Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1, $ 8, и' 9, теорема 5). Пгкдложвнив 3. Пусть М вЂ” простой А-модуль. Для любого элемента х чь О модуля М аннулятор т этого элемента является максимальным левым идеалом кольца А. Отображение а -~ ах кольца А на М определяет путем Факторизации А-изоморфизм модуля А,/т на М. Элемент х является образующим модуля М (предложение 1), и поэтому второе утверждение справедливо. Первое утверждение следует из второго и предложения 2. Примеры простых модулей. 1) Пусть А— кольцо. Простые подмодули модуля А, являются минимальными элементами упорядоченного по включению множества левых пгостын и полупгостыв модули 147 идеалов ~ (О) кольца А; они называются минимальными левыми идеалами кольца А .
Аналогично определяются минимальные правые идеалы и минимальные двусторонние идеалы. Как показывает пример кольца А = Е, такие идеалы существуют не всегда. 2) Пусть Р— тело, У' — векторное пространство над Р, А— подкольцо, порожденное в л р (у) единицей (тождественным автоморфизмом пространства у) и эндоморфизмами пространства у, имеющими конечный ранг. Тогда у является простым А-модулем и тем более простым модулем над кольцом Хр (У). В самом деле, любой ненулевой элемент х ~ г' можно рассматривать как элемент некоторого базиса В пространства У (гл. 11, 4 3, и' 1, теорема 2); для любого г Е У существует эндоморфизм и~ХО(У) такой, чтои(х) =.
гни(у) = Одля всех у бВ, у~х; очевидно, и с А, и наше утверждение следует из предложения 1. Пусть х' — линейная форма Ф О на у' и и„, х ~ Г,— эвдоморфизм У -~ С У, х' ) х пРостРанства У; Равенство во и„= и, оо спРавеДлнво, очевиДно, ДлЯ любого о Е:ь"р (У"); слеДовательно, отображение х -+. и является гомоморфизмом л',р (У)-модуля У на некоторый левый идеал кольца л',р (У); этот идеал, будучи фактормодулем модуля У, отличным от О, минимален. 3) Пусть А — кольцо. Модуль А, прост тогда и только тогда, когда (О) является единственным левым идеалом кольца А, отличным от А, то есть если А — тело (гл. 1, з 9, и' 3, предложение 3).
В этом случае всякий простой А-модуль изоморфен А, (предложение 3). 4) Пусть А — кольцо главных идеалов. Простыми А-модулями будут А-модули А,/(р), где р — экстремальный элемент кольца А (предложения 2 и 3). Если и ) 1, то модуль А,/(р") неразложимый (гл. 'Ч11, $4, и 7, предложение 6), но ве простой, Опгкдвлкник 2. Пусть М вЂ” модуль. Максигигльным подмодулем модуля М называется всякий максимальный элемент упорядоченного по включению множества подмодулей М, отличных от М. Иными словами, максимальным называется всякий подмодуль )У, для которого модуль 'М7гХ прост. Пгвдложквив 4.
Пусть М вЂ” модуль конечного типа, и Х— его отличный от М подмодуль. Существует максимальный подмодуль модуля М, содержащий Х. 10" 148 полупгостые мОдули и кОльцА гл. Угп, $ 3 Достаточно показать, что множество Яй подмодулей модуля М, отличных от М, индуктивно (Теор. мн., Рез., т 6, в' 10); пусть Š— подмножество в Чй, совершенно упорядоченное по включению; надо показать, что подмодуль ~ — объединение подмоду-, лей Р р Й! — отличен от М. Пусть Р— конечное 'подмножество в М, порождающее М. Если () =- М, то каждый элемент иа Р принадлежит некоторому подмодулю Р ~ Е, то есть Р содержитсв в одном из этих подмодулей, что противоречит предположению, Следствие. Пусть М вЂ” А-модуль конечного типа, отличный от (0).
В кольце А существует двусторонний идеал а, аннулирующий некоторый простой А-модуль и такой, что а.М ~ М. В самом деле, в модуле М имеется максимальный подмодуль )У (предложение 4). Пусть а — аннулятор простого А-модуля МЙЧ; из равенства а МЙЧ = (0) следует а М с:.Х. Пгедложение 5. Пустпь А — кольцо, 1 — его минимальный левый идеал, М вЂ” точный простой А-модуль. Тогда М изоморфен А-модулю 1.
Пусть а Ф 0 — элемент !. Существует х б М такой, что ах ~ О. Пусть ш — аннулятор элемента х, то есть максимальный левый идеал (предложение 3). Тогда а 4 ш, так что ш П 1 ~ 1. Но идеал 1 минимален, и отсюда следует, что ш П 1 = (0). Так как идеал ш максимален, то А, = ш + 1. Таким образом, модуль А, является прямой суммой подмодулей 1 и ш, и следовательно, М, будучи иаоморфным А,lш, изоморфен 1.
