Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Однако степень т многочлена д больше или равна и: в противоположном случае для любого х Е 1Ч выполнялось бы равенство ~ Ъдиь (х) = 0 А=Е (где элементы ЪА Е К не все равны нулю), что противоречит линейной независимости различных автоморфиамов и" (0<)с<т ( и) (гл. Ч, 3 7, теорема 3). Следовательно, Х" — 1 является минимальным многочленом эндоморфизма и, Так как его степень равна и, он совпадает с характеристическим многочленом вндоморфизма и; остальные инварианты подобия эндоморфизма и равны 1 (предложение 8). Таким образом, модуль 1Ч'„изоморфен моноеенномр К [Х)-модулю К [Х[/(Х" — Ц (предложение 2). Пусть а ~ Ф вЂ” образующий модуля 1Ч„; тогда и элементов и" (а) (О < < )с < и — 1) составляют систему образующих модуля 1Ч, рассматриваемого как векторное пространство над полем К, и линейно независимы над К, поскольку [1Ч: К[ =- и; следовательно, опп образуют нормальный базис расширения А1.
У и р а ж н е н и я. 1) Пусть и — эндоморфнэм векторного пространства Е н 1' — подпространство в Е, устойчэвое относительно и. Показать, что характеристический многочлен сужения а на У делят характеркстячеснвй многочлен эндоморфнзма и. Вывести отсюда элементарное доказательство теоремы Гамнльтона — Кэлн (свестн доказательство к случаю моногепного пространства н применить формулу (2)). 2) а) Показать, что всякая квадратная матрнца над нолем К подобна своей транспоннрованной матрице (свестн доказательство к случаю жордановой матрицы).
ЭНДОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 93 б) Пусть и — зндоморфиам векторного пространства Е конечной размерности над полем К. Всякое собственное значение Л андоморфизма и является тагске собственным значением транспонированного эндоморфиама ги пространства Ее. Кроме того, пусть Л и р — различные собственные значения зндоморфизма и, х — собственный вектор эндоморфизма и, соответствующий Л, х" — собственный вектор, соответствующий рл показать, что хи х' ортогональиы. 3) Пусть и — эндоморфизм векторного пространства Е конечной размерности, Л вЂ” собственное аначение'андоморфиама и, и х — эндоморфизм и — Л.
Покааать, что Е является нрямой суммой подпро- -1 странств г (0) и с (Е) тогда и только тогда, когда Л вЂ” простой корень минимального многочлена андоморфизма и. 4) Присоединяя и основному полю трансцендентный элемент, показать, что формула (6) в предложении 13 является следствием формулы (8). Докааать это утверждение непосредственно с помощью рааложения многочлеиа д на линейные множители.
*5) а) Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле, А — квадратная матрица порядка и над К, имеющая вид диагональной таблицы (А;) па треугольных матриц, таких, что все собственные значеяия матрицы А1 равны одному н тому же элементу а; (1:.. г < г), и а; -Р ат при 1 чь у. Показать, что всякая матрица В, перестановочная с А, является диагональной таблицей иа матриц (В;), где В имеет тот нге порядок, что н А~ (1 < 1 < г). б) Пусть М вЂ” некоторое множество попарно перестановочных матриц порядка л над полем К. Показать, что, применяя ко всем матрицам из М одно и то же подобие, можно получить, что все они будут иметь вид диагональных таблиц из треугольных матриц (Х;), причем число г и порядки т, матриц Х; одинаковы для всех матриц пз М и все собственные значения матрицы Х1 равны между собой (используя а), свести доказательство к случаю г = 1, затем применить лемму 2 для доказательства того, что в этом случае все матрицы из множества М имеют общий ненулевой собственный вектор, и в заключение провести индукцию по л), 6) Провести доказательство предложения 14 с помощью приведения матрицы к треугольному виду.
7) Пусть А — матрица ив т строк и л столбцов ранга гнад полем К, Р— квадратная матрица порядка т, () — квадратная матрица порядка л и РА(1 = А. Показать, что существуют матрица Р', подобная Р,и матрица ()', подобная (), такие, что где  — обратимая квадратная матрица порядка г, У (соответственно У') — квадратная матрица порядка т — г (соответственно и — г), 94 мОдули нАд колъцАми ГлАВных идВАлОВ Гл.
Ун, 1 б Ю (соответственно Я') — матрица из г строк и ж — г столбцов (соответственяо иэ я — г строк и г столбцов). 8) Пусть Š— векторное простраяство конечной размерности и иад полем К, в — его эндоморфизм, У вЂ” надпространство в Е, устойчивое относительно и, и иУ вЂ” сужение эндоморфизма и на У. Показать, что если /~ (1 <1 < и) (соответственно д1 (1 </ < вг)) — инварианты подобия зндоморфизма и (соответственно иу), то прн 1, / < ж многочлен ру делит /1е„(см.
