Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 25
Текст из файла (страница 25)
164 и 265); наконец, после того как в 1858 г. Хегер дал условие разре«пимости системы, ранг которой равен числу уравнений, Г. Дж. Смит в 1861 г. определил инвариантвые факторы матрицы с целыми элементами и получил общую теорему о приведении такой матрицы к «каноническому виду», рассмотренному нами в гл. Ч11, 1 4, следствие 1 предложения 4 (ХЧ11). В этот период постепенно уточнялось понятие абелевой группы — после введения его Гауссом (см. Исторический очерк к гл.
1, 11 и 111) — благодаря важности этого понятия для дальнейшего раавития теории чисел. При особенно углубленном исследовании конечной абелевой группы классов квадратичных форм с данным дискриминантом, изложенном в «В!ецшэ!С!овен»„ Гаусс быстро обнаружил, что некоторые из этих групп не являются циклическими: «)7 атом случае,— пишет он,— единого багиса (то есть образующего) может быть недостаточно, и ия надо ваять два или боль«»е, чтобы с помощью умножения и «омпогиции «) они могли бы прои«вести есе остальные «вассы» ((Ч111), т. 1, стр. 374, 375).
Нельзя определенно утверждать, что этими словами Гаусс хотел вправить возможность разложения группы в прямое проиаведение циклических групп; во всяком случае, в той же статье в «П!эцп!э!- Полез» он доказывает существование в грузие элемента, порядок которого, равен н. о. к. порядков всех остальных элементов, другами словами, существование наибольшего инвариантного фактора группы ((Ч111), т.
11, стр. 373); с другой сторовм, занятие прямого произведения ему известно, так как в рукописи, датированной в 180! г., но ие опубликованной при его жизни, он намечает общее доказательство рааложения конечной абелевой группы в прямое произведение р-групп*о) ((ЧН1), т, 11, стр. 266). Во всяком случае, Шеринг, издатель его сочинений, вдохновленвътй этаки реаультатаыи (и особенно рукописью, только что им обнаруженной), в 1868 г. доказывает (все для той же группы классов квадратичных форм) общую теорему разложения (ХЧ111). Его метод, переформулнрованвый в абстрактных тер»яшах Кронекером (ХХ) двумя годами спустя, совпадает, по существу, с методом, использованным вами выше (гл.
Ч11, $4, теорема !). Что касается абелевых о) Гаусс обозначал закон композиции классов аддитивно, а под «умножением» понимал, следовательно, произведение класса на целое шсло. «*) Это утверждение мимоходом доказано также Абелем в его мемуарв об абелевых уравнениях ((1Х), т, 1, стр. 494 — 497). 112 ИОТОРИ»1ЕОНИЙ ОЧЕРН Н ГЛАВАМ Ч! И Ч11 групп без кручения, то мы видели уже (см, Исторический очерк к гл.
11, 111), как теория эллиптических функций и абелевых интегралов, развитая Гауссом, Абелем и Якоби, постепенно приводила к уяснению нх структуры: первый и наиболее замечательный пример разложения бесконечной группы в прямую сумму моногенных групп был дан в 1846 г. в мемуаре Дирихле о единицах поля алгебраических чисел (Х!).
Однако лишь в 1879 г. Фробениус и П1тикельбергер обнаружили и явным образом использовали связь между теорией абелевых групп конечного типа и теоремой Смита ((ХХ111),' $10), К этому времени завершилась также теория подобия матриц (с действительными или комплексными коэффициентами). Понятие собственного значения линейной подстановки явно появляется в теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую Лагранж применял в теории малых движений (Ч!а) и Лагранж (Ч1Ь) и Лаплас (Ч11а)— к «вековым» возмущениям планет.
Неявно это понятие присутствует и во многих других проблемах, рассматривавв»ихся еще в середине ХЧ111 в., например при отыскании осей коники или квадрикн (осуществленном впервые Эйлером (Уа)) или при изучении (также развитом Эйлером (ЧЬ)) главных осей инерции твердого тела (открытых в 1755 г. де Сенье); мы знаеы теперь, что это понятие (в гораздо более скрытом виде) встречается в самом начале теории уравнений с частными производяыми и, в частности, в теории колебаний струям. Одяако (если не говорить об этом последнем примере) родство этих различных проблем едва ли было известно до Коши (Х). Кроме того, в болыпей части атих задач используются симметрические матрицы, и поэтому прежде всего в ннх исследуются именно их собственные значения; эа дальнейпгими подробностями мы отсылаем к Историческим очеркам к главам этого трактата, посвященным эрмитовым операторам; заметим только, что в 1826 г.
Коши доказывает, что собственные значения этих матриц инвариантны относительно подобия и что у симметрических матриц третьего порядка собственные значения действительны (Ха) — этот реаультат через трн года был доказан им для произвольных симметрических действительных матриц (Х Ь) *). Общее понятие проектнвности, введенное Мебиусом в 1827 г., быстро привело к проблеме классификации проективных преобразований (прежде всего для размерности 2 и 3) или, что то же самое, к проблеме подобия соответствующих матриц; однако в течение долгого времени этот вопрос исследовался лишь «синтетическими» методами, широко распространенными в середние Х1Х в„и прогресс в этом направлении, по-видимому, не оказывал ») Попытка доказательства этого результата для частного случая «вековых» возмущений планет была уже сделана Лапласом в 1784 г.
