Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Другими словами: 3 а м е ч а н и е. Ввиду предыдущего предложеняя в пространстве И имеется бавпс, относительно которого матргща бг андомерфнзма и принимает вил О ... О О Ав-гаг О О О ... А„О О ° О Авl где каясдая матрица А; имеет вид (2) (при Е (Х) = Ю (Х)). с А —Ђ .+1 О О О ПРедлОжение 2. Пусть Е векторное пространство конечной размерности над полем К, и и — его эндоморфизм. Существует и унитарных многочленов д; (Х) ~ К [Х) (1 <1<п) таких, что дг делит дссс (1 <1<п — 1), и Е является прямой суммой и надпространств [гс (1 <1 <и), устойчивых относительно и, моно- .генных (относительно и), а минимальный многочлен сужения .эндоморфизма и на каждое Ус равен д, (1 <1<и).
Многочлен дс определяется этими условиями однозначно, и д„= д — минимальный многочлен эндоморфизма и. Опгеделение 1. В обозначениях предложения 2, и унитарных .многочленов д; (Х) (1 <1<а) называются инвариантами подобия эндоморфизма и (и всякой его матрас)ы П относительно произвольного базиса пространства Е), Инвариант подобия д есть, таким образом„минимальный многочлен зндоморфиама и (предлоясение 2); иначе говоря, многочлен р (Х) ~ К [Х) удовлетворяет условию р (и) = 0 тогда и только тогда, когда р кратен д„.
Обобщая терминологию, введенную для матриц (гл. 11, 2 6, и' 11), будем говорить, что зпдоморфнзм и унитарного А-модуля Е и зндоморфиам и' унитарного А-модуля Е' подобны, если существует такой изоморфиам у модуля Е на Е, что и' с у = у о и. 1 ЭНДОМОРФИЭМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 75 Следствие 1. Для того чтобы эндоморф змы и и и' конечномерных веюпорных простпранств Е и Е' над одним и тем же полем К были подобны (соответственно матрицы У и У' эндоморугизмов и и и' относительно произвольных базисов в пространствах Е и Е' были подобны), необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые инварианты подобия. В самом деле, утверждение, что и и и' имеют одинаковые инварианты подобия, равносильно тому, что модули Е н Е'„ изоморфны (З 4, теорема 2); но нз этого утверждения следует, что существует такой изоморфнзм у векторного пространства Е на векторное пространство Е', что и' ьа = учи; обратно, такой изоморфизм а является также изоморфизмом модуля Е„на Е'„, так как для любого целого числа п О выполняется равенство и'и д — ь „иа Следствие 2.
Пусть д~ (Х) (1 <а<и) — инварианты подобия квадратной матрицы У порядка п с элементами из некоторого поля К; многочлены д; остаются инвариантами подобия матрицы сг', если рассматривать ее элементы как взятые из произвольного надиоля К поля К. В самом деле, если многочлены ул с К [Х] таковы, что д~ делит д,+, при 1 <~ <и — 1, то утверждение, что они являются инвариантамн подобия матрицы сг' (рассматрнваемой как матрица с элементами из поля К), означает, что существует такая обратимая квадратная матрица Р с элементами из поля К, что матрица аг = РПР-' представляет собой киадратную таблицу из матриц вида (2), соответствующих многочленам д;; поскольку элементы матрицы Р н коэффициенты миогочленов д; принадлежат К', то следствие тем самым доказано. Следствие 3.
Пусть У и У вЂ” квадратные матрицы порядка п с элел~ентами из полл К. Если существует обратимая квадратная матрица Р с элементами из некоторого надиоля К поля К, такая, что г' = РУР-', то существует обратимая квадратная матрица се с элементами из поля ф такая, что у = я~~у ~. Это немедленно вытекает из следствий 1 и 2. В Приложении ыы дадим метод вычисления инварнантов подобия матрицы;иа этого метода будет ясно, что опп получаются иа алементов матрицы с помощью рапиональных действий.
76 модули н»д кольц»ми гл»нных идк»лов гл. чп, гь Теперь сформулируем по-новому предложение 7 $4 о разложении модуля в прямую сумму неразложимых подмодулей. Пгндложвннв 3. Пусть Š— векторное простра||ство конечной. размерности и над полем К, и и — его эндоморфизм. Тогда Е является прямой суммой надпространств Ую устойчивых относительно и и таких, что минимальный многочлен сужения и на У|, имеет вид р» ~ ~, где р» — неприводимый многочлен; кроме того, У» не может бьипь разложено в прямую сумму двух подпространств, усгпойчивых относи|кельна и, и не сводится к О. Для любого неприводимого унитарного многочлена р г К (Х) и любого целого числа п>~1 число т (р") подпространств У» из указанного разложения, таких, что р" является манили|явным многочленом сужения и на У», определяется однозначно.
