Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 7
Текст из файла (страница 7)
У1, 3 1, и' 2). При й>1 проведем индукцию по й: для любого целого числа Ь выполняются сравнения (1+рзю+Ьр" з)У ав 1+ рз+з+Ьр"+з (шоб рз"+з). Но 2й + 2>й + 3 и, по предположению индукции (примененному к числу й), (1 + р)У +' ме 1 + р~+'. Аналогично, соотношение (4) при й = 0 очевидно; при й>О применим индукцию по й: для любого целого с (1+ 2'+'-)-с2"+')' аа 1+ 2'+'+ с2"+' (шод 2"+') и 2й + 4 > й + 4, откуда, по предположению индукции, 5з +~ аа 1 )- 2з+з (шой 2" ы).
Лемма доказана. Теперь рассмотрим сначала случай р ) 2. Тогда сравнение (3) показывает, что для и.> 1 справедливы соотношения (1 + р)я аа 1 (шоб р") и (1+ р)У Чй 1 (шоб р"); поэтому класс у по шоб р", порожденный элементом 1 + р, имеет в 6 (р") порядок р г; но порядок 6(р ) равен р" ' (р — 1), р — 1 и р независимы, и р" ' — порядок р-компоненты 6 (р"), так что эта р-компонента является циклической группой Г с образующим у. По теореме 1 группа 6 (р") является прямым произведением группы Г и группы А порядка р — 1.
Кроме того, известно, что 6 (р)— циклическая группа порядка р — 1 (гл. Ч, 4 11, и 3, теорема 2); пусть г (шоб р") — образующий этой группы; для и 1, если ГЯ ав 1 (шоб р"), то и г~ ив 1 (шод р), так что порядок класса Оз элемента г в группе 6 (р) делится на р — 1. Положив о, = йй, О ~ А, А ~ Г, будем иметь, что порядов элемента о равен р — 1, так как порядок А является степенью числа р (см. замечание к теореме 1).
Следовательно, порядок Оу в 6 (р") равен р"-' (р — 1) (там же), откуда и следует, что группа 6 (р") — циклическая. Так как Ар"-' = 1 и порядок элемента да" ' равен р — 1 (р — 1 взаимно просто с р"-'), то 6(р") такзке порождается элементом О,У" у. Пусть теперь р = 2 и п >~3. Из соотношения (4) следует, что класс 5 по шод 2" имеет в 6 (2") порядок 2" з; все 2" ' чисел вида 5" (О <й - 2Я-з) попарно несравнимы по шод 2". Покажем, что 2" ' чисел вида 5" и 5 " (О <й < 2" ') также попарно несрав- ИОдули кРучения нАд кОльцОм глАВных идеАлОВ 35 пимы по шой 2"; в противоположном случае мы имели бы 5" + 5а иа 0 (шоо 2") прн О</г < 2" * н 0</с < 2" з; но если, например, /с>/з, то отсюда следовало бы сравнение 5" ь аж — 1 (шос) 2"), то есть 5ц" "> = 1 (шоо 2"); но тогда, по предыдущему, было бы й — /з = 2 з, а из соотношения (4) следует, что 5з" з= — — 1 (шоо 2").
Следовательно, С(2") является прсивведением циклической группы порядка 2"-з, порожденной классом 5(шоо 2"), и циклической группы порядка 2, порожденной классом — 1 (шой 2"). Так как С (2) и 6 (4) — циклические группы порядка соответственно 1 и 2, то мы получили следующий результат: ТЕОРЕМА 3. Пусть а ) 1 — целое число и а = Ор~~н~ — его раазсжение на простые множители. Тогда мультипликативная зруппа 6 (а) кельца Я/(а) изозгор1дна произведению зрупп 6 (рги)).
