Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3) Пусть А кольцо главных идеалов, К вЂ” его поле дробей, Е векторное пространство над К, М вЂ” А-модуль нонечного типа ранга и, содержащийся в Е, )е — А-модуль конечного типа ранга р ( и, содержащийся в КМ. Показать, что существуют базисы (е;)1 е -„модуля м и (пне;) (1 ( г ( р) модуля х такнс, что а; Е к и пи Делит п;+е (относительно кольца А) при 1 ( 1 ( р — 1; показать, кроме того, что дробные идеалы Аи~ определяются одноаначно (ннвариентные факторы )У отнес тельно М) (ааметить, что существует () с К такое, что )у е' рМ).
4) Пусть  — конечная абелева группа. а) Показать, что для любого простого числа р числа элементов группы 6, имеющих порядок р, равно р — 1, где )у = ~~ гн (рн). н=.е б) Вывести отсюда, что если уравнение х" =. 1 при любом простом р имеет не более р решений в группе 6, то С вЂ” циклическая группа. 5) Пусть 6 — конечная абелева группа порядка и. Показать, что для любого целого делителя а числа н в группе С существует подгруппа порядка в (раалоекнть 6 в прямую сумму неразложимых циклических групп). *6) Пусть А — коммутатпвнае кольцо с единицей и  — унитарный А-модуль. Обозначим череа й кольцо эндоморфпзмов абелевой группы (беа операторов) К; для любого подкольца В ~ $ через В' обозначим коммутапт В в в (подкольцо, состоящее из элементов е, перестановочных со всеми элемснтамн подкольца В).
а) Пусть Ас — подкольца кольца й, состоящее пз гомотетнй х'-ь Хх (Х с А); иаэестио, что подкольцо Ас иаоморфна факторкольцу А/а, где а — аннулятар модуля К, и его каммутант Ав в кольце а являетсн кольцом эндоморфизмов Х(Ь) А-модуля Л (гл. 11, Я 1 н 2). Показать, что коммутант Ав кольца Ав комиутативен, а его коммутант А;" = А,' (заметить, что Аа ~ А,'). 64 модули иьд кольцами гльвиых идвьлов гл. чы, 14 6) Покааать, что если подмодуль Г модуля Е обладает дополнением, то и (Г) ~ Г для любого и б А, "(рассмотреть проекцию модуля Е яа Г при разложении Ь' на прямую сумму Г и другого подмодуля). в) Пусть модуль Е является прямой суммой семейства (Г,) моногениых подмодулей.
Показать, что при и р А, "для всякого индекса ~ существует элемент а„р А такой, что и (з) = сс,х для всех з б Г, (использовать 6)). г) Пусть модуль Е является прямой суммой последовательности (Ев) (конечной нли бесконечной) моногенкых модулей, такой, что последовательность (Ь„), где ܄— аннулятор модуля Е„, возрастает. Показать, что А" ,= Ло (испольаовать в), а также тот факт, что для любого г ) 1 существуетз~доморфкзм щ Х .ю (Е) = Ае, переводящий Е! 1 в Е!). Рассмотреть применение к случаю, когда А — кольцо главных ядеалов и Ь' — модуль конечного типа кад А. 7) Пусть А — кольцо главных идеалов, К вЂ” его поле дробей, Ь' — модуль без кручения конечяого типа ранга в над кольцом А, Е" — его сопряженный модуль (гл. 11, $4,п' 1);модули Е и Е* оба взоморфны Л". а) Пусть М вЂ” подмодуль в Е, ЛХе — подмодуль в Е", ортогояальный к М (гл.
11, Ь 4, и' 2); показать, что модуль Е*/Мс без кручения и, следовательно, Ме обладает в Е" дополнением; подмодуль Мсо модуля Е, ортогональный к ЛХе, совпадает с Ь' () КЛХ (при атом модуль Е рассматривается канонически погруженным в векторное пространство размеряости а над К). Модуль Е" /Ме можно рассматривать как канонически погруженный в сопряженный к М модуль М" (гл. !1, Ь 4, упрюкнение 4); показать, что иявариантные факторы Е*/Ме относительно М" равны пнварнантным факторам подмодуля М относительно Ь' (воспользоваться теоремой 1). 6) Пусть à — еще одни модуль без кручения конечнсго типа над кольцом Л п и — линейное отобрав<ение модуля Ь' в Г.
Показать, что январиант~ые факторы модуля ~и (Г*) относительно Е* совпадают с ияварпантнымн факторамп и (Е) относительно Г (поступпть так же, как в предложении 4). 8) Пусть 6 — ьюдуль кручения конечного типа над кольцом главных идеалов А н /1Х и К вЂ” свободные модули, такие, что Л' ~ М, и модуль 6 иаоморфен М/Л'; ппвариантные факторы модуля /У относительно М, отличные от Л, совпадают с инвариантнымп факторами модуля 6 (теорема 2); пх число называется рангом модуля 6. а) Показать, что раяг г иодуля 6 является наименьшим числом его моногепных подмодулей, прямая сумма которых равна 6, и равен наибольшему не рангов я-компоневт модуля 6.
