Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Слкдствик. А [Х 1-модуль Е„изоморфен фактормодулю А [Х[-модуля А [Х1 8 Е по образу А [Х1 8 Е при эндоморфизме»[» = Х вЂ” и. М. ееодобнме зндоморЯтлзмъс В этом и' Е и Е' — унитарные А-модули, и — эндоморфизм модуля Е, и' — эндоморфизм модуля Е', обозначения Е„, »р, и, »[» употребляются в том же смысле, что и в и' 1, а Е', »р', и', »[»' означают аналогично определенные модуль и отображения, соответствующие Е' и и'. Пгкдло»ккник 2.
Для того чтобы отображение у модуля Е в Е' было А [Х[-линейным отображением модуля Е„в Е', необходимо и достаточно, чтобы у было А-линейн и отображением модуля Е в Е' таким, что у о и = и' з у. Ввиду (1) это условие, очевидно, необходимо; но индукцией по и ив него следует, что у о и" = и'" о д, так что оно и достаточно. Слкдствик. Для того чтобы отображение у было изоморфиэмом модуля Е„на Е„'., необходимо и достаточно, чтобы у было изоморфизмом Е на Е' таким, что у о и = и' з д, другими словами, чтобы и и и' были подобны.
Пусть у — А-лннейное отображение модуля Е в Е', известно (гл. 111, 1 2), что отображение у канонически определяет А [Х1-линейное отображение у тензорного произведения А [Х1 8 Е 104 пгнложвниз в А [Х1 3 Е'. для любых р б А [Х) и х Е Е у (р 8 х) = р 8 у (х). (5) Пггдложкннв 3. Пусть у — А [Х)-линейнсе отображение модуля Е, в Е„'", тогда ф ву=уоф (6) 1)1 ОУ=Уо1)1, (7) В самом деле, по предположенисо, если р~А[Х1 и хьЕ, то <р (у (р 8 х)) = ~р (р ® у (х)) = р (и') у (х) = у (р (и)) х) = д (~р ( р 8 х)), что докааывает (6). Аналогично и' (у (р 8 х)) = и (р 8 д (х)) — — р 4 ) (и' у (х)) = р 8 у (и х) = =д(и(р® х)), что и доказывает (7).
Пгвдложкнив 4. Если существуют А [Х1-линейные отображения д„дг модуля А [Х) 3 Е в А [Х1 3 Е' такие, что ф' ~ уг = = д1 о 1)1, то существует А [Х]-линейнсе отображение д модуля Е„в Е„' такое, что Ч1' о у1 =- ~р' о д. Если, кроме того, д1 и уев А 1Х)-изоморфизмы модуля А 1Х1 8 Е на А [Х1 З Е', то д— А [Х)-изоморфизм модуля Е„на Е;;. В самом деле, пусть М (соответственно М') — образ модуля А [Х] 3 Е (соответственно А )Х) 3 Е') при отображении (соответственно 1)1'). Тогда нз предположения следует, что д1 (М) с: с: М'.
Следовательно, отображение у, определяет путем фактори- зацииА [Х)-линейное отображение фактормодуля (А [Х) 8 Е)/М в фактормодуль (А [Х! Э Е')/М', так как модули зти канонически изоморфны соответственно Е и Е', то, по предложению 3, тем самым получено А [Х1-линейное отображение д модуля Е„в Е„'. такое, что Ч1' (у1 (р 8 х)) =- у (1р (р 3 х)), но вследствие (6) зто соотношение означает, что 1р' ю у, = 1р' о д. Наконец, если у, и уг являются изоморфизмами, то д1 (М) = М', и следовательно, у — изоморфизм модуля Е„на Е„'. Обобщая терминологию, введенную для матриц (гл.