Если р ) 2 — простое число, то С (р") — циклическая группа порядка р" г (р — 1). Труппа 6 (1) — единичная, С (4) — циклическая порядка 2; наконец, для п>3 группа 6 (2") — прямое произведение циклической группы порядка 2" з и циклической группы порядка 2. Следствие. Пусть а = ф, — разложение целого числа тт зн) а>1 на простые множители () пробегает конечное множество индексов, для которых и (1) ) О); тогда функция Эйлера элемента а (гл. ч', 3 11, п' 3) равна (5) У в р а ж в е в и я. $) Пусть х и у — элементы модуля кручеввя М вад кольцом глазных идеалов А, Аа и Ад — их авяуляторы, б— я. о.
д. а и )). Показать, что если Ат — авяулятор элемента х+ у, то у является делителем а()/б и кратным а()/бз. Показать также, что если а и )) являются рааличнини стевевями я", яч одного и того же экстремального аяемевта я, то ч яма* он "). 2) Пусть я — экстремальвь1й элемент кольца главвых идеалов А в М вЂ” и-модуль; покааать, что для всякого х 5 Ми всякого а Р М, ве краткого л, существует едявствеввый элемент у б М такой, что х = ау (использовать тождество Безу); положим у = и-ах. Вывести отсюда, что если Ак — кольцо глазвых идеалов, образозаввое За 36 мОдули нАд кОльцАми ГлАВных идпАлОВ Гл. у11~ $ элементами ()/а поля дробей К кольца А, где р б А и а Е А ке кратно я (З 1, упражнение 4), то на М можно единственным образом определить структуру Аи-модуля тзк, чтобы данная на М структура А-модуля получалась из нее сужением кольца операторов до кольца А.
Полученный таким образом А„-модуль называется кококичеоки коеоциироеамким с модулем М. *3) а) Модуль М над кольцом главных идеалов А нааывается делимим, если для всякого х б М и всякого а Е А, отличного от нули, существует единственный элемент у Е М такой, что х = ау. Пусть М вЂ” делимый А-модуль, Р— произвольный А-модуль, К вЂ” его подмодуль и 1 — линейное отображение модуля К в М; показать, что 1 может быть продолжено до линейного отображения модуля Р в М. (Рассмотреть ыножество линейных отображений подмодулей Р модуля М в М, упорядоченное по продолжению, и применить теорему Цорна.) Вывести отсюда, что всякий делимый подмодуль А-модуля Р обладает в Р дополнением.
б) Пусть М вЂ” делнмый модуль над кольцом главных идеалов А, я — экстремальный элемент кольца А и хо б М имеет апнулятор вида Анв (к — целое, к ) О). Определим по индукции последовательность (*,) элементов М: х, =- яхе+1 для любого целого е ) О. Показать, что подмодуль, норожденный в М последовательностью (х,), изоморфен и-компоненте А„ модуля О = КА/А (см.п' 3). в) Модуль называется кероелозеимим, если оп не является прямой суммой двух подмодулей, отличных от пего и от (О). Показать, что йгк — делимый модуль и всякяй его подмодуль, отличный от (1я и от (О), моногенный и порождается классом по шод А некоторой степени элемента я; вывести отсюда, что модуль би перазложим.
г) Показать, что всякий неразложимый делимый А-модуль иаоморфеи КА (и' 3) пли одному из модулей Пя (пспользовать а) и б)). д) Показать, что всякий делимый А-модуль является прямой суммой некоторого семейства своих неразложимых подмодулей (применить теорему Цорна к семействам неразложимых делимых подмодулей модуля М, сумма которых прямая). *4) Семейство (х,) элементов модуля М над кольцом главных идеалов А называется коеедоееододкым, если пз любого соотношения вида ~ аех, = Ь (у Е М, а„ЕА, () ЕА) следует, что существуют такие элементы а', Е А, что а„х, =- ()а',х, для всякого индекса ь В этом слУчае из е = н слеДУет, что х, чь хьд множество элементов псевДо- свободного семейства называется псевдосвободной частью модуля М. а) Пусть я — экстремальный элемент кольца А; показать, что в А-модуле с аянулятором Ап" всякий элемент, анпулятор которого совпадает с Аи", псевдосвободен (использовать теорему Безу).
