Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пведложение 8. Пусть модуль М вЂ” сумма некоторого семей- стива (Х,)мт простых подмодулей. Для всякого его подмодуля Х (соответственно для всякого его фактормодуля Л') суи(ествует подмножество Х ~ Х такое, что сумма ~ Л ~ прямая и изоморфна )У. пз 'Гак как в модуле ЛХ каягдый подмодуль обладает дополнением (предложение 7), то всякий подмодуль нзоморфен некоторому фактормодулю модуля М.
Поэтому достаточно доказать предложение в случае, когда Л' есть фактормодуль модуля М по некоторому подмодулю Р. Ввиду теоремы 1 в этом случае существует такое подмнонзество У ~ Х, что сумма )У' = ~ Ф, — прямая чз и является дополнением подмодуля Р в М; тогда модуль )У = М(Р изоморфен Л". Следствие 1. Всякий подмодуль и всякий фактормодуль полу- простого модуля полупросты. Следствии 2. Пусть модуль М вЂ” прямая сумма семейства (Х,)мт простых подмодулей.
Всякий простой подмодуль модуля М изоморфен одному из )У,. А Изотыпные момпогзенпхы помуптзостгзьсгс ззодулей Пусть М вЂ” А-модуль, Я вЂ” простой А-модуль. Сумма )У подмодулей модуля ЛХ, нзоморфных Я, является полупростым подмодулем в М н прямой суммой некоторых подмодулей, иаоморфных Я (теорема 1); следовательно, модуль Л~ — изотипный типа Я.
Модуль Л' называется изотипной компонентой модуля ЛХ типа Ю. Пведложевнз 9. Пусть ЛХ вЂ” полупростой А-модуль, Я вЂ” множестпво классов простых А-модулей и М», Х ~ Я, — изотипная компонента модуля М типа Х. а) Модуль М вЂ” прямая сумма компонент М». б) Всякий подмодуль Р модуля М является прямой суммой пересечений Ж П М», 152 полупгостык модули и кОльцА Гл, чпх е 3 В самом деле, пусть Л 8 Я, Я' = б — (Л) и Мь = ~ М„. Всянеб' кий простой подмодуль модуля Мь () Мь' должен быть одновременно класса Л и класса ч"- Л (следствие 2 предложения 8); поэтому Мь П Мь = (О), откуда следует, что сумма ~ Мь — прямая. Так ьеб как модуль М полупрост, то, очевидно, М = ч~~ Мь, отсюда слет зб дует а).
Так как модуль Л полупрост (следствие 1 предложения 8), то он является суммой своих изотипных компонент Рь,. но, по определению, гЧЬ с: Л' П Мю а с другой стороны, ввиду предложения 8, Л' П Мьс: Л'ю что и докавывает 6). Замечение. Сумма Хм ьеб будет прямой без всяких предположений об А-модуле гг. Пгидложкник 10. Пусть М, Р— А-модули, т — гомоморфизм модуля М в Л', Л вЂ” класс простых А-модулей, Л'ь и Л'ь — изотипные компоненты типа Л модулей М и Л(. Тогда г (Мь) с: )ч'ь. В самом деле, образ 1 (Мь) изоморфен фактормодулю компоненты Мь и, следовательно, изотипен типа Л (предло- ' жение 8).
Пувдложзпик 11, Пусть М вЂ” полупростой А-модуль, Л— его подмодуль. Для того чтобы подмодуль Ю был устойчив относительно всех гндоморфизмов модуля М, необходимо и достаточно, чтобы Л' был прямой суммой некоторого семейства изотипных компонент модуля М, Вследствие предложения 10 зто условие достаточно. Обратно, предположим, что подмодуль Л' устойчив относительно всех эндоморфизмов модуля М. Пусть 8 — простой подмодуль в )ч' класса Л. Для любого простого подмодуля Я' модуля М класса Л существует эндоморфизм с модуля М такой, что с (Я) = Ю': достаточно взять композицию изоморфизма модуля Я на 8' и проектирования модуля М на Я (предложение 7).
