Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Допуская вольность речи, коммутант (соответственно бикоммутант) подкольца Ам в Й называют коммутантом (соответственно бикоммутантом) модуля М. Коммутант модуля М совпадает с кольцом Хл (М) эндоморфизмов этого модуля. Опгкдклкннв 5. Пусть М вЂ” левый модуль над кольцом А, Контр модулем модуля М называется левый модуль над комму тантом Жл (М), абелева группа которого есть М, и для любых х Е М и с Е Х'л (М) с.х = с (х).
Пусть А — кольцо. Левам (соответственно правым) умножением на алемент х Е А называется зндоморфизм Х,„(соответственно В„) абелевой группы кольца А, определяемый равенством Ь„(у) = ху (соответственно В„(у) = ух). Напомним (гл. 11, з 1, и' 1, пример 1), что так определяется на А структура левого А-модуля А, и структура правого А-модуля Ав, модуль Ав можно также рассматривать как левый модуль над кольцом А', противоположным кольцу А; множество А, наделенное атой структурой левого Аг-модуля, обозначается А„.
Пгедложкник 4. Пусть А — кольцо, Коммутант модуля А, (соответственно А„) совпадаегп с кольцом прав х (соответственно левых) умножений кольца А. В самом деле, если с~Ха(А,) и у~А, то с(у) =с(у 1) = = ус (1) = В,а>(у), так что с есть правое умножение на с (1); обратно, для любого х ~ А правое умножение В„, очевидно, принадлежит Жл (А,). Аналогично проверяется, что Хлг (А„) является кольцом левых умножений кольца А. Слкдствик.
Кольцо гомотетий модуля А, (соответственно А,) совпадает с его бикоммутантом. Заметим, что отображение х — ~- Ь„(соответственно х -э- В„) представляет собой игоморФигм кольца А на кольцо его левых ПОлупгостыв модули и кОльцА гл, чьн,гт умножений (соответственно кольца Ао на кольцо правых умножений кольца А); зто следует из того, что равенство Е = 0 (соответственно В„= 0) влечет Е„(1) = — х = 0 (соответственно В„(1)= = х =-0).
3. Прямые мнооюитпе и и бииоммтзттьаннзьь Пгвдложвнив 5. Пусть М вЂ” А-модуль,  — его бикоммутант, Х вЂ” прямое слагаемое в М. а) Подмодуль Ль устойчив относительно В. б) ((ьлл любого Ь Е В сУжение Ьк зндомоРфизма Ь на Х содеР- жится в бикоммутанте А-модуля Ль. в) Если Л" — прямой множитель в М, то всякое А-линейное отображение подмодуля Ль в Л1' также и В-линейно. Пусть р — проектирование модуля М на Л1. Ксли Ь ~ В, то 6 перестановочен с р, и следовательно, 6 (Ль) = 6 (р (М)) = = р (6 (М)) ~ р (М) = Л', откуда следует утверждение а).
Пусть ' — Л-линейное отображение модуля Ль в ьт', тогда с о рг Е ЖА (М), так что, по определению В, композиция с о р является В-линейным отображением модуля М в себя; отсюда следует утверждение в). В частности, при Л1=--Л1' всякий эндоморфизм А-модуля Ль является также зндоморфизмом В-модуля Л1, откуда следует, что сужения на Л' элементов кольца В принадле1кат бикоммутанту А-модуля Л'. Отображение 6 — ~ Ьп, определенное в предложении 5, является гомоморфизмом кольца В в бикоммутант модуля Ж и называется каноническим. Этот гомоморфизм, вообще говоря, не будет ни инъективным, ни сюръектнвным (предложенне 4). Лвммл $.
Пусть Л1 и Р— А-модули, М вЂ” их произведение,  — бикоммутант модуля М. Предположим, что модуль Р является суммой подмодулей, изоморфных фактормодулям модуля Ль. Тогда канонический гомоморфизм кольца В в бикоммутант модуля Л1 (если Л' отождествлен с некоторым подмодулем в М) иньективен. Если, кроме того, бикоммутант модуля У совпадает с кольцом Лк гомотетий модуля Л', то В совпадает с кольцом Ам гомотетий модуля М. В самом деле, пусть 6 ~ В и Ьк = О. Обозначим через Е ядро зндоморфизма 6.
Тогда Л1 с:. Е и, по предположению, контр- коммутиговяние модуль модуля М порождается модулем Л; так как В является кольцом эндоморфизмов этого контрмодуля, то Ь = О, что доказывает первое утверигдение. Если теперь Ь вЂ” произвольный элемент кольца В, и бикоммутант модуля Л равен А н, то существует элемент сс ~ А такой, что Ьк — - — ан; это равенство можно переписать в виде (Ь вЂ” ам)к —.= О, откуда по предыдущему Ь = им, Пгедложение 6. Пусть М вЂ” свободный А-модуль.
Бикоммутант В модуля М совпадает с кольцом Ам гомотетий модуля М. Если М =- (0), то предложение тривиально. В противном случае модуль М изоморфен некоторому модулю вида А, х Р, где Р— сумма модулей, изоморфных А,. Тогда предложение следует из леммы 1 и следствия предложения 4. Заметим, что мы вазово залучаем теорему о строении центра кольца зидомсрфигмов свободного модуля (гл. И, 1 2, и' б, следствие 1 предложения б). Пгедложенне 7. Пусть М вЂ” модуль конечного типа над кольцом главных идеалов А, Бикоммутант модуля М совпадает с кольцом Ам гомотетий модуля М. В самом деле, модуль М изоморфен конечной прямой сумме ~~~ ~А,/аю гДе аь — иДеалы кольЦа А и а! э аг э...:э а„ е=! (гл.