14, упражнеяяе 8г)), сформулировать и доказать аналогнчяое свойство для эвдоморфнзма пространства Е/У, получаемого из и путем факторизации. чо) Пусть А — квадратная матрица порядка и,  — квадратная матрица порядка т, С вЂ” матрица иэ ш строк я о столбцов над полем К. Свести решение уравнения ХА = ВХ+ С, где Х вЂ” яеизвестная матрица из т строк и п столбцов над полем К, и решению системы линейных сравнений в кольце многочленов К[г'[. (Заметить, что для любого / г К [г ) должно выполняться равенство Х/ (А) = = /(В) Х + Н (/), где Н (/) — одновначно определенная матрица из ж строк и и столбцов; пусть ~ Е; — разложение модуля Е, ассоциированного с А (и' 1), в прямую сумму моногенных модулей я а;— образующий модуля Е; при атом аннуляторы модулей Е, являются отличными от 1 инвариантами подобия /; матрицы А (предложение 2); аналогично определим подмодули Рг с образующими Ьу н многочлены д- у для матрицы В; запксать равенство Х/~ (А) а~ =- О; затем разложить Хе; и Н (/;) а; на модули Р1 и показать, что условия, получаемые таким обрааом из уравнений Х/~ (А) о; = О, необходимы и достаточны для существования решения.) 10) а) Показать, что матрица а [)1з [)ы .
[)ьь О А а [1зч ° . рза О О А а - . аУзо о о о о . а О О О О пад произвольным нолем прн а ~ О подобна жордаповой матрице (/о б) Показать, что если Х Ф О н характеристика поля К равна О, то для любого целого числа т (положительного ялп отряцательного) матрица ((г„, А)™ подобна жордановой матрице (г„ Ат. в) Выполняется равенство((г„, е)"' = О для яг > в.
Если О <т < и, то пусть в — 1 = лег+ д, где О < д < вц показать, что д+ 1 яявариантов подобии матрицы ((г„,о) равны хь+г, а яг — д — 1 инвариантов подобия равны Хь (расположнть в подходящем порядке элементы канонического базиса пространства К"). ЭНДОМОРФИЭМЫ ННКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 95 г) Аналогичным обравом определить инварианты подобия матрицы 1 (У„, х), где ) Е К [Х]. д) Исследовать те же вопросы для поля К характеристики р ~ О. 1Ц Пусть К вЂ” алгебраически замкнутое поле, А — обратимая матрица над К, т ) 0 — целое число.
Показать,что если т не кратно характеристике поля К, то существует такой многочлеи с (Х) б К [Х], что (я (А)) ш = А (испольэовать теорему Гамильтона — Кэпи и упражнение 28 1 1). Обобщить это утверждение на уравнение г' (У) == А (1 ~ К «Х], [! — неиэвестная матрица порядка и над К). 12) а) Пусть и — эндоморфиэм векторного пространства конечяой размерности л над полем К. Покааать, что если его характеристический многочлен неприводим и сепарабелен над К, то и приводится к диагональному виду над алгебраическим замыканием К поля К, б) Показать, что если квадратная матрица над полем К имеет (в К) собственное значение, не сепарабельное над К, то она не подобна (пад К) никакой матрице, приводимой к диагональному виду (над К) (испольэовать предложение 10).
в) Получить иэ б) пример матрицы, для которой неверно эаключенпе предложения 12. 18) Пусть (Ла) — конечное семейство различных ненулевых элементов поля К проиэеольной характеристики Он Покааать, что если целые числа ль удовлетворяют условию ~~~~ льЛь — — 0 для достаточно ь болыпого г, то все иь кратны р. (Заметить, что для любого целого числа з существует многочлен уа й К [Х) такой, что (ь(Ль) =- 1, в (Ль) = О прн 4 ~ Ь и Х' делит [ь; длн достаточно большого г пэ сделанного предположения следует, что ~ ла[ь (Ла) = ль 1 =- 0.) Вывест!! отсюда, что если П вЂ” квадратная матрица порядка и над полем К характеристики О, (Л!) (1 ( ! ( п) — семейство элементов некоторого расширения поля К и для достаточно большого г выполэ няется равенство Тг (Пг) =-.
~ Л!, то Лгг = Ц (Х вЂ” Л;). $=1 й=! Отсюда и иэ упражнения 4 гл. 111, 1 4, прямым методом вывести результат предложеняя 14 для поля характеристики О. Затем с помощью прлнципа сохранения алгебраических тождеств обобщить атот реэультат ва поля произвольной характеристики. е14) Пусть (2,. ) (1 ( О ) < л) — семейство иэ переменных над полем Ке, А — кольцо многочленов Кэ [Ег!,..., 2„„) и К =- Кс (Е!1) — его поле дробей; пусть у1г — характеристический мн<шочлен матрицы П =.— (Я,. ) над полем К. а) Покааать, что многочлен 20 иеприводим и сепарабелен.
(Показать, что если угг приводим над К, то он является произведением двух многочленов от Х степени )0 ив кольца Ке [Х, Я!!]; иэ этого вывестя, что характеристический многочлен всякой квадратной матрн- 96 ИОДУли ИАД кОльЦАми гллвных иДИАлОВ Гл. У11з 1 б цы порядка и над полем К приводим; получить противоречие с наличием примера мпогочлена, коаффициенты которого алгебраически независимы над Ке1 аналогично РассмотРеть сепаРабельность.) б) Показать, что матрица (1 подобна матрице, у которой все элементы равны О, 1 или некоторому коэффициенту многочлена )( (см. вь 1, формула (2)).
Вывести отсюда, что если поле Ке бесконечно и р — многочлен из кольца А такой, что р (иц) =. р (иц) всякий раз, когда матрицы (и11) и (и11) подобны над ко, то р лежит в подкольце, порожденном в А коаффициентами многочлена тгг. сформулировать и доказать аналогичное утверждение для рациональных дробей " б К = Кэ (211). 15) Пусть Š— левое векторное пространство конечной нлн бесконечной размерности над телом К, ие обязательно комлутипизнььи; пусть и — такой его эндоморфизм, что из (х) = х для любого х б Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
