Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 11
Текст из файла (страница 11)
с а„~ А. Тогда р и для 1 <р<п идеал ар есть аннулятор модуля /1Е; модуль /(Е ш ненулевой при 1 <р < и и /(Е =- (0) при т ) и. Действительно, в обозначениях предлонгсния 1 имеем а == а„„„, где г (Н) — наибольший элемент множества Н. Так как г (Н) > р для любого множества Н из р элементов и г (Н) =- р для Н = (1, 2,..., р), то идеал ар есть пересеченне идеалов а„, где Н пробегает совокупность р-элементных подмноягеств отрезка натурального ряда [1, и). Следовательно, идеал ар, в силу предр ложения 1, есть аннулятор модуля /)Е.
4 Н. ВуОбакв 50 модхлн нлд кольцлмн главных ндкллов гл, хм, г й Слкдствнв. Пусть, в обозначениях предложения 2, и-модуль Е изоморфен также прямой сумме т моногенных модулей А/а,', причем а,' с:... с а' Ф А. Тогда т == и и а» = а» для 1 </с<к (еединственность идеалов а»»). 2. Инеарнантпньее Яантпоры ноднодулн -Всякий модуль конечного типа над кольцом главных идеалов А можно рассматривать как фактормодуль некоторого свободного модуля по одному из его.подмодулей, который, будучи свободным, также является модулем конечного типа (гл. П, $1, и' 8, предложение 10 н гл. Ч11, х 3, предложение 1). Сейчас мы изучим в более общем виде взаимосвязь менщу (произвольным) свободным А-модулем н некоторым его подмодулем конечного типа: Твогвмх 1.
Пусть Ь вЂ” свободный модуль над кольцом главных идеалов А и М вЂ” его подмадуль конечного ранга. Тогда существуют базис В модуля Ь, и элементов, е; базиса В и и ненулевых элементов а~ кольца А (1 <1<п) такие, что: а) элементы а;е,. образуют базис модуля М; б) а» делит, а»», (1 <1<и — 1).
Более того, этими условиями модуль М' с базисом (е ) и главные идеалы Аоц определяются однозначно; факторчодуль М'/М является модулем кручения модуля Л/М и изоморфен прямой сумме А-модулей А/Аа;; наконец, ЫМ является прямой суммой М'/М и некоторого свободного модуля, изоморфного Ь/М. 1) Существованае элементов ео и а;. При М = (О) теорема тривиальна. Будем, следовательно, предполагать, что М ~ (О), н докажем прежде всего существование элементов е» Е Ь н а»е» 6 М (а» с М) таких, что подмодулн Ае, н Аа,е, обладают дополнениями в Ь и М соответственно. Для любой линейной формы ~ на Ь образ / (М) есть идеал кольца А, который, по предположению, является главным, Среди зтпх идеалов / (М) существует максимальный (з 1, лемма к теореме 2), пусть зто будет Аа», соответствующий линейной форме /,. Пусть и — такой злемент Мн что а».=/(и).
Так как Мчи (0), то а, ~ О. Докажем, что если д — некоторая линейная форма на Л, то у (и) ~ Ааь В самом деле, пусть р =- у ( и), Идеал мОдули кОнечнОГО типА нАд кольцом ГЛАВных идеАлов 51 Аи, + Ар есть главный идеал Ау, поэтому в кольце А существуют такие элементы Х и р, что у = Асс, + )Ар. Обозначим через 1 линейную форму Ц, + ря; тогда у .=- Х (и) ~ Х (М), откуда 1 (М) ~ Ау ~ Аа,. По определению 1(М) получаем, что Ау = Аап следовательно, р б Аан В частности, все координаты элемента и относительно некоторого базиса (х,) модуля Х принадлежат идеалу Аа,. Отсюда заключаем, что существует злемент е1 ~ Ь, для которого и = а,еь Тогда /, (е,) = — 1.