Знание многочленов р» ~ равносильно знанию ннвариантов п |»г подобия эндоморфизма и: от одних к другим можно перейти способом, указанным в замечаниях 2 и 3 з 4, и' 7. Кроме того, от. разложения, рассматриваемого в предложении 3, можно немедленно перейти к разложениям, рассмотренным в предложениях 2 и 3. Заметим, что непривсдимые унитарные мнсгочлеаы р б К [Х), такие, что зг (р") ) О прн некотором пеном и уе 1, представляют собой не что иное, как непривсдимне унитарные множители минимальисгс мнсгсчлена эндсморфиама в.
Следовательно, зтн многсчлеиы, в противоположность иивариантам подобии, зависит от поля К, в котором оии рассматрнваютсв. л. Зндо.иорфыамы аенто7»ньюта т»7зоспгрнтиспьв над алгебраичееиы замтснутпым тсолем Предположим, что поле К алгебраически замкнуто; тогда всякий неприводимый унитарный многочлен над полем К имеет внд Х вЂ” а (а Е К) (гл.
Ъ, $ 4, определение 1). Это позволяет высказать предложение 1 в следующей форме: Пгвдложиннв 4, Пусть Š— векторное пространство ко||ечной размерности и над полем К, и — эндоморфизм пространства Е и д (Х) — его минимальный многочлен. Д'ля любого корня а Е К многочлена д (Х) через М„обозначим векторное подпространство, и ЭНДОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 77 состоящее ив векторов х с Е, для которых сущесгпвует целое число й>~1 такое, что (и — а)" х = О.
Тогда М„устойчиво относительно и, Š— прямая сумма подпространств М„и существуют многочлены г„с К [Х) такие, что компонента любого элемента .х с Е в М„равна г„(и) х. Подмодуль М„является К!Х)-модулем конечного типа, и поэтому его апнулятор имеет вид (Х вЂ” а)', другими словами, существует целое число г> 1 такое, что (и — а)' х = О для всех .х ~ М„; в этом случае говорят, что сужение на М„эндоморфизма и — а является нильпотентным эндоморфивмом. 3 а м е ч а н н е.
Предположим, что в пространстве Е существует базис (М)>л „, относятелько которого эядоморфвзм и имеет матрнцу У с элементамн вз некоторого подполя Ке поля К. Для любого Ке-автоморфпзма а поля К и любой точки х = Ч~~ ~з>е) пространства Е >си ч положим хс = Ч~~ Ц'е» отобрав<екпс х — хв является, очевядяо, )=! взаимно однозначным полулннейвым отображепкем Е на себя; кроме того, предположение относительно матрицы с> влечет равенство и (хе) = (и (х))с для любого х б Е.
Но коэффнцнеяты мннвмального многочлена е (Х) эндоморфпзма и лежат тогда в иоле Кс (следствне 2 предложения 2); следовательно, для любого корня а многочлена о (Х) к любого Ке-автоморфнама с поля К ас также является корнем о (Х); кроме того, если (и — а)е х=О, то н (и — оо)ь хо=с, н обратно; следовательно (в обозначенкях предложення 3), ж (Х вЂ” а) = = ж (Х вЂ” ае) н М„= (М,„)е. Кроме того, равенство и (хс) = (и (х))о показывает, что если матрица суженяя эндоморфязма и на Мо отяоснтельно некоторого базиса (ал) подпространства М есть У , то Уе будет матряцей сужения эндоморфвэма и на Мес относительно базиса (ее). По-прежнему предполагая, что поле К алгебраически замкнуто, применим к эндоморфизму и предложение 3. Многочлены ре все имеют вид Х вЂ” а (где а пробегает множество корней минимального многочлена д эндоморфизма и), и Е является прямой суммой поднространств Е, „, устойчивых относительно и, моно- генных (относительно и) и таких, что минимальный многочлен сужения эндоморфизма и на Е, „равен (Х вЂ” а) .
Пусть 78 мОдУли нАд кОльцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. Угд гб Е', „— К (Х)-модуль, ассоциированный с Е, „; тогда Е изоморфен фактормодулю К (Х)/((Х вЂ” а)ж). Однако классы элементов (Х вЂ” а)а (О < й <т — 1) по шоб (Х вЂ” а)'" образуют базис модуля К(Х)/((Х вЂ” сс)ж) относительно К (гл. 1т, $1, и'5) и Х(Х вЂ” а) =а(Х вЂ” а)ь+(Х вЂ” а)"+г при 0 <)с <т — 1; отсюда следует, что пространство Е имеет размерность т и в нем существует такой базис, относи- тельно которого матрица сужения эндоморфиэма и на Е является матрицей порядка т и имеет вид а 0 0 ...
0 0 а 0 ... 0 0 ' 0 1 а ... 0 0 Кв, а- (О 0 0 ... а 0 (О 0 0 ... 1 а (4) Пеедложение 5. Пусть П вЂ” квадратная матрица над алгебраичгски замкнутым полем К; существует матрица, подобная П' и имеющая вид диагональной таблицы, состояи)ей из жордановыкматриц. Заметив„что всякая жорданова матрица треугольна (гл. 11, $6, п' 5, пример 5), получаем: Следствии. Всякая квадратная матрица над алгебраически замкнутым полем подобна треугольной матрице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