б) Пусть (хь) — псевдосвободное семейство А-модуля М, и К— порождеяиый пм подмодуль, Показать, что для всякого х б М/)у модули кггчиния над кольцом главных идвалов 37 существует элемент х б х, аннулятор которого совпадает с аннулятором класса х в М/Ф. Показать также, что если, кроме того, класс х псевдо- свободен в М/л/, то семейство, составленное из х, и х, псевдосвободно в М/л/. в) Вывести из а) и б), что если аннулятор А-модуля М отлнчен от нуля, то М является прямой сумкой моногенных модулей (доказательство свести к случаю и-модуля и применить теорему Цорна к псевдосвободным семействам элементов модуля М). 5) Пусть М вЂ” модуль кручения конечного типа над кольцом главных идеалов А. Показать, что М обладает рядом Жордана— Гельдера (воспользоваться упражнением 4а)).
Вывести отсюда, что всякое непустое множество его подмодулей обладает максимальным и миннмальным элементами (гл, 1, '1 6, следствие теоремы 8). «6) Пусть М вЂ” модуль крученая над кольцом главных ндеалов А, причем все подмодули М, кроме самого М, являются модулямв конечного типа. Показать, что существует экстремальный элемент и б А такой, что модуль М изоморфен и-компоненте Вк модуля (/ = = Кл/А (уприкненне Вв)).
(Показать сначала, что модуль М не может иметь более одной ненулевой и-компоненты и, следовательно, является и-модулем для некоторого экстремального элемента и б А, С помощью упражнения 4 показать, что все модули паМ отличны от нуля; из упрюкнения 5 вывести, что соотношение яМ ~ М влечет и"М= = и"ь'М для некоторого и > 1; с помощью упражнения 3 показать, что ато невозможно). *7) Пусть М вЂ” модуль над кольцом главных идеалов А.
Подмодуль /т модуля М называется чистых, если для всякого элемента а б А выполняется равенство /т Д (аМ) = ссД/. а) Подмодуль /т чист тогда и только тогда, когда для любого и Е А и любого х Е М/л/, имеющего аниулятор Аа, существует элемент х Е х с аннулятором Ла. б) Показать, что подмодуль кручения модуля М чистый.
Для того чтобы семейство (х,) элементов модуля М было псевдосвободным (упражнение 4), необходимо и достаточно, чтобы сумма подмодулей Ах, была прямой и являлась чистым подмодулем. Показать, что если Р и (/ — подмодули модуля М такие, что Р () (/, и Р + (/ — чистые подмодули, то Р н (/ — также чистые подмодули. в) Показать, что всякяй подмодуль /т модуля М, обладающий дополнением в М, чистый.
Показать, что, обратно, если Л вЂ” чнстмй подмодуль модуля М и М/Ж вЂ” прямая сузоза моногенных подмодулей, то Ф обладает дополнением в М (использовать а)). г) Пусть /т' — чистый подмодуль модуля М, и Аа ~ (0) — его аннулятор. Показать, что сужение на /т канонического гомоморфизма / модуля М на М/ссМ является изоморфлзмом Л' на /(/т'). Показать, 38 МОДУЛИ ИАД КОЛЪИАМИ ГЛАВЫЫХ ИДЕАЛОВ ГЛ, Ч11, $2 что / (Ф) является чистым подмодулем в М/аМ (рассмотреть и-компоыепты фактормодуля М/аМ и, првмеявв упражнение 2, свести доказательство к случаю, когда / (у) = б/ (х), гдв у Я /Ч, е б М и 6 делатся ыа а. Вывести отсюда (испольэуя в) и упрюккеиие 4в)), что ыодмодуль / (с/) и подмодуль /Ч обладают дополыепиями в М/аМ и М соответствеыяо. В частности, если подмодуль кручения модуля М обладает ивиулввым викул ягором (что бывает в случае, когда модуль М конечного типа), то оп обладает дополнением в М (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