11, 4 6, и' 10), будем говорить, что эндоморфизмы и и и' эквивалентны, если существуют такие изоморфизмы ~1 и 1г модуля Е па Е', что и' оуг = ~со и. Предложение 4 влечет 1О5 ЭНДОМОРФИЗМЫ УНИТАРНЫХ МОДУЛЕЙ Слкдствив. Д'лл того чтобы эндоморфизмы и и и' (соответственно А-модулзй Е и Е') были подобны, необходимо и достаточно, чтобы эндоморфизмы Х вЂ” и и Х вЂ” и' (А (Х)-модулей А ]Х] 8 Е и А (Х) 8 Е' соответственно) были эквивалентны. 3 а м е ч а н н е.
Из формулы(7) следует, что если ив и' подобны, то Х вЂ” и н Х вЂ” и' водобны; следовательно, для энвввалентностн эндоморфвэмов Х вЂ” и н Х вЂ” о' веобходвмо н достаточно, чтобы оян были подобны. Разумеется, ато соввадевне основано на частном виде етвх эндоморфнэмов н не имеетместа для нровэвольных эндоморфвамов модулей А ]Х]4Р и и А 1Х] Я~Я'. 3.
Прммененне н этгдоморйэнв.кам венпаорных прости ра испьв Пусть Š— векторное пространство конечной раамерности и над полем К, и и — его зндоморфизм. По предложениео 2 К]Х ]-модуль Е„, ассоциированный с и, изоморфен фактормодулю К ]Х )-модуля К ]Х1 (]]) Е по подмодулю М, образу К ]Х) бу Е, при эндоморфизме Х вЂ” и. Однако если (в,)~<;»„— произвольный базис пространства Е над К, то алементы 1 ф г) (1 (1( п) обраауют базис модуля К ]Х] ® Е над К ]Х1; другими словами, К ]Х) ® Š— свободный К ]Х1-модуль конечного типа; отсюда следует, что инварианты подобия а; (Х) эндоморфизма и Я 5, определение 1, и' 1) представляют собой не что иное, как инвариантныс факторы подмодуля М относительно К ]Х]-модуля К ]Х1 ® Е (у 4, п' 2, определение 1). Отсюда получается метод вычисления многочленов д; (Х): по предложению 1 элементы Х К в; — 1 К (и в;) составляют систему образующих подмодуля М; но если О' — матрица зндоморфизма и относительно (в,), то координаты элемента Х ® вз — 1 8 (ив,) относительно базиса (1 ф сз) модуля К ]Х] () Е представляют собой элементы столбца с номером 1 матрицы Хл"„— У (над К ]Х)).
Тогда из предложения 3 1 4 следует ПРедлОжение 5. хл усть Š— векторное пространство конечной размерности над полем К, и и — вго эндоморф зм, П вЂ” матриз)а и относительно произвольного базиса пространства Е. Длл любого ивлево числа т, такого, что 1(т(п, проиавсдгниг и (Х)=д,(Х)д,(Х)... а„(Х) ПРИЛОЖЕНИЕ 406 первых т инвариантов подобия эндоморфизлш и равно н. о. д.
миноров порядка т матрицы Х.҄— (/. Тем самым, в частности, вновь получено предложение 8 2 5. У п р а ж н е н и я. 1) а) С помощью следствия предложения 4 провести новое доказательство того, что квадратная матрица над полем подобна своей транспоннрованной. ,е4 1Д б) Показать, что матрица [ 1е) надкольцомЯ целых рациональных чисел не подобна своей транспонированной. 2) Пусть Š— унитарный модуль над коммутативиым кольцом А, имеющий конечный бааис (е ) ; „; отождествим каждый элемент е/ с элементом 1 ® е.