Таким образом, по предполонеепию, О' с: Л'; следовательно, изотипная компонента типа Л модуля М содержится в Х, что и заканчивает доказательство. 163 пвостыв и полкпвсстыв модули б. Яяитга полтгиноостпьгге модулей Тиогема 2, Пусть М вЂ” полупростой А-модуль, (Л' )„ег и (Л(В)ВЕз — два семейства проегпых подмодулей модуля М и М являетея одновременно прямой суммой подмсдулей Лг и подмодулей Лгс. Тогда множеегява 1 и У равнсмон(ны. Если 1 илн У конечно, то они равномощны по теореме 8 н следствию теоремы 8 гл. 1, 2 6, и' 14.
Предположим теперь, что множества 1 и У бесконечны. Пусть х — элемент Лг„такой, что Лг„= Ах„, и С (и) — конечное множество индексов р Е У, для которых компонента х в Лгс (относительно разложения М = ~~~~~ Лгс) Вез отлична от нуля; положим С = () С (сс). Имеем Сагб (С) <Сагб (1) аЕ1 (Теор. мн., гл. 111, 5 6, и' 3, следствие 3 теоремы 2). Однако при всяком а ~1 х б ~ Лгс, то есть Л'„~ ~ Лгс, следовательно, ВЕС ВЕС М = ~ Л'В, откуда С = У. Значит, Сагб (У) <Сагб (1), и точно ВЕС так же доказывается, что Сагг) (1) <Сагб (У), то есть Сагб (1) = = Сага (У).
Опгидвлкник 4. Пусть М вЂ” полупроетой А-модуль. Длиной модуля М называетея кардинальное число любого множества его яростных подмодулей, прямая сумма которых равна М; длина модуля М обозначаетея через 1л (М). Через [М: 7), где Р— простой А-модуль, обозначается длина изстипной компонента модуля М типа Р. Длина модуля М равна 1л (М) = ~ (М: Х), где (й — множеаеб ство классов простых А-модулей. 3 а и е ч а н и я. 1) Пусть М вЂ” 'полупростой А-модуль. Утверждение, что длина )л (М) конечна, равносильно утверждению, что модуль М имеет конечную длину в смысле 1 2, п' 1, и в атом случае его длина 1л (М) совпадает с длиной в смысле гл, 1, 1 6, и' 14. 2) Пусть М вЂ” векторное пространство над телом Ю. Утверждение, что длина )о (М) конечна, равносильно утверждению, что пространство М конечномерно, н в етом случае )п (М) =- 6)шс (М).
Для любого векторного пространства М над телом В определим рав- 154 полупгостые модули и кольца гл. чттт, 1 3 мерность /Пшо (М), положив о(шо (М) = /о(М). Таким образом, зта размерность является кардинальным числом любого базиса пространства М. Пгедложуние 12. Пусть М и Л' — полупростые А-модули. Для того чтобы модули М и Лг были игоморфны, необходимо и достаточно, чтобы длл любого класса Х простых А-модулей иготипные компоненты типа Х модулей М и Л" имели одинаковую длину. Предложение очевидно. Предложение 13. длл того чтобы полупростой модуль имел конечную длину, необходимо и даст точно, чтобы он был конечного типа. Пусть М = ~ М, — разложение модуля М в прямую сумму гзг простых подмодулей.
Все модули М, моногенны; поэтому, если множество 1 конечно, то модуль М конечного типа. Обратно, пусть (х,)гы/«„— конечнан система образующих модуля м; каждый элемент х/ содержится в сумме некоторого конечного числа модулей М„следовательно, множество 1 конечно. У п р а ж н е н н я. 1) Пусть У вЂ” векторное пространство над телом В, Уа — сопряженное пространство, А = Хо (У) — кольцо эндоморфизмов пространства У. Закон композиции (а, х') — 'и (х') (и Р А, х' б Уе) определяет на Ра структуру правого А-модуля; пусть  — подкольцо, порожденное в А единичным влементом и андоморфнзмамн конечного ранга; показать, что модуль рь прост как А-модуль и как В-модуль. 2) Пусть А — кольцо.
