — 1, можно покааагь, что К пе имеет единиц с нормой -1; показать па примерах (4 = 2, 4 = 10), что К может иметь едввицы с нормой -1, когда все его почетные про етые делители имеют вид 4я+ 1). е11) Найти такие квадратичвые поля () (гго), для которых отображевие а -ь ~ )у (а) ) является евклидовой статмой (упраж- нение 7).
а) Покааать, что ато выполняется тогда и тольио тогда, когда для любого аадапкого а Е 41 (Г' о) можно иайти такое целое число р поля (4 (р о), что (ху (а — р) ! (1; вавпсать это условие, вырааив а и 8 верее бааис целых элементов поля (упражиевие 8в)). КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ б) Показать, что в случае мнимого квадратичного поля (й ( О) единственные значения й, для которых ~ У (сс) ) есть евклидова статна, суть — 1, — 2, — 3, — 7, — 11.
в) Е случае действительного квадратичного поля ограничимся случашзи й ж 2 иля 3 (шой 4). Покааать, что тогда существует только вевзчяее число значений й, для которых ) )7 (п) ) является евклидовой статмой. (Если ) й' (и) ) — эвклидова статна и а — натуральное число, 1 такое что 0 ««а < й и а — = 1з (шой й), то, рассмотрев элемевт— поля П (р' Й), покааать, что либо а, либо а — й имеют вид зз — йуз, где з и у — целые рациональные числа, 'показать затем, что если й достаточно велико, то можно найти такое нечеткое число з, что 5й(аз <бй (при й ш 3 (шой4)) или 2й(зэ - Зй (при й ш2 (шой 4)); затем взять а = зз — й (зз!Н) и рассматривая остатки по шой 6, показать, что прн этих условиях ни а, ни а — й не имеют вида зз — йуз.) Покааать, что единственные аначения й, для которых целое з не существует, суть 3, 7, 11, 19, 23, 35, 47 и 59 (для й ш 3 (шой 4)) и 2, 6, 14 и 26 (для й ш 2 (шой 4)).
Дать эффективное доказательство существования евклидовой статмы для й = 2 и й = 3. 12) Показать, что кольцо целых элементов квадратичного поля Я (а), где аз = — 5, не является кольцом главных идеалов (в нем 9 = 3.3 = (2+ а) (2 — а) и (1+ а) (1 — а) = 6 = 2.3, и элементы 2, 3, 1+ а, 1 — и, 2+ сс, 2 — а экстремальные). Покааать то же самое для (з (()), где рз = 10 (2.3 = (4+ ()) (4 — ())). 13) Показать, что многочлен 1(з) с целымп рациональными коэффициентами, отличный от константы, не может принимать простых аначений для всех целых и (рассмотреть г' (в+ 1(в)) для таких о, что г'(л) «. 1). Пользуясь идеями доказательства предложения 5, покааать, ято множество простых чисел, делящих по краяней мере один иа членов последовательности (1(и)), бесконечно (рассмотреть 7' (в+ а1 (и)) для подходящего а и таких и, что Г'(л) ~ О).
14) Мнолсество простых чисел вида 4о — 1 (соответственно бп — 1) бесконечно (использовать метод доказательства предложения 5); заметить, что всякое простое число, не равное 2, имеет вид 4в ~ 1 нли 6в ~ 1). 15) Число вида 2" + 1 (Ь вЂ” целое) может быть простым только в случае, когда Ь есть степень числа 2. Если р — простой делитель числа 2з~+ 1, то оно не может быть делителем 2зм+ 1 для ~я ) в (2з~ ш ж 1 (шой р)); получить отсюда новое докааательство предложения 5. Покавать, что в = 2з + 1 не простое число (положкть а =- 27, Ь = 5; з покааать, что 1+ аЬ вЂ” Ьа = 24, и подставить 1+ аЬ в равенство в = 2ааа+ 1 = (1+ аЬ вЂ” Ьа) аз+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
