Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д. и единственность разложения яа простые множители. Здесь не место описывать, как Куммер при изучении полейкорнейиз единицы (Х[1) "««), а аатем Дедекпнд и Кронекер при исследовании произвольных полей алгебраи- «) См„например, Н. В о зт а из, Япг 1е «1!Ьго йе1 А!ЗеЬга» де Рейго Ь)пйез, В!ЬЬ Ма!Ь. (3), УП1 (!907 — 08), 154-!69. «") Одно время Гаусс, видимо, надеялся, что кольцо целых в поле корней л-й степени из единицы является кольцом главных идеалов; в одной иа рукописей, не опубликованных при его жизни((7111), т.
11, отр. 387 — 397), он доказывает наличие процесса евклидова деления в поле кубических корней иа ед»дзицы н дает несколько указаний об аналогичном процессе в поле корней пятой отепенн; этн результаты он испольаует для более корректного, чем у Эйлера, доказательства методом «бесконечного спускаэ иеразрежнмости уравнения ха + уз = зз в поле кубических корней иа единицы, подчеркивает, что атот метод можно нрименнть к уравнению хэ + уэ = з», но останавливается перед уравнением хт + ут = зт, заметив, что здесь нельзя отбросить а рПог! случай, когда х, у, в не делятся на 7. «**) Начиная со своей первой работы об «идеальных числах», Куммер явяо подчеркивает, что его метод применим не только к полям корней из единицы, во и к квадратичным полям и, таким образом, позволяет заново получить результаты Гаусса о бинарных квадратичных формах ((Х11), стр.
324, 325). И5 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Ч1 И ЧП ческих чисел сумели преодолеть это грозное препятствие соаданпем теории идеалов, ставшей решающим достижением современной алгебры. Но дедекинд, всегда относившийся с большим интересом к обоснованвю различных математических теорий, не удовлетворился этим успехом и, анализируя механизм отношений, связанных с делимостью, ааложил основы теория решеточно упорядоченных групп в мемуаре (который не нашел отклика у современников и в течение 30 лет оставался забытым), ставшем, беа сомнения, одной пзпервых по времени работ по аксиоматической алгебре (ХХ1Ч); если не считать обозначений, то его работа уже очень близка к современному виду этой теории, наложенной вами в гл. Ч), З 1.
С середины ХЧП1 в. одной нз первоочередных задач было докааательство «основной теоремы алгебры» (см. Исторический очерк к гл. 1Ч и Ч). Мы не будем здесь напоминать о попытке Даламбера, которая привела к целой серии докааательств, пспольауюшкх исчисление бесконечно малых (см. Общ.
топал., Исторический очерк к гл. Ч111). Но в 1739 г. Эйлер подошел к этой проблеме совершенно по-иному (Чд): для любого многочлена 1 с действительными коэффициентами он пытается докааать существование разложения ( = Яэ иа два миогочлена (отличных от постовнной) с действительными коэффициентами, откуда он смог бы получить докааательство «основной теоремы» пндукцпей по степени многочлена 1. При этом даже достаточно, отмечает ои, остановиться на первом множителе нечетной степени, и поэтому вся трудность состоит в рассмотрении случая, когда многочлеи 1 имеет четную степень в. В этом случае Эйлер ограничивается нахождением множителей, каждый из которых имеет степень я/2, и указывает, что с помощью подходящего исключения неизвестные коэффициенты мвогочлеиов 1„1» можно рациональным обрааом вырааить как функции от корня некоторого уравнения с действительными коэффициентами, первый и последний член которого имеют зрети«ояоложзые »вази и которое имеет, следовательно, по крайней мере один действительный корень.
Однако доказательство Эйлера является лишь наброском, и многие существенные моменты обходятся в нем молчанием; лишь в 1772 г. Лагранжу удалось преодолеть трудности, воаникшие при атом в доказательстве (Ч1«(), и сделал он это чреавычайно длинным и кропотлнвым путем, виртуоано используя созданные им методы «теории Галуа» (см. Исторический очерк к гл. 1Ч н Ч). Тем не меяее Лагранж, подобно Эйлеру и его современникам, без всяких колебаний проводил формальные рассуждения в «поле корней» многочлеиа (то есть на его языке, он рассматривал «мнимые корни» этого многочлена).
