Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пркдложкник 3. Пусть М вЂ” полупростой А-модуль, Я вЂ” простой А-модуль, Р— коммутант модуля Я. Абелевы группы Х„(Я, М) и Хл (М, Я) наделяются аноническими стпруктурами соответпственно правого и левого веюпорного Р-пространства (гл. ???, приложение ??, и' 7), Тогда [М: Я) = д?шоХл (Я, М); кроме того, существует единственный изоморфизм Т пространства Хл (М, Я) на пространство, двойственное и Х„(Я, М) такой, что для любых элементов и ч Хл (Я, М), р б Хл (М, Я) имеет место равенство (Т (р), и) =- и и. Пусть Ж вЂ” изотипная компонента модуля М типа Я.
Вследствие предложения 10 з 3 векторные Р-пространства Хл (Я, М) и Хл (М, Я) каненически отождествляются с Хл (Я, Л~) и Хл ()у', Я). С другои стороны, [М: Я) = [ЛУ: Я). Поэтому можно считать в дальнейшем, что модуль М вЂ” изотипный типа Я. Поскольку модуль Я моногенный (и, следовательно, конечного типа), то по теореме 1б) з 1, и' 5, [М: Я) = йшоХ„(Я, М), Кроме того, эта теорема показывает, что определенное в $1, и 4, отображение и — ~ Т (и) пространства Хл (М, Я) в Хп (Хл (Я, М), Хл (Я, Я)) = Хп (Х„(Я, М), Р) биективно.
Однако модуль Хр (Хл (Я, М), Р), по определению, двойстввн к Хл (Я, М), так что при ибХл(Я М) рЕХл(М, Я), по определению, имеем равенство Т (р) (и) = р и; следовательно, отображение х -~ Т (р) линейно относительно структур левых векторных Р-пространств; так как единственность отображения Т очевидна, доказательство предложения 3 закончено. 44 н.вурбэкз 162 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА Гл чш,гв Следствик. Если выполняются углов я предложения 3, то длина (М: Я) конечна тогда и только тогда, когда конечна о1ш„л.л (М, Я).
Тогда (М: Я) = йш2,'„(М, Я). Зто следует из предложения 3 и свойств двойственного векторного пространства (гл. 111, $4, и' 4). 4, Коммутант полупроотого модуля Теперь мы в два приема сведем изучение коммутанта полу- простого модуля к изучению коммутанта простого модуля. ПРедлОжение 4. Пусть Я вЂ” простой А-модуль, Р— его коммутант, М вЂ” изотипный полупростой А-модуль типа Я, С = = ХА (М) — его коммутант. Наделим Т = ХА (Я, М) каноническими структурами правого векторного Р-пространства и левого С-модуля (гл. 111, приложение 11, п' 7). а) Канонический гомоморфизм ($1, и' 4, 2)) кольца С в кольцо Хо (Т) биективен.
С-модуль Т прост, и его коммутант изоморфен телу Рг, противоположному Р. б) Каноническое отображение ($ 1, и' 4, 3)) модуля ТЯ ОЯ в М является изоморфизмом Т ® ОЯ на М для струюпур А-модуля и С-модуля. в) Контрмодуль модуля М полупрост и изотипен типа Т (Т рассматривается как С-модуль). Верны равенства 1А (М) = = а(шо(Т), 1с (М) =- н1шо (Я) (Я и Т рассматриваются как левое и правое векторное Р-пространство соответственно). Так как Я вЂ” моногенный А-модуль, то первое утверждение в а) является частным случаем следствия 2 теоремы 1 з 1, и' 5.
Р— тело, так что Т, рассматриваемый как левый модуль над кольцом Хо (Т), прост ($3, п' 1, пример 2), и его коммутант есть кольцо гомотетий правого векторного Р-пространства Т (з 1, и' 3, предложение 6), то есть изоморфен Рг; отсюда следуют остальные утверждения в а). В том, что касается структур А-модуля, утверждение б) является частным случаем теоремы 1б) $1, и' 5; формула (7) $1, и' 4 показывает, что канонический гомоморфизм тензорного произведения Т ® Я в М является также и гомоморфизмом С-модулей Р.
