Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть (Р„) — убыва»ощая (соответственно возрастающая) последовательность подмодулей модуля М и (Р„') — канонический образ подмодуля Р„ в М/Л>. Последовательности (Р„() Л') и (Р„') — убыванлцие (соответственно возрастающие) и, следовательно, стационарные; поэтому существует целое число» такое, что при п(1 выполняются равенства Р„П Л'= Р; П Л' и Р„'= Р;. Достаточно теперь доказать следующее утверн»дение: если подмодули Р н 6 модуля М имеют одинаковые канонические образы в М/Л>, Р с: 6 и Р П Л> = = 6 () Л>, то Р = 6. В самом деле, для всякого х Е 6 существует у Е Р такой, что х — у г Л'; отсюда х — у Е 6 () Л» = Р () Л> с: Г, то есть х б Р. Слвдствив.
Пусть модуль М есть прямая сумма конечного семейства подмодулей (М»),<»<„и все М» артиновы (соответственно нетеровы). Тогда модуль М артинов (соответственно нетеров). 138 полупэостыв модули и кОльцА гл. угп, г 2 Достаточно рассмотреть случай и = 2 и применить индукцию по и. В этом случае модуль М/ЛХ, изоморфен Мгl(М, П Мг) (гл. 1, 2 6, и' 13, теорема 6). Пользуясь предложением 2, можно последовательно убедиться, что модули Мг/(Мг () Мг) и М артиновы (соответственно нетеровы).
Модуль называется модулем конечной длины, если он обладает рядом Жордана — Гельдера (гл. 1, т б,п' 14). Пэвдложкнив 3. Для того чтобы модуль М был конечной длины, необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно и артиновым, и петеров м. Если модуль М имеет конечную длину 1, то всякая строго возрастающая (или строго убывающая) последовательность его подмодулей содержит не более 1+ 1 членов (гл.
1, $6, и' 14, следствие теоремы 8); следовательно, модуль М артинов и петеров. Обратно, предположим, что модуль ЛХ петеров, и пусть Л' — его подмодуль, отличный от (О). Рассмотрим подмодуль Р, максимальный среди подмодулей, содержащихся в Л и отличных от Л; модуль )у(Р, очевидно, прост (как группа с операторами) (гл. 1, $ 6, п' 13, теорема 6), Применяя последовательно этот результат, построим строго убывающую (конечную или бесконечную) последовательность (М„) подмодулей модуля ЛХ, в которой Мв = М и все факторы М;/Мы, просты. Если теперь модуль ЛХ артинов, то эта последовательность конечна и является, следовательно, рядом Жордана — Гельдера.
й. Разложение модуля нонеиной длины на нераз.гожимые модули Лвммв 2. Пусть и — зндоморфизм модуля М, Х „— образ эндоморфизма иэ, Хр — ядро и" (р — целое ) 0). а) Если Ег = Хи то Л', + Х, = М. Если Л'г = Фг тв П Хг = (О) б) Если модуль М артинов (соответственно нетеров), то для достаточно больигогз г вынелняетея равенство )У„+ Ь„= М (соответственно Л'„ Д Ь„ = (0)). Пусть Ь, = Хг; для любого элемента х ~ М существует у ~ М такой, что и (х) = и' (у); тогда х — и (у) Е Л', н х = (х — и (у)) + + и (у) ~ Ф, + Х,. 139 Агтиновы 11 нвтвРОВы мОдули 11усть Л, = Л'; для всякого х Е Ф1 () Ьь имеем равенство и (х) = О, и существует у Е М такой, что х = и (у); тогда у с Л'г = Льь, откуда х = и (у) = О.
Если модуль М артинов (соответственно петеров), то при г достаточно большом Е„= Ьг„' (соответственно Л"„= Л'г„), откуда, по предыдущему, Л'„+ Ь„= М (соответственно )ч", () Х,, = (0)). Лвммг 3. Пусть М вЂ” артинов (соответственно петеров) .нодуль, и — его эндоморфизм. Для того чтобы и был биективен, необходимо и достаточно, чтобы он был инъекьпивен (соответственно сюрьектиген).
