Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это отображение обозначается Т (у). Отображение в -~- Т (у) 128 ПОЛУПРОСТЫН МОДУЛИ И КОЛЬПА 1'л, У111, $1 множества Х,, (М, М') в Хс (Т (М), Т (М')) называется каноническим. Справедливы следующие формулы: Т(б+б)=-Т(й+ТЮ, Т(б' б)=Т(б) Т(л), Т(1)=1(5) (где в первой формуле я' Е Х„(М, М'), во второй д' Е Х„(М', М"), М" — левый А-модуль, и в третьей первая 1 есть единичный элемент в Х„(М), вторая — единичный элемент в Хс (Т (М))). 3) Сооткошснил между Я и Т. По формуле (2) отображение х — 1- Р 3 х при любом э ~ Р' является А-гомоморфнзмом модуля г' в Я ( о') (обозначения те же, что и выше); обозначим это отображение через ау (э); при любом с с С имеем равенство ссу (эс) (х) =- = (гс) 3 х = э 3 сх = ау (э) (сх). Другими словамн, в модуле Т (Я (У)) = Тл (г", Я (У)) выполнаетсн Равенство а„(эс) = = ау (э) с, показывающее, что ау есть С-гомоморфизм модуля Р' в Т (8 (Р)); этот гомоморфизм называется каноническим.
Если, кроме того, ~ С Л'с (К, К'), то ау о)=-Т(О ())) оа„. (6) В самом деле, а, Ц (э)), э ~ г', является отобра1кением х-о. у (э) 3 х модуля г' в Я (Ро), тогда как Т (Я Ц)) (а, (Р)) есть отображение Я ()) о ау ( Р) модуля Р в Я ( т"), то есть отображение х -о- (~ 3 1) (э (х) х) =- / (э) ® х, что и доказывает равенство (6). С другой стороны, при и ~ Т (М), х г Р и с ~ С по формуле (4) выполняются равенства (и с) (х) =и(сх), и следовательно, Я-билинейное отображение (и, х) — о и (х) произведения Т (М) Х г' в М определяет Я-линейное отображение рм тензорного произведения Т (М) ® с г в М, удовлетворяющее условию (Зм (и 3 х) = — и (х) (гл.
111, приложение 11, предложение 1); если а Е А, то рм (а (и З х)) = рм (и 8 ах) = и (ах) = аи (х) =— = арм (и ® х), так что ()и является А-гомоморфиамом модуля Я (Т (М)) в М; этот гомоморфизм называется какокичсскил. Если, кроме того, д Е Х,~ (М, М'), то у о (эм.=- рм о Ь (Т (д)). (7) В самом деле, при иэ Т(М) и х~Р имеем равенства (ко()м) (и бсх) =л(и(х)) =(кои)(х)=()м ((кои) Э х) = : — — рм ((Т(а) ® 1)(и ® х))=(рм, оо (Т(а)))(и 3 х).
КОММУТИРОВАНИК 129 б. Коммутнуованне в нзотипныгс модулям В случае, когда А-модуль Г конечного типа, мы применим операции, введенные в предыдущем пункте для описания изотнпного А-модуля М типа Г и его коммутанта, рассматривая только структуры А-модулей Р и М (но не конкретное разложение модуля М в прямую сумму подмодулей, изоморфных Р). Творима 1. Пусть Р— левый А-модуль конечного типа и С— его коммутант. а) Пусть У вЂ” свободный правый С-модуль, (о,)ма — его базис. Тогда модуль Я (У) = 'и" бусГ изотипный типа Р и разлагается е прямую сумму подмодулей (о,С) (~с Р; каноническое отображение а1 . К -ь,ТА (Р, у" Зс Г) биектизно. Для любого правого С-модуля у" отображение ~ - Я Щ является биекуией множества хс (р", У) на хл (Я ( р"), Я (У)).
б) Обратно, пусть М вЂ” левый А-модуль, изотипный типа Р, и (и,),ы — семейство инъективных гомоморфизмов модуля Г в М, таких, что М есть прямая сумма подмодулей и„(Г). Тогда Т (М) = ХА (Р, М) — свободный правый С-лшдуль, семейство (и,)мк — его базис и каноническое отображение Рм:,ТА (Р, М) ® ®с Г -+ М биективно. Для любого левого А-модуля М' отображение у -+ Т (у) является биекцией множеппва ХА (М, М') на .Тс (Т (М), Т (М')). Сначала докажем лемму; Лемма 2. Пусть ф,)мг — семейство А-модулей, Π— их прямая сумма, Р— А-модуль, Абелевн группы Х~ (Р, Оа) отождествляются с некоторыми подгруппами в ХА (Р, О), порождающими их прямую сумму. Если, кроме того, модуль Р конечного типа, то и и Ж 'с) ~мг ~А (~ ч1). Первое утверждение немедленно следует из определений. Пусть модуль Р порождается конечным семейством (хь)~<ьк,„ и ~Е ХА (Р, Е; для любого элемента хь компоненты ~ (хь) в О, все, кроме конечного числа, равны нулю.