Пгедложение 6. Пусть М вЂ” точный А-модуль, обладающий рядом Жордана — Гельдера Л. Если его контрмодуль конечного типа, то всякий простой А-модуль изоморфен одному из факторов ряда Х. Всякий простой А-модуль иаоморфен простому фактормодулю модуля А, (предложение 3). По лемме 4 з 2, и'3, А, изоморфен подмодулю модуля М", и — некоторое целое число. Следовательно, всякий простой А-модуль изоморфен некоторому фактору ряда Жордана — Гельдера модуля М" (гл. 1, з 6, и' 14, следствие теоремы 8). Однако ясно, что модули Мо обладает рядом Жордава— Гельдера, факторы которого изоморфны факторам ряда Х, 149 поостыв и полтпгостыв модвли х. 1»ласси просгпых модулей Обозначим череа 1г«(Х, У) отношение «А — кольцо, и Х, У— изоморфные простые А-модули».
Это отношение является отношением эквивалентности между Х и У. Если Х и У вЂ” простые изоморфные А-модули, то истинно соотношение (гЛ)(1гл (Х,Я) =с. =ь1гл (У, л)). Но схема 87 (Теор. мн.; гл. 1, $5, и' 1) дает следующую аксиому; (( ) ( гл (Х~Е) ' 1гл (У,Я))), (т (1г (Х т)), (1 (У Е))) Следовательно, если Х и У вЂ” изоморфные простые А-модули, то тг (1гл (Хг Я)) тг (1г (У Х)) Если Х вЂ” простой А-модуль, то т (1г„(Х, Е)) называется классом А-модуля Х; говорят также, что Х-модуль класса тх (1гл(Х, Я)).
Так как отношение 1гл (Х, Х) истинно, класс модуля Х является простым А-модулем, изоморфным Х. Таким образом, два простых модуля изоморфны тогда и только тогда, когда они одного класса. Отношение «ь — класс простых А-модулей» является коллективизирующим по ). (Теор. мн., гл. П, $1, и' 4). В самом деле, пусть ф— множество простых А-модулей — фактормодулей модуля А, (подмножество в ф (ф (А)) и (Б„— множество объектов вида тг (1г„(Х, Л)), Х Е (:)л (Теор.
мн., гл. 11, $1, и' 6). По предложению 3 ) ~ Ол для любого класса Л простых А-модулей. Яа называется множеством классов простыхА-модулей. 3. Иолупроотп»ле модулы Твогвмх 1. Пусть модуль М вЂ” сумма (не обязательно прямая) семейства (7У,)ны простых кодмодулей.
Для любого подмодуля с' модуля М существует подмножество 1 с 1 такое, что Мявляется прямой суммой г' и семейства ()у,)мз. Пусть Я вЂ” множество подмножеств 1, с: 1, для которых сумма е+~ Х,— прямая. Множество (б конечного характера и имеет, иь следовательно, максимальный элемент 1 (Теор. мн., 3 6, и' 11).
Пусть У = Р + ч~~ ~1«', и ~ ~ 1; сумма У + )У, не прямая, так как сгз множество 1 максимально. Поэтому Х, () У~ (0), то есть ЛГ, с:. У, 150 полупгостые мОдулИ и кОльцА ГЛ, 7111, г 3 так как модуль Л1, прост. Следовательно, М = У, что и доказы- вает теорему. Пгедложение 7. Пусть М вЂ” модуль. Следующие свойства эквивалентны: а) М вЂ” сумма семейства проспьых подмодулей; б) М вЂ” прямая сумма семейства простых подмодулей; в) всякий подмодуль модуля М является прямым слагаемым Теорема 1, примененнан к Р = (0), показывает, что из а) следует б); если подмодуль Р произвольный, то по теореме 1 из б) следует в). Наконец, предположим, что модуль М обладает свойством в). Пусть Р ~ (О) — моногенный подмодуль в М.
По предложению 4 в Р имеется подмодуль Х такой, что модуль Р/Х прост, Пусть Л"— дополнение подмодуля Л~ в М; подмодуль 1У' П Р является дополнением подмодуля 11 в Р и изоморфен РПЧ, то есть прост. Тем самым доказано, что всякий подмодуль ~ (01 модуля М содержит простой подмодуль. Обоаначим тогда через Р сумму простых подмодулей модуля М и через Р' — дополнение Р в М. Тогда Р' =- (О), так как в противном случае модуль Р' содержал бы простой подмодуль и пересечение Р П Р' было бы отлично от (0), что неверно. Это и заканчивает доказательство. Опггделение 3. Модуль М называется полупростым, если он удовлетворяет эквивалентным условиям из предложения 7.
А-модуль М полупрост тогда и только тогда, когда он полу- прост как модуль над кольцом Ам гомотетий. Всякий модуль, являющийся прямой суммой некоторого семейства полупростых подмодулей, полупрост. Примеры полупростых модулей. 1) Модуль, сводящийся к О, полупрост. 2) Всякий простой модуль полупрост.
3) Коли А — тело, то всякий моногенный А-модуль, не сводящийся к О, изоморфен А, и, следовательно, прост; поэтому всякий А-модуль полупрост. Таким образом, мы снова получаем свойства векторных пространств (гл. 11, з 3, теорема 1 и предложение 5). ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 4) Группа Я как Я-модуль не является полупростым Я-модулем: она не имеет ненулевых конечных подмодулей, а всякий простой Я-модуль конечен (и' 1, пример 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