Если модуль М артинов (соответственно петеров) и эндоморфизм и инъективен (соответственно сюръективен), то, в обозначениях леммы 2, Ь, = М (соответственно Л', = (0)) при г достаточно большом. Следовательно, Ьь = М (соответственно Л, = (О)). Нгвдложкнив 4. Пусть М вЂ” неразложимый А-модуль конечной длины, не сводящийся к 0 (гл.
ьь11, т 4, и' 7, определение 3). Необратимые гндоморуьизмы модуля М нильпотептньг и образуют двусторонний идеал в кольь(е л л (М). Если эндоморфизм и б Хл (М) не имеет обратного, то по лемме 3 он не инъективен и не сюръективен; так как модуль М неразложим, то ввиду леммы 2 отсюда следует, что М совпадает с ядром некоторой степени и", другими словами, эндоморфизм и нильпотентен. С другой стороны, эндоморфизмы ио и ои необратимы при любом о б л,л (М). Наконец, если эндоморфизмы и и ю необратимы, то и = о+ьо необратим; в самом деле, в противоположном случае мы бы имели равенство 1= о' + ьо', где з' = и ьо, ю' = и 'ю — необратимые и, следовательно, нильпотентные зндоморфизмы; однако и' и ю' =1 — о' перестановочны, так что соотношения о'" =0 и ю'" = О, справедливые для достаточно большого и, по формуле бинома влекут равенство 1 = (Р' + ю')г"-1 = О, что явно неверно.
Твогвмя 1. Пуапь М вЂ” модуль конечной длины. а) Модуль М разлагается в прямую сумму конечного семейства (М;)ьмь< неразложимых подмодулей, не сводящихся к О. 140 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. УП1, $ 3 б) Если модуль М является прямой суммой другого семейства (М;)снуя„неразложимых подмодулей, не сводящихся к О, то т = и, и существуют перестановка л интервала )1, и) и авспоморууизм а модуля М такие, что а (М;.) = М„су>, 1 -..
у < п. Утверждение а) доказывается индукцией по длине модуля М: всякий модуль длины 1 неразложим, а если модуль М разложим, то он является прямой суммой двух подмодулей, длины которых строго меньше, чем длина модуля М. Докажем утверждение б). Пусть (рс)1<1-= (р1)1<у<о два семейства проектирований, ассоциированных с разложениями т и М = ~ Мс и М = ~ М;..
Индукцией по г для лсобого г Е )О, п) 1 1 1=1 докажем следующее утверждение: (А„) при 1 <у.<г существуют такая инъекция яг интервала )1, г) в )1, т) и такой автоморфиам а, модуля М, что сс„(М;) = М„О). При г = 0 за автоморфнзм ае можно принять тождественный автоморфизм модуля М. Предположим, что уже получены инъекпия и, 1 и автоморфизм а„„удовлетворяющие условию (А,,).
Очевидно, что, заменяя каждый подмодуль ЛХ; на а,, (М;) и меняя при необходимости нумерацию подмодулей М;, можно считать теперь, что М; =- Му, 1<у <г — 1. т Сужение на подмодуль ЛХ„' отображения р,' = ~ р„'р; является тоясдественным автоморфизмом М). Следовательно (предложение 4), сужения на ЛХ„' зндоморфизмов р,'р; не могут все содерясаться в идеале необратимых зндоморфнзмов модуля М;; иными словами, существует число й ~ [1, т), для которого сужение на М„' отображения р„'рь является автоморфиамоммодуляМ;,. Прв 1~<у~<г — 1 имеем ру = р;'рл откуда р„'ру = (р,'.р;') ру =- 0; следовательно, ус) г.
Полоясив л„(у) = у для 1<у'<г — 1 и п„(г) = ус, определим инъекцию к„. Положим еще а, =- 1 — р„' + рьр,'.. Отображение а„инъективно: если а„(х) =- О, то 0 = р,'а,. (х) =:= = (р„ре) (р„(х)), так что р,' (х) =- О, и следовательно, х = а„(х) + + р, (х) — рьр„(х) = О. По лемме 3 а„— автоморфизм модуля М. Ясно, что а иядуцирует на М;, у ~ г, тогндественное отобраясение и а, (М„) с:. Мю Отсюда следует, что модуль ЛХь разлагается 141 вагиновы и нкткговы модгли в прямую сумму сг„(М„') и Мь () (~з а, (М,')). Но Мь керазложнм, явь так что а„(М„') = Мю что доказывает (А„) и заканчивает, следовательно, доказательство теоремы 1.