Никакого обоснования подобных методов рассуждений математика времени Лагранжа еще не давала. Гаусс, с самого начала бывший решительным противником беаудержного формалнама ХЧ111 в„в своей диссертации со всей силой обрушился на эти вольности ((Ч!11), т. 111, стр. 3). Но Гаусс не был 8» 116 истОРичкскиИ ОчВРк к ГлАВАм ч1 и ч11 бы самим собой, если бы не почувствовал, что речь идет вдесь лишь о внешяе неполном изложении правильных в своей основе рассуждений. И мы видим, как несколько лет спустн ((Ч111), т.
111, стр. ЗЗ; см. также (Ч111 Ь!е)) Гаусс проводит более простой вариант доказательства Эйлера, намеченный еще в !759 г. Фон«вне (который, однако, не смог хорошо его провести), п выводит нз него новое доказательство «основной теоремы», в котором заботливо избегает какого бы то нн было использования «мнимых» корней: вместо этого он умело пользуется присоединением и специалнаацней переменных. По сутцеству, именно это доказательство Гаусса н дано нами в тексте (гл.
Ч1, 1 2, теорема 3), лишь с упрощениями благодаря использованию алгебраических расширений. Таким образом, роль топологии в доказательстве «основной теоремы» оказывается сведенной и единственной теореме, согласно которой мкогочлен с действительными коэффициентами не мо»кет изменить знак на щггервале, не обратнвпшсь в нуль (теорема Еольцано для многочлеиов), На атой теореме основываются таки<о все критерии отделения корней действительных многочлеиов (с действптельнымн коэффзцнентами), составляющие излюбленную тему алгебры Х1Х в.
*). В ходе этих исследований нельзя было не эаметнть, что существенную роль в этом играет не столько топология поля В, сколько его структура порядка ""); например, теорема Больцано для многочленов остаетсн верной для полн всех действительных алгебраических чисел. Это развитие идей нашло свое завершение в абстрактяой теория упорядоченных полей, созданной Э.
Арткном и О. Шрейером (ХХЧ); самым замечательным результатом этой теории является, без сомнения, открытие существования в поле отношения порядка, связанного с чисто алгебраическими свойствамн этого поля. Именно эта теория и изложена в 1 2 гл. Ч1. ») По вопросам, не ватронутым нами в этом очерке, отсылаем читателя, например, к книгам 1;А.
Я е г г е г, Сонг» й'А!ЗеЬге зпрег!еге, З«ей., раг!з (Оаигрйег-Ч!Пагв), !866, В. !.. ч а и й е г ЧЧ а е г й е и, Мойегне А!яеЬга, т. 1, (!ге бй.), Вег!!и (Ярг!плег), !930, стр. 223 — 235. *«) Тенденция придавать структуре порядка действительных чисел преобладающее аначение сказывается также в определении действительных чисел с помощью дедекиндовых «сеченнй», в основе которого лежит процесс, применимый ко всем упорядоченным множествам (см. Книга 1, гл, 111 н Книга 11, гл.
Ч1, 1 1, упражнение 30 и далее). БИБЛИОГРАФИЯ (1) (1 Ыв) (Н) (!! ь!.) (П1) (1Ч) (Ч) (ЧЦ (ЧП) (ЧРН) (ЧРН Ыв) Ецс)ЫМ Е!ешепса, 5 тт,, ей. 7. Ь. Н е ! Ь е г 8, Ьйрвае (ТепЬпег) Т, Ь. Н е а ! Ь, ТЬе !Ыгсееп ЬооЫв о1 Ецс!!й'в Е!ешепкв..., 3 тт, СагпЬгЫЯе, 1908. П!орьап!! А1ехапйлп! Орега Ашп!а ., 2 тт., ей. Р. Т а и п е г у, 1,!рв!ае (ТецЬпег), 1893 — 1895. Т.