Следовательно, существует конечное подмножество У множества Х, для которого ~ (Р) ~ ХизО,. Пусть (Р,)иг — семейство проектирований, ассоциированное с разложением Д = Х,бЯ,. Тогда ~ =- Х,бзр, ° ~, откуда ввиду р, у Е ХА (Р, О,) и следует лемма. 9 Н Бурбаки 1ЗО ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И БОЛЬЦА ГЛ. 71!1, 1 $ Докажем теперь обе части теоремы. а) Отображения х-+- и„Я х модуля Р в Р" являются изоморфизмами модуля г на А-подмодули (и,С) Зс г" модуля К®с г', и р' ®с г" будет прямой суммой этих подмодулей (гл. 111, приложение 11, предложение 5).
Пусть э = Х,ег и,с, (с, й С)— элемент модуля Р' и э ® х = О для любого х ~ г. Тогда Тяги„(81 (с„х) = О, и следовательно, для любого индекса 1 Е Т равенство с,х = О выполняется для всех х Е г", то есть, по определению С, с, = О; поэтому в = О, то есть отображение ау инъективно. По определению С, всякое А-линейное отображение модуля г' в А-модуль, изоморфный (У„С) Эс г", имеет внд х-~ э, 8 с,х =- = (и,с,) ® х; лемма 2 показывает, что отображение иу сюръективно и, следовательно, биективно, Отсюда немедленно следует, что ~-~-иуду — биекция множества Хс (Р", Р) на Хс (Р", Х,~ (г", О" (Р))). Пусть Π— канонический изоморфнзм группы Жс ( Р"; Х„()Р, Я (Р))) на Хв ( Р" ®с г"' Я (Р')) = Кл (Я (Р), Я ( Р")) (гл.
1? 1, приложение 11, предложение 8). Покажем, что О (а, о у) = Я (Л; в самом деле, при э' ~ Р' и х Е Р имеем О (ау о 1) (в' Я х) = ((пу о /) (в')) (х) .=- = (а~ (г (в'))) (х) = 1 (в') ® х = Я (1) (и' ® х), откуда и следует наше утверждение б) По предположению, из равенства ~ и, с, = О (с, ~ С) 'Е1 следует, что и, (с,х) = О для любого х Е Р"; так как гомоморфиам и, инъективен, то с,х = О, и следовательно, с, =-. О по определению С; поэтому элементы и, линейно независимы в С-модуле Т (М).
С другой стороны, всякое А-линейное отображение модуля К в А-модуль, изоморфпый и, (г), имеет вид в, с„с„~ С (по определению С); из леммы 2 следует, что система (и,) является базисом модуля Т (М). Всякий элемент модуля М является суммой элементов вида и, (х) = рм (и, ® х), х ~ Р", то есть отображение рм сюръективно. С другой стороны, всякий элемент тензорного проивведения Т (М) 13с Г может быть записан в виде Я и„® х„ '61 где элементы х,'Е г" все, кроме конечного числа, равны нулю; если этот элемент при отображении ()м имеет пулевой образ, то есть 2„' и, (х,) = О, то х, = О при любом 1; таким образом, отображе'Е1 ние рм ннъектнвно и, следовательно, сюръектнвно. коммутиРОВАнин 131 Отсюда немедленно следует, что у-ь у о ры — биекция множества бл (М, М') на Тл (Т (М) фс Р, М').
Пусть т — канонический изоморфизм группы ХА (Т (М) Зс Р, М') на Хс (Т (М), Хл (Р, М')) = Хс (Т (М), Т (М')) (гл. 111, приложение 11, предложение 8). Покажем, что т (у о рм) = Т (у); в самом деле, при ий Т(М) и хЕР имеем (доры)(и®х) = у(и(х)), то есть (т (у о ры) (и)) (х) = у (и (х)); другими словами, т (у о рм) (и) = = у о и = Т (у) (и), что и заканчивает доказательство.