Равенство 1А (М) = О1шо (Т) следует из теоремы 1а) Е 1, и' 5. Наконец, рассмотрим Я (соответственно Т) как правое (соответственно левое) векторное простран- ю коммУтАнт и БикоммУтАнт ПОлУпгостого модУля 163 ство над Р'. Тогда Т 9 оЯ оток<дествляется с Я (б< УМТ (гл. 111, приложение 11, и' 9, предложение 9), Р' является коммутантом моногенного С-модуля Т и Я вЂ” свободный правый Рг-модуль. Следовательно, применив к 8 бЗ тТ теорему 1а) $1, п' 5, получим остальные утверждения в в). Слкдствик. Формулы М' = Т' ® „8 и Т' = Жл (Я, М') устанав- ливают взаимно однозначное соответствие между векторными под- пространствами Т' пространства Т и подмодулями М' модуля М, Всякое векторное надпространство Т' пространства Т является прямым слагаемым и имеет базис над телом Р. Всякий под- модуль М' модуля М является прямым слагаемым и изотипен типа Я (т 3, и' 3, предложения 7 и 8).
Поэтому следствие выте- кает нз следствия теоремы 3 1, и' 5, Пгвдложвнив 5. Пусть М = ~ М<, — разложение полупроьг<а стого А-модуля в прямую сумму его изотипных компонент Мю и С вЂ” коммутант модуля М. а) Пусть сю с Е С,— сужение с на Мю Тогда отображение с -<- (с<)ьг= является изоморфизмом кольца С на произведение ком- мутантов компонент Мю б) Модуль М, рассматриваемый как С-модуль, полупрост, и Мь являются его зотипными компонентами. Утверждение а) сразу следует из предложения Ю 3 3, и' 4.
С другой стороны, по предложению 4 каждая компонента МА является изотнпным полупростым модулем над кольцом Хл (Мь) и, следовательно, над кольцом С, так как сх = сь(х) при любых х ~ Мю с ~ С. Поскольку подмодуль Мь устойчив относительно бикоммутанта А-модуля М ($ 1, п' 4, предложе- ние 21) ($1, и' 3, предложение 5), то модуль Мь равен сумме изо- типных компонент С-модуля М (з 3, и' 4, предложение 11); следовательно, Мь является изотипной компонентой С-модуля М. б. Примененимг Усгпойчиееге тгодмодуели тпензорне<гс произеедеиий Пгкдложкние 6.
Пусть Я вЂ” простои А-модуль, Р— его ксммутант, Т вЂ” правое веюпорное пространство над Р, Я' — множество зндоморфизмов пространства Т. Для того чтобы подмодуль А-модуля Т 3о Я был устойчив относительно всех зндоморфизмов 164 полупгостыв ИОдули и кОльцА Гл. Унт, 1 4 и1б1 1, где и пробегает .~-, необходимо и достаточно, чтобы он имел вид Т' 3ОЯ, где Т' — векторное подпространпиво в Т, устойчивое относительно всех эндоморфизмов и й Я'. В самом деле, (и с3 1) (Т' ВОЯ) = — и (Т') г>рпЯ; предложение следует нч того, что отображение Т' — >.
Т' ~ЗОЯ является ивоморфивмом (для структуры порядка по включению) множества векторных подпространств пространства Т на множество подмодулей проиаведения Т 3 о Я (и' 4, следствие предложения 4). Пгкдложвник 7. Пусть Š— >пело, М вЂ” множество эндоморфигмов Е на его подтела, Р— подтело, состояи1ее из элементов Е, инвариантных относительно всех эндоморфизмов 1' Е М. Пусть Т вЂ” правое векторное пространство над Р; наделим Т (5>О Е структурой правого векторного пространства над Е. А(ля того чтобы некоторое надпространство пространства Т 8ОЕ было устойчиво относительно всех отображений 1 3 1, где 7' пробегает множество М, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид Т'(51ОЕ, где Т' — вектоРное подпРостранстео в Т.