При этих условиях модуль Х, есть прямая сумма Ае, н Х1 = 1 ' (0). Действительно, пересечение этих подмодулей равно(0), ибо из условия(1 ()~е1) = 0 находим Х = А 1 = ХХ, (е1)= = О. С другой стороны, любой элемент х ~ Х, есть сумма элемента 1, (х) е, и элемента у = х — 1, (х) сы для которого 1, (р)=*0. В свою очередь, модуль М есть прямая сумма подмодулей Аа,ет и М, = М П 1,'(0). В самом деле, мы уже выяснили, что пересечение этих подмодулей равно (0); для любого х ~ М образ 1~ (х) зарисывается в виде рх1 (у ~ А), и злемент х есть сумма элемента усс,е, и элемента у = х — уа,е, такого, что 1, (у) =- О. Кроме того, модуль Х, свободен, как подмодуль свободного модуля (з 3,.
теорема 1). Пусть д — некоторая линейная форма на Х, тогда д(М,) с:.Аа,. Действительно, в противном случае, так как Х есть прямая сумма подмодулей Хч и Аеп на Х, можно определить линейную форму г', совпадающую с д на Х„и с /, на Аам и А" (М) = у (М,) + Аа, Ф- Аап что противоречит максимальности идеала Аао Теперь докааательство можно вести ивдукцией по рангу п модуля М. Так как Մ— свободный модуль и М, имеет ранг и — 1, то существуют базис В, модуля Х,о и — 1 элементов ею, е„базиса В, н ненулевые элементы пм ..:, а„кольца А такие, что (азез, ..., а„е„) есть базис модуля М, и а, делит а;+, при 2.<1<л — 1.
Если Х' — подмодуль Х, порожденный злементами ВО отличными от ез,..., е„, то Х есть прямая сумма модуля Х' и модуля М', порожденного элементами ео..., е„; (е„..., е„) — базис М' и (а,е„..., Оле„) — базис модуля М. Осталось доказать, что а, делит аз. Действительно, Аи, совпадает с я (М,), где д — линейная форма на Х,, определяемая равенствами я (ез) = — 1, я (е~).= 0 при 1Ф 2, я (Х,') = О.
В силу доказанного выше я (М) ~ Аны 4е МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ГЛ. 71К $4 2) Свойства единственности. Так как элементы а; отличны от нуля, то М совпадает с множеством элементов х с Ь, для которых сунАествует такой элемент (э чь 0 кольца А, что рх Е М. Другими словами, фактормодуль М'/М является подмодулем кручения для модуля ЫМ. Это доказывает однозначную определенность модуля М'. Из свойств факторгрупп (гл.
1, 1 6, предложение 5), используя базис (е ), легко установить, что фактормодуль М'/М' изоморфен прямой сумме и моногенных модулей А/Ааь Пусть г — число идеалов Аа;, отличных От А; таким образом, первые п — — г идеалов Аа; совпадают с А, последние г отличны от А. Тогда фактормодуль М'/М изоморфен прямой сумме модулей А/Аа„,...
..., А/Аа„,е„где Аа„~ Аа„„+1 с:... с Аа„„+1 —— А. Мы находимся в условиях, когда можно применить следствие к предложению 2 (и" 1): целое число ги идеалы Аа; (и — г + 1 </<и) однозначно определяются фактормодулем М'/М. Идеалы Ааи совпадающие с А (1 < г < п — г), однозначно определяются, следовательно, модулями Ь и М, так как п есть ранг М. Так как Ь является прямой суммой модулей М' и 1', то фактормодуль 1 /М есть сумма М'/М и (Ь' + М)/М; зта сумма прямая, ибо М' П (В' + М) = М.
С другой стороны, фактормодуль (Х' + М)/МизоморфенЬ'/(М Д Ь') (гл. 1, $6, п 13, теорема 6), то есть С', а зто доказывает,что последний модуль свободен и нзоморфен фактормодулю ЫМ', Следствие. Для того апобы подмодуль конечного ранга М свободного модуля Ь над кольцом главных идеалов А обладал дополни; тельным подмодулем, необходимо и 'достаточно, чтобы фактор- модуль ЫМ был модулем без кручения. В частности, для того чтобы моногенный подмодуль Ах (х М 0) модуля Ь обладал доиолнительнььк подмодулем, необходимо и достаточно, чтобы из равенства х = ау (а ~ А) следовала обратимость элемента а в кольце А.
