Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть М вЂ” точный А-модуль (гл. 11, З 1, и' 9) и (х,),гг — семейство образующих его контрмодуля. Тогда отображение а-э-(ах,)мг является А-изоморфиемом модуля А, на некоторый подмодуль в Мг. Очевидно, зто отображение является А-гомоморфизмом модуля А, в Мг, и достаточно доказать, что оно ипъективно.
Пусть АРтиповы и ~втвРОВы модули 143 ах„= О при всех < ~ 1. Тогда для всякого семейства (с,)мг элементов кольца Хл (М), всех, кроме конечного числа, равных нулю, имеем равенство а(~ с„х„) = ~ с„(ах„) = О; таким образом, мт <ег а М = (О), и следовательно, а = О, так как модуль М точный.
Пгкдложккик 8. Пусть М вЂ” артинов (соответственно петеров) А-модуль. Если его контрмодуль конечного типа, то кагьцо гомотетий Ам артиново (соответственно нетерово). Так как модуль М вЂ” артинов (соответственио петеров) Ам-модуль, то докавательство сводится к случаю, когда модуль М точный.
По лемме 4 существует целое число и такое, что А, изоморфен некоторому подмодулю в М". Достаточно теперь применить предлох<ение 2 и его следствие. Слкдствик. Пусть М вЂ” петеров А-модуль. Если кольцо А коммутативно, то кольцо Азг нетерово. Модуль М конечного типа (кредложение (), так что его контр- модуль в силу Ам с:,х„(М) также конечного типа.
У п р а ж н е ив я, 1) а) Привести пример нетерова, но не артинова модуля М, у воторсгс всякий ненулевой эндоморфизм инъектпзен и существуют ненулевые пебнентиввые зидоморфиэмы. б) Привести пример артинова, нс не нетерова модуля М, у которого всякий эндоморфизм ~ 0 сюръектнвен и существуют ненулевые яебиектяввые эядоморфпзмы (взять в качестве М модуль ГГя (гл. 7П, з 2, упражнение 3)).
2) Пусть М, Х вЂ” А-модули конечной длины и существует целое число я такое, что М" и Л™ изоморфвы. Показать, что М и Л' изоморфвы (воспользсваться теоремой $). 3) Пусть М вЂ” модуль венечной длины я,  — подмножество кольца Х (М) эидоморфизмов модуля М, устойчивое относительно умножения„ и всякий элемент его нвльпотентен. а) Показать, что осли я = (, то Н = (0). В случае и ) ( я Н ~ (0) показать, что в М имеется подмодуль Ю, устойчивый относительно всех элементов множества Н и отличный от (0) и от М. (Среди всех ненулевых элементов множества Н рассмотреть элемент г, для которого модуль г (М) имеет наименьшую возможную длину; рассуждая от противного, показать, что ггг = 0 для всех г б Н.
Вывести отсюда, что при Нг =- (О) в качестве Ф можно взять г (М), а в противоположном случае — прямую сумму подмодулей гг (М) (где г б Н) *).) б) Вывести из а), что модуль М обладает рядом Жордака— Гельдера М = Ме Э М, "~... 3 М„= (0) таким, что г (М;) < *) Это доказательство (неспублпксваннсе) сообщил нам А. розенберг. полупгостык мОдули и кольца ГЛ. У111, 1 2 с лх1+, при 0 ( г ~'„а — 1 (провести индукцию по и).
В частности, если (ге )„,. „— произвольная последовательность в элементов множества Я, то гггз... га = О. 4) а) Пусть К вЂ” поле п ~р — его изоморфизм па такое его подполе Н', по К, рассматриваемое как векторное пространство пад К', бесконечиомерно (гл. У, 1 6, упражнение 1). На аддптивпой группе А = Н Х К с помощью формулы (х, у) (х', у')=(хх', ху'+у6~(х')) определим структуру кольца с единицей. Показать, что единственным левым идеалом кольца А, отличным от А к (0), будет (0) Х К в то же время всякое произведение (0) Х Е, где  — некоторое векторное надпространство в У, является правым идеалом кольца А.
Вывести отсюда, что кольцо А артиново слева, по пе артиново н не нетерово справа (см. 1 6, упражнение 25). б) Привести припер модуля конечной длины, кольцо эндоморфнзмов которого не является ки артиновым, ни петеровым слева (использовать а)). в) с помопгью метода нз упражнения а) привести пример кольца А, артгшова и нетерова слева н справа, у которого модули А, и АЕ имеют различную длину, 5) Пусть А — кольцо, е 6 А — идемпотепт. а) Пусть 11 — левый идеал в кольце еАе, и 1 — левый идеал, порожденный идеалом 1, в кольце А, Показать, что 11 = е1е = 1 Д еАе. б) Показать, что для любого левого идеала 1 кольца А справедливо включение 1 () (еАе) ~ е1е; привести пример, в котором эти два идеала кольца А различны (рассмотреть кольцо матриц).