(Ч11Ь). Что касается уравнения третьей степени, задающего оси действительной квадрики, то Эйлер допускает беа доказательства, что его корни действительны; попытка Лагранжа провести в 1773 г, (У! е) это доказательство оказалось беауспешной. Впервые это было доказано строго Ашетгом и Пуассоном в 1801 г. (1онгва1 бе 1'Ксо!е Ро1усесЬп1дне, тетрадь 11 (ан Х), стр. 170 — 172). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГПАВАМ Ч1 И У11 влияния на.теорию собственных значений, По-иному обстояло дело с другой геометрической аадачей — классификацией пучков коник нли квадрик, состоящей с современной точка арения в научении элементарных делителей матрицы у + )>у, где (1 и у — симметрические матрицы. Именно в этом духе подошел к этой проблеме Сильвестр, тщательно исследовавший (для нахождения «канонического влда> рассматриваемого пучка), что происходит с минорами матрицы У+ Ху при подстановке вместо А некоторого значения, аннулнрующего ее определитель (Х1У).
В то же время развивался чисто алгебраический аспект теории собственных значений; именно алгебраическими методамп многие авторы (и в том числе сам Сильвестр) в 1850 г. цоказали, что собственные значения матрицы У" являются л-ми степенями собственных значений матрицы У, а в 1858 г. Кали в своем мемуаре, заложившем основы матричного исчисления (Х>" 1), сформулировал «теорему Гамильтона — Кэлп» для квадратных матриц проиавольного порядка "), удовлетворившись прямым ее доказательством для матрлц порядна 2 и 3. Наконец, в 1868 г.
Вейерштрасс, пользуясь методом Сильвестра, получает «канонический впд> для «пучка> У -Ь Ху, где на этот раз матрицы П и У не обязательно симметрические п удовлетворяют единственному условию, чтобы определитель матрицы 0 -9 Ау пе был тождественным нулем; нз этого он выводит определение элементарных делителей пропавольной квадратной матрацы (с комплекснымн элементамн) п доказывает, что онп характеризуют матрицу с точностью до подобия (Х1Х); кроме того, этп результаты частично были вновь открыты Жорцавом (по-видимому, независимо) два года спустя "*) (ХХ1).
И здесь снова Ц> робенпус в 1879 г. показал, что теорему Вейерштра оса можно просто вывести из теории Смита, распространенной иа многочлены ((ХХ И), 1 13); его рассуждения основываются на докааательстве атой теоремы, которое мы дали выше (гл. У 11, 1 5, предложение 5). Ыы только что коснулись теории делимости многочленов от одного переменного.
Вопрос о делении многочленов как об операции, обратной умножению (эта операция была известна уже Диофанту), естественно, должен был быть поставлен в самом начале раавнтия алгебры. Ясно, однако, что едва лн воаможно решать эту проблему в общем виде до тех пор, пока не созцана последовательная система обоаначенпй для различных степеней переменного. Действительно, до середины Х>'1 в. не появляется ни одного ") Гамильтон по ходу дела доказал эту теорему для матриц порядка 3 несколькими годами раньше ((Хт), стр.
566, 567). «*) Жордан не отмечает инвариантности полученного им канонического вида. Интересно, что к тому и«е он исследует вопрос не для матриц с комплексными алементами„а для матриц над конечным полем. Подчеркнем, с другой стороны, что уже в 1862 г. Грассман дал метод приведения матрицы (с комплексными элементами) к треугольному виду н явно указал на связь между атим приведением и проектнвными преобрааованиямн (Сез. Ма(Ь. %ег)«е, т. 1з, ).е(р«16 (ТепЬпег), 1896, стр, 249 — 254). 8 Н Втрбазн $$4 истОРичиокиИ ОчнРк к РИАВАК ч1 и У11 примера «евклидоваэ деления многочленов «), и, видимо, Стевин (который, в сущности, использовал обозначение показателя) был первым, кто прижел к мысли применить «алгоритм Евклида» для отыскания н.
о. д. двух много- членов ((1У), т. 1, стр. 54 — 56). Не считая атого примера, понятие делимости вплоть до середины ХЧ1!1 в. оставалось принадлежностью теории целых рациональных чисел. Новую главу арифметики о~крыл Эйлер, отважно распространив в 1770 г. понятие делимости на целые элементы квадратичного расжирения: пытаясь найти делители некоторого числа вида хз + 'вуз (х, у, в целые рациональные числа), он полагает х+ у ув — в.= (р + у У в) Х Х (г+ в г' — в) (р, д, г, в — целые рациональные числа) и, ваяв нормы атпх чисел, не колеблясь, утверждает, что тем самым он получил все делители числа хз + суз, имеющие вид рз + вдз (Ус).
Другнмп словами, Эйлер рассуждает таким образом, будто Я ( уг — в) есть кольцо главных идеалов; несколько позже он испольаует аналогичное рассуждение для применения метода «бесконечного спуска» к уравнению хз + уз = вв (дело сводится к записи того, что рз + Зуэ является кубом, что Эйлер и делает, полагая р + 7 у' — 3 = = (г + в )в З)з), Но уже з 1773 г. Лагранж доказывает (У!с), что делители числа вида хз + вуз не всегда сама имеют такой вид, п это был первый пример принципиальных трудностей, которые гораздо более четко выявились в работах Гаусса и его последователей, относящихся к делимости в полях корней из единицы *в); на эти поля, вообще говоря, яевозмоя»но непосредственно перенести основные свойства делимости рациональных чисел, существование н. о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