Ь. Н е а ! Ь, В!орьапсив о! А!ехапйПа, 2с ей., СашЬгы8е, 1910. В. Н а ! ! а апй А. г(. Я ! п 8 Ь, Н!всосу о1 Н!пйц ша!ЬешаМсв, 2 тт., Ьаьоге (Мок!1а! Вапагя! Пав), 1935 — 1938. Я. Я ! е и ! п, Ьея опгтгея шакьешак!Яцек..., 4Й. А. О!гагй, Ьеуйе (Е!вот!ег), 1634, т. 1. Ь. Е ц !в г: а) 1пкгойцсс!о !п Апа!уяп 1пйпНогцш (Орега Ошп!а (Ц, т. 1Х, 29псЬ вЂ” Ье!рк!8 — ВегПп (О. УбввП ек В. О. ТецЬпег), 1945, стр.
384); Ь) ТЬвоНа шо!цв согрогиш зо1гйогцш веп г!8!ЙогцШ (Орега Огоп1а (2), т. 111, 20г!сЬ вЂ” Ье!рМЯ вЂ” ВегПп (О. Уйявй ес В. С. ТецЬпег), 1948, стр. 200, 201); с) ЧоПвсапй!Яе Ап1еНип8 кцг А18еЬга (Орега Ошп!а (1), т. 1, 1,е!рк!8 — ВегПп (ТецЬпег), 1911, стр. 422); й) ВесЬегсЬев вцг 1ев гас!пев !ша8!па!гея Йез ебцаМопв (Орега Ошша (1), т. Ч1, 1 е!рг!8 — Вегйп (ТецЬпег), 1921, стр. 78).
!.-Ь. Ь а 8 г а п 8 е, !Ептгев, Рапв (бац!Ыег-Ч!Пагв), 1867 — !892: а) Яо1ц!1опв Йе й!тетя ргоЫешез йе Са1сц1 (п!е8та!, к. 1, стр. 520; Ь) ВесЬегсьея вцг!ея е9цаМопв зссц1а!гез йц шоцтешепк йев пгецйя, т. Ч1, стр. 655 — 666; с) ВесьегсЬев й'аг!тыве!!ице, т. 111, стр.
695— 795; Й) Яцг 1а (огше йез гас!пев !ша8!па!гев Йев Йцца!!опв, т. 111, стр. 479; е) ЫоцгеПе во(ц!!оп йи ргоЫеше Йе го!аМоп й'цп согрз 6ие!соп9це пц! п'ея! ап!ше раг аисцпе (оксе ассйегакпсе, т, 111, стр. 579 †!6. Р. Я. Ь а р 1 а с е: а) Мешо!ге вцг 1ея во1цМопв рагМси1!егвв йея ег(цас!опв Й11(егеп!!еПея е! впг !ез !п48аПКев вйсц!а!гез йез р(апе!ез (!Ецтгев, т. Ч1И, Райв (Сац!Ыег-Ч!Пагя), стр.
325 — 366); Ь) Ме- тео!ге вцг 1ев !пе8аПсев яесц!а!гев йев р1апе!ев ек йев ва1еП1!ев ((Ецт- гея, т. Х1, РаНя (Саи!Ыег-Ч!Пася), 1895, стр. 49 — 92). С. Р. О а и в в, гЧегхе, т. 1 (Со!с!п8еп, 1870), т. 11 (!ЬМ., 1876) ет т. П1 (1Ь!й., 1876). Рйе т!ег Оаивя'всЬеп Веъе!зе Рйг й!е Еег!е8ип8 Яапкег а18вЬга!всьег уцпсМопеп 1п гееПе Раскогеп егв!еп ойег акте!пш Огайев (Овккеа!й'з К!азв!пег, п' 14, Ьв!рк!8 (ТецЬпег), !904). И8 (1Х) (Х) (Х1) (ХП) (ХШ) (Х1Ч) (ХЧ) (ХЧ1) (ХЧП) (ХЧШ) (Х1Х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