В обозначениях теоремы 1, если ЫМ есть модуль без кручения, то М =- М', и М' обладает дополнительным подмодулем В' в Ь. Обратно, если М обладает дополнительным подмодулем /,' в Ь, то фактормодуль ЫМ изрморфен Ь', и В является свободным модулем (1 3, теорема 1), то есть и подавно модулем без кручения. Л МОДУЛИ КОНЕЧНОГО ТИПА НАД КОЛЬЦОМ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ОЗ С другой стороны, тот факт, что фактормодуль ЫАх является модулем без кручения, можно выразить еще и так; из включения Ь с Ах (() ~ 0) следует, что у ~ Ах. Пусть это условие выполняется; тогда из равенства х = ау (и ~ Л) следует существование элемента ).
Е Л такого, что р =.= )х, откуда х = аХх, и так кан х — свободный элемент, то а), = 1. Обратно, если из равенства х = ар следует обратимость элемента сс, то, применяя теорему 1 к подмодулю Лх, мы получим, что Лх обладает дополнительным подмодулем в Ь. 3 а и е ч а н н я. О Ненулевой элемент н свободного модуля Ь, обладающий свойством, что па равенства г =- ау (у б Ь, а б А) следует обратимость элемента и, называется невеличии. 2) Можно указать пример такого подмодуля М бесконечного ранга в свободном модуле Ь, что фактормодуль 1,/М является модулем бег кручения, но М не обладает дополнительным подмодулем в Ь (1 3, упражнение Зб)). Опгкдклкник 1. В предположениях и обозначениях теоремы 1 идеалы Ла~ кольца А называются инвариантными факторами подмодрля М относительно модуля В.
В случае, когда А есть кольцо многочленов К [х) от одного переменного над полем К илн кольцо Я целых рациональных чисел, в каждом идеале кольца А можно каноническим образом выбрать образующий: унитарный многочлен кольца К (х) илн целое положительное число (з 1, и'и' 4 и 5). В каждоы из этих случаев канонический образующий инвариантного фактора Аа;, допуская вольность речи, также называют ннвариантным фактором подмодуля ЛХ относительно модуля Ь. Заметим, что нввариантпыо факторы подмодуля М относительно модуля Ь зависят от модуля Ь, относительно которого М рассматривается как подиодулгк например, все опи совпадают с Л, если положить б = М. 3.
Стмугугсттгууга модулей монечтгого тптгпа Ткогкма 2, Всякий модуль конечного типа Е над кольцом главных идеалов Л изоморфвн прямой сумме конечного числа т моно- генных модулей А/аю где аа — идеалы кольца А (некоторые из них могут быть нулевыми) такие, что а~ с: ог с=... ~ аы Ф ть А, причем этими условиями опи определяются однозначно, 54 МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ГЛ. 711, $ б Если модуль Е порождается д Образующими, то он изоморфен фактормодулю А/М, где Л = А» (гл, 11, 2 1, и' 8, предложение 10). Так как М имеет конечный ранг и < д, то мы находимся в условиях, когда можно прыменить теорему 1. В обозначениях последней, фактормодуль ЫМ изоморфен прямой сумме дополнительного подмодуля А' ' к подмодулю М' в / и модуля кручепия М'/М. Модуль В' свободен и имеет конечный ранг р = д — и; следовательно, он нзоморфен Ат.
Если г — наименьший из таких индексов, что Аи„-ь А, то фактормодуль М'/М изоморфен прямой сумме модулей А/Асс1 при г<1<п, и условия теоремы выполняются, если положить т —.— р + (и — г + 1) аз = (") при 1<й<р, а „. = Асс„ /„при 1</<и — г+ 1. Осталось доказать одновначность, но она вытекает из следствия к предложению 2 и' 1. Следствие 1.
Всякий модуль конечного типа Е над кольцом главных идеалов является прямой суммой своего подмодуля кручения и свободнозо модуля. Подмодуль кручения модуля К может, вообще говоря, обладать несколькими разлнчнымн дополнктельпммн подмодулзмн. Например, если К=Я Х (Я/(2)), то подмодуль кручения модуля К есть (О) Х Х (К/(2)); з качестве дополнительного к нему подмодуля можно взять подмсдуль Я Х (О), з также подмодуль, образованный злеыентамн вида (в, л), где и пробегает Я, а и — смежный класс и по шоб 2. П общем случае пусть Т вЂ” подмодуль кручения модуля К н ь1, Кз — свободнь1е ыодмодулн К, каждый из которых является дополнительным к Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