а) Пусть М„Мэ — моногенные А-модули. Показать, что следующие условия эквивалентны: а) М, и Мз изоморфны; ()) для любого образующего х~ модуля М, существует образующий хз модуля Мз, имеющий тот же аннулятор, что и хб у) существуют образующий х, модули М, и образующий хт модуля Мз, имеющие одинаковый аннулятор.
б) Пусть 1„!г — левые идеалы кольца А. Для того чтобы А-модулн А/1, и А/1з были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы в А существовал элемент а со следующими свойствами: 1' Аа+1э — — А; 2' условия С б 1, и Е а б 1з эквивалентны (испольэоэать а)). в) Пусть ш„шз — максимальные левые идеалы кольца А. Для того чтобы простые А-модуля А,/м~ и А,/шз былл нзоморфны, необходимо и достаточно, чтобы в кольце А существовал алемент а, не принадлежащий жз и такой, что жвх с: жз. 155 пРОстые и полупРООТые модули г) Вывести из б), что кардикалькое число множества фактор- модулей модуля А„изоморфиых данному фактормодулю Л,/1, ие превосходят Сагб (Л). 3) Пусть М вЂ” Л-модуль такой, что для любого элемента х б М, отличного от О, Л-модуль Ах прост. Показать, что либо модуль М прост, либо кольцо гомотетий Лы — тело (если М ке прост, рассмотреть яекулевые элементы л, Р бМ такие, что у 6 Аз и аявулятор их суммы х+ у).
4) Для того чтобы модуль М был полупростым, веобходимо и достаточко, чтобы для любого его подмодуля Л', отлячкого от М, в М существовал подмодуль Р Ф (О) такой, что /У () Р = (0). 5) а) Пусть М вЂ” А-модуль и аинулятор элемента з б М является пересечением конечного семейства (ж;)г~г-е максимальных левых идеалов. Показать, что подмодуль А" полупрост (погрузить А" в произведение модулей А,/вй). б) Вывести иэ а), что А-модуль М полупрост тогда я только тогда, когда аниулятор всякого кеяулевого элемеята з б М является пересечевием ковечиого семейства максимальиых левых идеалов кольца А. 6) Пусть М вЂ” модуль.
Показать, что следующие три условня эквивалентны; гс) М вЂ” полупростой модуль конечной длины; р) М вЂ” петеров модуль, я всякий его максимальный подмодуль обладает дополнением; у) М вЂ” артпвов модуль, и всякий его простой подмодуль обладает дополяевием. 7) Пусть К вЂ” тело, 1 — бесконечное множество, А — произведение К~, показать, что в А-модуле А всякий мояогзязма подмодуль обладает дополнением, однако модуль А, не полупрост (описать простые подмодули в А,) (см.
$6, упражвение 15). 8) Показать, что Я-модуль 9 ие имеет яи простых подмодулей, ии простых фактормодулей. О) Пусть М вЂ” модуль. а) Пусть и — вяльпотентиый зндоыорфкзи людуля; показать, что (-)- и — автоморфизм модуля М. б) Пусть М = ~~~~ М, — разложение модуля М в прямую сумму подмодулев. Показать, что существуют видел~орфизм и модуля М и разлячвыс индексы а и )) такие, что и (М„) ~ МЗ в и (М ) чь (0), и существует автоморфизм и модуля М такой, что з (М„)6:М„и з (Мь) = Мь для всех Х чь а (использовать а)). Доказать обратяое утверждение. 10) Пусть М вЂ” модуль конечной длины, и М = ~ 61~ — его а= — 1 разложеяие в прявгую сулему веразлозсямых полмодулей (З 2, польпгоотын модули и иольия гл. уш,1З георема 1); пусть (Хь) — раэбиение отрезка [1, п1па классы эквивалентности чисел 1 и / по отношению «/г/ и /У/ иэоморфныэ, и Рь — ивотипный модуль, являющийся прямой суммой подмодулей Ео 1 б ХЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