Ч11, $4, и' 3, теорема 2). При гс<т — 1 модули А,/ад изомоРфны фактоРмодУлам модУлЯ А,~авб с дРУгой стоРоны, модуль А,!а имеет то же самое кольцо гомотетий, что и (А !а ),. Тогда предложение следует из леммы 1 и следствия предложения 4. Следствие. Пусть Š— конечномерное векторное пространство над полем К, и — эндоморЯизм пространства Е. Эндоморубизм э пространства Е имеет вид р (и), где р — многочлен из кольца К [Х), тогда и только тогда, когда он перестановочен со всеми эндоморфизмами пространства Е, перестановочными с и, В самом деле, положив р х = — р (и) х для любых р ~ К [Х] и х ~ Е, на пространстве Е можно определить структуру модуля конечного типа над кольцом главных идеалов К [Х) (гл. ЧП, з 5, и' 1).
Коммутантом этого модуля будет кольцо эндоморфиз- 126 полупгостык мОдули и кольцА гл. УМ1, $ $ мов пространства Е, перестановочных с и. Поэтому достаточно при- менить предложение 7. Опгвдклкник 6. Пусть Р— модуль над кольцом А. А-модуль М называется изотипным типа Г, если М есть прямая сумма семейства подмодулей, изоморфных Г. Пгкдложкник 8. Пусть А-модуль М является прямой суммой семейства (Г,)мт попарно изоморфных подмодулей, и à — один из этих подмодулей (отсюда следует, что модуль иаотипный типа Р).
Пусть  — бикоммутант модуля М. Канонический гомоморфизм кольца В в бикоммутант модуля Г биективен. Если рассматривать М и Р как В-модули, то модуль М также будет изотипным типа Р. Модули Г, являются В-подмодулями модуля М (предложение 5а)) и попарно изоморфны (предложение 5в)); поэтому, если рассматривать М и Г как В-модулк, то М будет изотипным типа Г. По лемме 1 канонический гомоморфизм Ь -ь Ье инъективен. Покажем, что он сюръективен.
Пусть 7„ г Е 1, — изоморфнзм модуля Р на Г„(тождественный для Г, = Р), Ь' — элемент бикоммутанта А-модуля Г; очевидно, элемент Ь, = у, о 6' принадлежит бикоммутанту модуля Г,. Существует единственный андоморфиам Ь абелевой группы М, сужение которого на капгдый модуль Г, равно Ь„для завержения доказательства покажем, что Ь Е В. Пусть с — элемент коммутанта модуля М, х ~ Р„и (р„) — семейство проектирований, ассоциированное с разложением М = ~ Г,. Существует элемент у ~ Г такой, что х = ~„(у). Тогда сЬ (х) = сЬ/„(у) = сЬ„~„(у) = с~„Ь' (у) Ьс (х) =- Ьс1„(у) = ~~~~ Ь„р,с1„(у) = ~~ ~Яэ'1, ьр„с3„) (у).
Однако 7,'р„су"„является зндоморфизмом А-модуля Г и, следовательно, перестановочен с 6'. Поэтому 6с (х) = Х Р1сучЬ (у) = = с7„6' (у) = с6 (х). Отсюда по линейности следует равенство 6с = сЬ. Запетки, что предложение 6 является частным случаем предложеяпя 8, соответствующим г" = Аю коммутиРОВАнив 127 4. Предвегритггелътвъее зсгмечатеггя о иомгяутпировантлм в мяоизгетгтвъех модулях В этом и следующих пунктах рассматриваются фиксированный А-модуль Р и его коммутант С. Мы определим два преобразования, одно из которых переводит правый С-модуль в левый А-модуль, а другой — левый А-модуль в правый С-модуль. 1) Операция Я (У). Пусть У вЂ” правый С-модуль; допуская вольность в обозначениях, через У ®сР обозначим тензорное произведение (относвтельно С) модуля У и контрмодуля модуля г' (являющегося левым модулем над С), Напомним (гл.
111, приложение 11, и' 3), что произведение У босс' канонически наделяется структурой левого А-ггсдуля, для которой а. (и Я х) .= о Я (ая) (2) при любых а Е А, в Е )г, х ~ г". Множество )г ®ср, наделенное указанной структурой, обозначается Я (Р). Пусть 1 — С-гомоморфизм модуля У в правый С-модуль У'; легко проверить, что отображение 7 ® 1 произведения У ®сг в Р" ®сР является А-гомоморфизмом модуля Ю (Р) в Я ()г'). Это отображение обозначается через Я (7). Отображение ~ -~- Я Щ множества Хс (К, У') вХл (Я (1'), Я (К')) называется каноническим. Справедливы следующие формулы: Ю(1+~')=Ю(~)+Ю(~), Ю(~'.Л=Ю(~')~Ю(~), Л(1)=1 (З) (где в первой формуле 7" Е Хс (1г, У'), во второй /'6 Хс (т", Р'"), )г" — правый С-модуль, и в третьей первая 1 есть единичный элемент в Хс (У), вторая — единичный элемент з Жл (Я (У))). 2) Операция Т (М).
Пусть М вЂ” левый А-модуль. Напомним (гл. 111, приложение 11, и' 7), что множество Хл (г", М)-гомоморфизмов модуля Р в М канонически наделяется структурой правого С-модуля, для которой и с=иос, (4) где и ~ Хл (г", М), с Е С. Множество Жл (г", М), наделенное этой структурой, обозначается Т (М). Пусть я — А-гомоморфизм модуля М в левый А-модуль М', легко проверить, что отображение и-~ я имножества Жл (г", М) в Ьл (г", М') является С-гомоморфизмом модуля Т (М) в Т (М').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