Слвдствив 1. Если модуль Р конечнозо типа и модуль т' свободен, то отображение 1 — Я ф является изомор4измом кольца Хс (У) на кольцо Хл (У Эс Р). Это следует из теоремы 1а) (взять у" = У) и формул (3). Слкдствив 2. Если модуль Р конечнозо типа и М вЂ” изотипный модуль типа Р, то отображение у — ь Т (д) является изоморфизмом кольца ЖА (М) на кольцо Хс (Жл (Р, М)).
Это следует из теоремы 1б) (взять М' =- М) и формул (5). Ксли модуль М является прямом суммой яоиеовооо семейства п подмодулеи, иаоморфвых е, то кольцо .хл (М) ваоморфво кольцу М„(С) квадратвых матриц порядка и вад воммутавтом С модуля т (гл. 11. 1 6, п' 5). Слвдствив 3. Пустпь М вЂ” изотипный модуль типа Р, Р' = = Хл (Р, М). Предположим, что модуль Р конечнозо типа, и отождествим М с т'(8)с Р с помощью ()и. Тогда 9)ормулы М' = = У' ®с Р и Р' = Хл (Р, М') устанавливают взаимно однозначное соответствие между прямыми множителями 1' модуля У, являющимися свободными правыми С-модулями, и прямыми множителями М'модуля М, являющимися изотипными модулями типа Р.
Пусть е, — проектирование модуля Р' на У; тогда Я (ез) = = — е, ® 1 — проектирование модуля У 3с Р на т" ®с Р. Аналогично, если еа — проектирование модуля М на М, то Т(еа): и- ет о и — проектированиемодуляХА(Р, М) навал(Р, М'). Отождествляя с помощью и„(соответственно а; ) модули У (соответственно У') и Т (Я (У)) (соответственно Т (Ю (Р")), ввиду теоремы 1 и формулы (6) получаем, что е, = Т ф (е,)); аналогично, отождествляя с помощью ()и (соответственно ры ) модули М (соответственно М') и Я (Т (М)) (соответственно Я (Т (М'))), нз формулы (7) получаем, что ез = Ю (Т (ет)), что и доказывает следствие. зо 132 полупгоптые мОдули и кОльцА ГЛ. У<П, 1 1 3 а и е ч а н и е. Теорема 1 к ее следствия, так же как и доказательство, остаются в силе, если не предполагать, что модуль р конечного тапа, но ограничиваться модулями М с леаечв е< базисом и изотипиыми модулями М, разлагающимися в прямую сумму валечаеео семейства подмодулей, изоморфных Р.
Тогда лемма 2 заменяется предложением 2 гл. 11, г 2, в'3. У п р а ж н е н и я. 1) Пусть М вЂ” абелева группа, Я вЂ” кольцо эвдоморфяэмов группы М. а) Пусть р, у — проектирования в М; р (М) < д (М) тогда и только тогда, когда др = р; р-' (0) < д<а (0) тогда н толы<о тогда, когда ур =- д. б) Пусть (р;) (<(а — конечное семейство проектирований в М и все р< (М) равны одной и той же подгруппе /д групвы М; пусть, далее, элементы а< (1 а 1 ( а) кольца (е удовлетворяют условиям а р = р а< для любых индексов /я/ и ~ а< = 1.
Тогда р = Ч~~ ~а<р<— 4=1 4=< проектирование и р (ЛХ) = /у. в) Если р и д — проектирования такие, что р + д — также проектирование, то рд = — др, п обратно. Вывести отсюда, что если' равенство 2х = 0 влечет в группе М равенство х = О, то рд = 0 (рассмотреть влемент х б р (М)). г) Пусть р и д — проектирования. Следующие условия эквивалентны: а) рд = ур; ()) д (р (М)) < р (М) и д (р-' (0)) ~ р-< (0), Т) модуль М является прямой суммой четырех подмодулей лгм /уг, /Уз /У4 таких, что р (М) = /Уе + /дг р < (О) = /Уз+ А'4 д (М) = — /у< + дгз у-' (0) = — Л'г + в<4.
Прн выполнении этих условий г =- рд и е = р + у — рд являются проектированинми и справедливы равенства г (М) = р (М) () д (М) и е (М) = р (М) + д (М). д) Пусть р — проектирование; подмодуль р (М) устойчив относительно элемента а б (е тогда и толы<о тогда, когда рар = ар. е) Пусть р — проектирование в М, и /У = р (М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