Ясно, что зто условие достаточно. Для доказательства необходимости в кольце зндоморфизмов абелевой группы рассмотрим подкольцо, порожденное объединением множества М и кольца В правых умножений пространства Е; так как Š— простой В-модулав то Š— простой А-модуль. Кроме того, коммутант А-модуля Е содержится в коммутанте С В-модуля Е, причем С совпадает с кольцом левых умножений пространства Е ($1, и' 2, предложение 4). Но для того, чтобы левое умноягенне х ->- ах было перестановочно со всеми влементами ~~М, необходимо и достаточно, чтобы а г Р; иными словами, коммутант А-модуля Е отождествляется с Р. Теперь предложение вытекает из следствия к предложению 4 и' 4. Заметим, что предложение 7, яо существу, совпадает с предложением 10, гл.
11, 1 5, и' 5, и таким образом, мы получили новое доказательство этого предложения. У и р а ж н о н и я. 1) Пусть А — кольцо, ш — его мэксшяальный левый идеал,  — множество элементов Ь С А таких, что жЬ ~ ж. Показать, что В является в А наибольшим подкольцом, содержащим ш в качестве двустороннего идеала. Пусть М вЂ” А-модуль А,/ж, <р— коммутлнт и пикоммутлнт полупгостого модуля 465 каноническое отображение модуля А, на А,)ю, Р— коммутант модуля М; покааать, что формула иь (х) = <р (аЬ), где Ь б В, х =- <р (а) ч М, определяет элемент иь б В; кроме того, отображение Ь -ь иь является гомоморфизмом кольца В на тело Р, и его ядро есть ж. 2) Пусть Š— поле,  — алгебра (без единицы) над полем Е, имеющая базис ео еэ такой, что гэг =- ео е,еа — — гээ = О, езе, = еэ.
Пусть М вЂ” В-модуль В„() — кольцо эндоморфиэмов абелевой группы М, Л вЂ” подкольцо Й, порожденное единичным элементом и кольцом гомотеткй В-модуля М. Показать, что: а) А-модуль М не простой, но в нем имеется простой А-подмодуль Л' такой, что фактормодуль М/Л прост. б) Коммутант А-модуля М изоморфев полю Е. в) Кольцо гомотетий А-модуля М не плотно в своем бикоммутанте, 3) Пусть М вЂ” множество 47 рациональных чисел, рассматриваемое как Я-модуль. Каков его бикоммутаит? Показать, что М вЂ” простой модуль над своим бикоммутантом и что коиьцо гомотетий Я-модуля М ие плотно в своем бикоммутанте. 4) Пусть Х вЂ” поле, У вЂ” векторное пространства Кз над )г, Еы элементы канонического базиса алгебры матриц порядка 4 над нолем Х, отождествленной с кольцом А = 2л (У) (гл.
11, $7, и' 6). Пусть  — коммутативная подалгебра в А, порожденная единицей и матрицами Еьо Еаз н Ез,, Показать, что кольцо гомотетпй В-модуля У не плотно з своем бикоммутанте. *5) Пусть А — кольцо главных идеалов, М вЂ” А-модуль кручения. Показать, что кольцо гомотетий модуля М плотно в своем бикоммутанте. (Доказать, что всякое подмножество в М содержится в некотором подмодуле )У модуля М, обладающем в М дополнением и являющемся прямой суммой конечного числа неразложимых делиммх модулей и модуля конечного типа; для этого воспольвоваться предложением 5 4 1, и'3, и упражнениями 3 и 8 гл. т'11, $2; применить затем теорему 2 гл. Ч11, 1 4, и' 3.) эб) Пусть у — векторное пространство над телом Р размерности ~ 2, А = Хо (У) — кольцо эндоморфиамов пространства У, В— подкольцо в А, содержащее единицу кольца А. а) Предположим, что для любой системы из четырех элементов х„хэ, у„уз пространства у, в которой элементы х„хэ линейно независимы, существует и б В такой, что и (х,) .= уо и (хэ) = уз.
Показать, что тело Р (отождествленное с кольцом гомотетнй вространства У) является коммутантом В в кольце Я эндоморфизмов абелевой группы У и В плотно в () относительно своего бикоммутанта. б) Привести пример подкольца В в кольце А, содержащего единицу кольна А, такого, что В-модуль Г прост, но коммутант В в () отличен от Р (рассмотреть случай, когда пространство У получается из некоторого векторного пространства над некоторым надтелом Р' пплупРОстын ындули и ХОльцА гл. чш, 1 4 тела Р сужением на Р тела скаляров, и в качестве В взять кольцо Ро-эндоморфиэмов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