3. Аригглнооы гг вгепгеровы кольца Опгкдклкник 2. Кольцо А называется артинввым слева (соответственно справа), если модуль А, (соответственно А„) артинов. Кольцо А называется нетеровым слева (соответственно справа), если модуль А, (соответственно А„) петеров.
Таким образом, кольцо А артиново (соответственно нетерово) слева, если всякая убывающая (соответственно возрастающая) последовательность его левых идеалов обрывается. Кольцо нетерово слева, если всякий его левый идеал имеет конечную систему образующих (предложение 1). В случаях, когда будет идти речь об артиновом (соответственно нетеровом) кольце без уточнения, будет подразумеваться, что оио артивово (соответственно нетерово) слева. П ример ы. 1) Пусть А — кольцо и гг — подтело в А, содержащее его единицу. Если кольцо А конечномерно как векторное пространство над .О, то А артиново и нетерово.
В частности, всякая алгебра конечной размерности над некоторым полом является артиновым и нетеровым кольцом слева и справа. 2) Кольцо главных идеалов (гл, Ч11, з 1, и' 1) нетерово, так как всякий его идеал порождается одним элементом. Например, кольцо 2 нетерово. Однако кольцо У не артиново, так как прн а ~ 1 последовательность идеалов (а") возрастает и не стационарна.
3) Если модуль А, (соответственно А,.) коночной длины, то кольцо А артиново слева (соответственно справа); длина модуля А, (соответственно А„) называется левой длиной (соответственно правой длиной) кольца А (если А коммутативно, то просто дльльой А). Мы увидим (з 6, и' 5, следствие 3 предложения 12), что всякое артинозо кольцо является нетеровым и, следовательно, имеет конечную длину (и' 1, предложение 3) (см.
в упражнении 1б) пример артинова, но не нетерова модуля). 4) Пусть (М„)мт — бесконечное семейство модулей, не сводящихся к О, М вЂ” их прямая сумма. Кольцо Ь эндоморфизмов 142 полупростые мОдули и кОльцА гл. Упг, 5 Е модуля М не является ни артиновым, вн нетеровым. В самом деле, пусть 1„1 Е 1,— левый идеал кольца Х, состоящий нз элементов с Е Т, таких, что с (М„) Ф (О) при к ~ 1. Идеалы (, образуют бесконечное семейство подмодулей модуля В„н сумма их прямая, откуда и следует наше утверждение (см.
и' 1, пример 2). Ив предложения 2 немедленно получаются следующие результаты. Пгедложение 5. Произведение конечного числа артиновых (соответственно нетеровых) колец — артиново (соответственно нетерово) кольцо. ПРедложение 6. Факторкольцо артинова (соответственно нетерова) кольца по двустороннему идеалу — артиново (соответственно нетерово) кольцо. Нааротвв, подкольцо артвноза (соответственно нетерава) кольца ве обязано быть артввовым (соответстзеяао ветеровым) кольцом. Пусть, например, К вЂ” поле. Кольцо К (Хз)„н многочаеяав от бесконечного множества переменных с козффнцкеатамв из поля К является кольцом целостности (гл. ПГ, $1, а' 4, теорема 1) и содержится, следовательно, в своем поле дробей.
Но зто кольцо ае является вя артвневыы, так как последовательность идеалов (Хж) ~ строго убывает, ая ветерозым, так как последовзтельвость идеалов а„= == (Хз) + (Хй+... + (Х„) строга возрастает. Пгедложение 7, Всякий левый модуль конечного типа над кольцом, артиновым (соответственно нетеровым) слева, артинов (соответственно петеров). В самом деле, если А-модуль М имеет систему из и образующих, то он нзоморфен фактормодулю произведения А," (гл. 11, з 1, и' 8, предложение 10). Мы увидим (1 6, в' б, следствие 1 предложения 12), что факткческа всякий модуль конечного типа вад артнаовыы кольцом имеет конечную длинУ Леммл 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