в) Показать, что для всякого двустороннего идеала а кольца А справедливо равенство еае = а Д еАе, г) Вывести из а), что если кольцо А артиново (соотвэтственно нетерово), то и кольца еАе и (1 — е) А (1 — е) архиповы (соответственно петеровы). д) Показать, что кольцо матриц ЛХ„ (В) пад кольцом В артпново (соответственно нетерово) тогда и только тогда, когда артпново (соответственно нстерово) кольцо В (можно испольаовать упражнение 9в) 1 1).
6) Пусть А п  — кольца, ЛХ вЂ” множество, наделенное струнтурой левого А-модуля и правого В-модуля, причем а (хЬ) = (ах) Ь, а 5А, х 5 М, Ь 5 В. Показать, что формула (х, у, г) (х', у', г') = = (хх', ху'+ уг', гг') определяет на произведении С = А Х ЛХ Х В структуру кольца: в кольце С элементы е = (1, О, 0) н е' = (О, О, 1) являютсн идемпотентами, элемент е (- е' — единицей, Привести пример, в нагаром А и  — тела, но кольцо С не артиново п не нетерово (сы.
упражнение 5г)). антиповы и нвткровы морили 245 7) а) Пусть А — кольцо, .У вЂ” множество левых идеалов вида Аг, где е — идемпотеит. Показать, что четыре следующих условии эквивалентны: а) всякое подмножество в У имеет минимальный элемент; р) всякое подмножество в у имеет максимальный элелгент; у) не существует бескояечного семейства идеалов, принадлежащих .У н составляющих прямую сумму; б) в кольце А не существует бесконечного семейства ортогональвых идемпотентов. б) Показать, что в кольце А", противоположном кольцу А, определенному в упражнении 4, всякое множество лгоаоггяьых левых идеалов имеет макспиальный н минимальный элементы, так что условия упражнения а) тем более выполняются для кольца Аэ (см, Ь б, упражнение 30).
в) Показать, что если и модуле Е всякое мпо:кество подмодулей конечного типа имеет максимальный элемент, то Š— петеров модуль. 8) а) Пусть А — кольцо, и, р — элементы кольца А, ир = 1, эи -ь 1. Положим еи -— — ьл гя1-г — э1иг, г > 1, 1 > 1; показать, что г,- -ь 0 и г, гьь = бгьегь.
Вывести отсюда, что в кольце А существует левый идеал, являющийся прямой суммой счетного множества изоморфпых левых идеалов (см. $1, упражнение Зг)). Покааать, что при любом 1 ) 1 имеет место равенство и(э+ ггг) = 1 и при 1 ~ й г'- г, б) Пусть кольцо А удовлетворяет условиям упражнения 7а) п иг = 1, и, и РА. Вывести из а), что ри = 1 (см. 1 5, упражнепке 12). 9) Пусть А — кольцо п  — подкольцо в А, содержащее его единицу. Показать, что если кольцо А артипово (соответственно нетерово) справа н как левый В-модуль имеет бааис иад В, то и подкольцо В артиново (рассмотреть пересечения множеств Ва,, где (а,), базис модуля А над В, с правым идеалом кольца А, порожденным правым ндеалои т кольца В).
Справедливо ли обратное утверждение, хотя бы в случае, когда Л (как В-модуль) имеет конечный базис (см. упражнение 4)? 10) Пусть А — кольцо, В и  — его подкольца. Показать, что если кольцо В артгпюво, а  — тело, то В Д Ю вЂ” тело (для любого з р В П В рассмотреть последовательность идеалов Вз" кольца В).
11) Пусть А — артнново (соответственно нетерово) слева кольцо, М и )у — дополнительные подмодули левого А-модуля А,". Показать, что если А-модуль М свободен, то модуль гр также свободен (испольаовать теорему 1 в' 2). 12) Пусть А — кольцо, а и Ь вЂ” его двусторонние идеалы, я кольца Л/а н А/Ь нетеровы (соответственно артиновы). Показать, что кольцо Л /(а () Ь) нетерозо (соответственно артннозо) (использовать предложение 2). 1О н.
втрзаав 146 полупгостые молили и кольпя гл. ч $ 3. Простые и иолупростые модули я. Проспзьсе модулы Опгвдвлвнив 1. Модуль М называется простым, если он не сводится к О и не имеет подмодулей, отличных от М и (О). Простой модуль, рассматриваемый как группа с операторами, является простой группой с операторами (гл. 1, $ 6, и' 14, определение 14) . Для того чтобы модуль М над кольцом А был простым, необходимо и достаточно, чтобы он был простым как модуль над кольцом Ам гомотетий. Пгвдложвнив 1. Пусть М вЂ” А-модуль, отличный от (О) .
Модуль М прост тогда и только тогда, когда М = Ах для любого его элемента х ~ О. В самом деле, если х Ф О, то Ах является подмодулем в М, отличным от (О). Слвдствив. Всякий простой модуль моногенен. Пгвдложвнив 2. Пусть А — кольцо, т — его левый идеал. Для того ипобы А-модуль А,/т был прост, необходимо и достаточно, чтобы т был максимальным левым идеалом кольца А. В самом деле, поднадули модуля А,/т являются каноническими образами левых идеалов и кольца А, содержащих т (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