6) Показать, что раяг любого подмодуля и любого фактор- модуля модуля 6 не превосходит ранга 6 (рассмотреть 6 как фактор- модуль лвух свободных модулей ранга г). мОдули конечнОГО типА нАд кОльцОИ ГлАВных идеАлОВ 65 в) Покааать, что при любом )с р А ранг подмодуля аС равен числу иввариактвых факторов модуля С, ке делящих )с (ааметить, что модуль кЕ, где Е = Л/(Аа), изоморфек (Лй)/((Аа) П (АЛ))). Вывести отсюда, что й-й ипвариактвый фактор модуля С (если этк идеалы расположены в убываюи/вм порядке) является и. о. д. тех А б А, для которых ранг модуля КС ке превосходит г — й. г) Пусть Ааь (1 < й < г) — икварпаятпые факторы модуля С, расположенные в убывающем порядке, Н вЂ” подмодуль в С ранга г — д, А()А (1 ( й ( г — д) — его иввариаитиые факторы, расположеяпые в убывающем порядке.
Вывести из б) и в), что при 1 < й ( г — д ()ь делит аав.д. Аналогично показать, что если модуль С/ХХ имеет рапг г — р и Аув (1 ( й (г — р) — его иквариактные факторы, расположенные в убывающем порядке, то при 1 ( й < ( г — р уь делит аадр.
д) Обратно, пусть Š— модуль кручения рапга г — д, ААЬ (1 ( й ( г — д) — его ипвариакткые факторы и )сь делят аь+ч при 1 ( й < г — д. Показать, что в С существуют подмодули М и /У такие, что модуль Е кзоморфеп М и С//У (разложить С в прямую сумму подмодулей, кзоморфяых А/Аав). вд) Пусть А — кольцо главных идеалов, К вЂ” его поле дробей, Š— векторное пространство кад К, М вЂ” А-модуль конечного типа ранга и, содержащийся в Е, Н вЂ” А-модуль конечного типа ранга р, содержащийся в КМ, Р— М-модуль конечного типа ранга д, содержащийся в К/У.
а) Пусть Аас (1 ( с (р) — иивариаптиые факторы модуля Д/ относительно М, расположенные в убывающем порядке (упражнение 3). Показать, что при 1:" й ( р элемент аь является и. о. д. таких элемектов А 8 К, для которых ранг фактормодуля (Л'+)с (КЛ' () М))/Н ве превосходит р — й (см. упражнение 8г)).
б) Пусть Абс (1 ( с < д) — кпвариантпые факторы модуля Р относительно /У, Лу/ (1 ( / в р) — ипвариактвые факторы Р относительно /У, расположенные в убывающем порядке. Показать, что при 1 < / ( д асу/ делит ()/ (см. упражнение 8). в) Показать, что при1 ../ < д у,а/делится. (Рассмотретьскачала случай и = р = д и примеиить упражнение 8. В общем случае показать, что всегда можно предполагать р = и, и рассмотреть в М подмодуль О такой, что Р+ ОС при любом д б А имеет ранг р; затем взять достаточио малепький идеал Ад и применить предложекве 3.) г) Пусть Н вЂ” подмодуль в Н ранга й (р и (рп) — дробный идеал, состоящий из элемектов р б К таких, что р (М () КХХ) с Н.
Вывести из в), что аа при любом й, 1 ( й ( р, является и. о. д. элемевтов рп, когда Н пробегает множество подмодулей ранга й модуля /Ч. в10) Пусть А — кольцо главных идеалов, М вЂ” подмодуль рапга я модуля Е = Л" и Лас (1( с ( в) — инвариакткые факторы модуля йХ относительно Е, расположенные в убывающем порядке. 5 Н. Бурбаки б модули нАд гголы1Ами ГлАВных идпАлов Рл. чгц 18 Пусть /У вЂ” во/щодуль М, обладающий в М дополнением (то есть /у = М () К/у, где К вЂ” поле дробей кольца). а) Пусть Р— дополвеяие модуля /у в М.
Показать, что подмодуль (Р+ (Е () КН))/М модуля Е/М изоморфев (Е () К/У)//У. Вывести отсюда, что если ранг модуля Х равен р и А))А (1 ( й ( р) — его иввариавтиые факторы относительно е, то при 1 ( й ( р ()А делит ий+н р (зоспольаоватьсЯ УпРажнением Зг)). б) Привести пример, показывающий, что модуль Е/М ве обязательно паоморфеи произведевию модулей (Е () КН) /А/ и Е/(Р+ (Е () КХ)) (взять случай, когда Е/М веразложпп). *11) Пусть А — кольцо главных идеалов, 0 — подмодуль в Е = А" ранга /е — 1, обладающий в Е дополнением (то есть Н = Е () КН)„п Но — подмодуль сопряжевяого к Е модуля Ее, орто- гояальвый к и (упражвеиие 7); пусть (тл) — в.
о. д. идеалов / (м) кольца А, где / пробегает Нег показать, что если Н пробегает мяоже- ство подмодулей ранга й — 1 модуля Е, обладающих дополиепием в Е, то ий прп любом й (1 ( й -( р) является и. о. к. злемевтов тн (рассмотреть сначала случай й = 1; результат примевить к подиодулю (М+ Н)/Н модуля Е/Н и воспользоваться упражвевпем бг), приме- вевяым к фактормодулю Е/(М + Н) модуля Е/М). 12) Пусть С' — модуль кручения извечного типа вад кольцом главных идеалов. Показать, что его подмодуль Н ве может быть пзо- морфвым С,ие будучи ему равным (заметить, что подмодулп модуля С удовлетворяют условию мивимальвости (1 2, упражяеняе 5), и при- менить упражвеяяе 15, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