А [Х)-модуля А [Х[ 8 Е; тогда базис (е ) отождествится с базисом этого модуля. Дать новое доказательство теоремы Гамильтона — Кали, докааав, что, в обоаначениях предложения 1, у„, (Х) е/ б М для любого индекса /; для этого ааметить, что если (е/) — базис, сопряженный к (е ), модуля, сопряженного к А [Х[3 Е, то е/ —— ( — 1)" 1 (еэ Л . ° Л ес) '- (эг Л ° Л еэ э Л ее+1 Л ° " Л ес) н, с другой стороны, ъ„(Х) (ее Л ееЛ... Л ея)=(Хеэ — и(еэ)) Л... Л (Хея — и (еэ)). Наконец, испольаовать упражнение 2 4 8 гл. 111. 3) Говорят, что пары (Ан А~ и (В„Вз) квадратных матриц порядка я над полем К экеиэ лентяи, если над К существуют такие обратимые квадратные матрицы Р и О порядка я, что А, = РВэО и Аз = = РВзе/.
Покааать, что если матрицы А, и В, обратимы, то для эквивалентности этих пар необходимо и достаточно, чтобы матрицы ХА, + Аз и ХВ, + Вз были эквивалентны над кольцом К [Х[. э4) а) ПустьАи  — квадратныематрицы порядка янадполемК, /; н В; (1 ~( 1.( я) — их инварианты подобия. Показать, что векторное пространство (над полем К) квадратных матриц (/ порядка я, таких, что (/А = В(/, изоморфно пространству Мо — — М//т', определенному следующим образом: М вЂ” пространство квадратных матриц (яьч (Х)) порядка я над К [Х), таких, что ог (Х) // (Х) кратно Ег (Х) для любых / и /; /у — подпространство в М, состоящее нз таких матриц (яг.
(Х)), что и;, (Х) кратно уэ (Х) для любых 1 и /. (Рассмотреть (/, А н В как матрицы эндоморфиамов и, э и оэ пространства Е = К" и заметить, что и — К [Х[-линейное отобрвксние модуля Еэ в Е„: представить Е, и Е как фактормодули и воспользоваться упражнением 2 3 2 гл. 11). б) В случае, когда В = А, матрицы (/, такие, что (/А = А(/, образуют кольцо Р; тогда М вЂ” некоторое кольцо квадратных матриц, /у — его двусторонний идеал и Р изоморфно факторкольцу М/Е. ЗНДОМОРФИЗМЫ УНИТАРНЫХ МОДУЛЕЙ (оу полазать, но Р совпадает с кольцом к (А), порожденным матрицами 1а и А, тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы А Равен ее характеристичесному мвогочлену.
в) Полазать, что для произвольных матрац А и В размерность пространства Мс равна ~ етП, где т; — степень н. о. д. многочленов 1; и д (использовать упражнение 8 $5) (метод упражнения а)). г) Показать, что наиболыпий из рангов матриц П Е аге равен ч~~~~ла, где 4~ — степень н.
о. д. многочленов уь и яа (использовать упражнение 8 з 5). д) Обобщпть результаты упражнений а), в) н г) иа случай, когда А — квадратная матрица порядка и,  — квадратная матрица порядка ж и П вЂ” матрица из т строк и л столбцов. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ У1 и У11 (Римские цифры в скобках относятся к библиографии в певце настоящего очерка.) Элементарные арифметические операции и в особенности вычислеикя с дробями не могли не привести к многочисленным наблюдениям эмпирического характера о делимости целых чисел.
Однако ни вавилоняне (столь искушенные в алгебре), ии египтяне (с их акробатическими правилами действий при вычислении дробей) не впали, по-видимому, общих законов делимости, и первое слово здесь принадлежит грекам. Их достижения в арифметике, основное изложение которых находится в Ч11 и 1Х Книгах Евклида (1)„ ни в какой степени не уступают нх лучшим открытиям в других областях математики. В самом начале ЧП Книги докаеывается существование н. о. д. двух целых чпсел — с помощью процесса, иевестпого под наеванием «алгоритм Евклида» *); ато утверждение служит отправной точкой для всего дальнейшего развития теории (свойства простых чисел, существование и вычисление н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
