Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬПА 179 г) Пусть уа — сопряженное к Г пространство, рассматриваемое как левое векторное пространство иад Вэ. Отображение и «-~и является изоморфизмом кольца А на некоторое подкольцо В кольца, противоположного про (У). Покааать, что при этом гомоморфиэме обраа т (М) (соответственно 1(М)) есть след на В идеала 1(Мо) (соответственно т (Мэ)), где Ме — надпространство в г', ортогональное к М„ д) Пусть пространство У имеет беснонечную раамерность с. Пусть т — правый идеал в кольце А, и б т. Покааать, что всякое проектирование пространства У иа и (У) принадлежит т. Пусть Я (т) — множество надпространств и ( у), где и пробегает т, н В (т)— сумма этих надпространств.
Показать, что: 1* всякое векторное подпространство, содержащееся в некотором М б 1г (т), принадлежит л- (т); 2' сумма двух поднространств, принадлежащих,к (т), принадлежит Я' (т), Докааать обратное утверждение. Покааать, что если, в частности, ш — максимальный правмй идеал кольца А, не имеющий вида с (Н), то Я (т) =- У н и' (ш) — максимальное множество векторных надпространств иа У, удовлетворяющее укааанным выпте условиям 1' и 2', вывести отсюда, что всякое надпространство М р л.(ю) имеет бесконечную коразмерность и в 9 (ш) имеются надпространства раамерности с.
Аналогичные характеристики имеют место для левых идеалов. а4) Пусть )« — векторное пространство бесконечной размерности с над телом В; рангом эндоморфиама и этого нространства называется размерность (конечная или бесконечная) образа и (Р) (равная коразмерности и-' (О)); ранг эндоморфизма и обозначается через о (и). а) Пусть и, э — эидоморфизмы пространства У и 0 (и) ( 0 (о). Покааать, что существуют элементы а, Ь б А =,КО (У), такие, что и = аоЬ. б) Для любого бесконечного кардинального числа и ( с через йэ обоаначнм множество эядоморфиамов и пространства У, у которых 0 (и) ( и.
Показать, что й„является в кольце А двусторонним идеалом и всякий двусторонний идеал кольца А, отличный от (О) и от А, раеел одному из й„(испольаовать а)). В частяости, в кольце А имеется наимеяьшлй двусторонний идеал, отличный от (О),— идеал «В эидоморфиамов конечного ранга и наибольший двусторонний идеал Х = =- 5, ~ А, состоящий из эндоморфизмов ранга ( с. 'в) Пусть  — базис пространства 1', Я вЂ” ультрафильтр на В, более тонкий, чем фильтр 9 дополнений к подмножествам мно«лестна В, кардинальные числа которых (с. Пусть рп, У б П,— проектирование нространства у на лодлространство, порожденное элементами надпространства (г в рааложении у в прямую сумму этого надпространства и надпространства, порожденного элементами  — б«.
Пусть 1 — левый идеал кольца А, порожденный идемпотентами 1 — рп, где (Г пробегает П. Показать, что левый идеал Х + 1П отличен от А. 12о полупростые мОдули и кольца гл, у1п, ь б Воли )1' — отличный от П ультрафильтр иа В, болев тонкий, чем Е, то 1)1+ 14, = А,, г) Пусть кардинальное число тела В (2'. Вывести иэ а), что кардииальвое число мяожества классов простых (АЯ)-модулей равно 21« (см. Ь 3, упражнение 2г) и Общ.
токол., гл. 1, Ь 8, упражненпе 14; в последнем упражнении эаметить, что пересечение г" и любого элемевтариого подмножества равиомощио с г). «5) Кольцо А иаэывается яримиживмым сме«а (или просто мриммгмивмым), если существует точный простой А-ьюдуль. Кольцо А наэывается аеааияр«стмм, если в вем иет двусторонних идеалов, отлвчвых от А и от (О).
а) Показать, что всякое кваэипростое кольцо примитивно. б) Покаэать, по всякое примитиввое кольцо иаоморфио некоторому плотному подкольцу кольца эвдоморфиамов некоторого векторпого пространства. Обратно, пусть А — подкольцо кольца эндоморфиамов Хп (У) векторного пространства У иад телом В и для любой пары элемептов э, у Е У, * Ф О, существует и Е А такой, что м (э) = у. Показать, что кольцо А примитивно. в) Покааать, что если кольцо А примитивно, то ненулевые элемевты его центра ие являются в А делителями нуля (испольэовать 6)). Вывести отсюда, что характеристика кольца А (гл.
1, Ь 8, и'8) либо О, либо простое число. г) Покаэать, что если кольцо А примитивно (соответственио квааяпросто) и «Е А — идемпотевт, то кольцо еАе примитивно (соответственно кваэипросто) (испольаовать б), а также упрюкиеипе 2в) Ь 1 и упражнение Ьа) $2)). д) Пусть А — примитивное кольцо, 1 и à — его левые идеалы. Показать, что еслк 1 ~ (0) и 1' ~ (0), то и произведение ") 1Г Ф (О) (испольэовать б)).
Аналогичное свойство справедливо и для правых идеалов. Вывести отсюда, что пересечение конечного числа двусторонних идеалов ~(0) кольца А не равно (О). е) Пусть А — кольцо, для которого существует точный пэотяпный полупростой А-модуль М. Показать, что А прим1ггггаио. 6) Пусть А — примитивное кольцо. а) Предположим, что элемеит 1+ аэ прв любом а Е А обратим в кольце А. Покааать, что А — тело (примевить упражиеиие 56), показав, что векторное пространство У не может иметь раэмерность ) 1) . б) Предположим, что для любых а, Ь Е А выполняется равенство а (аЬ вЂ” Ьа) = (аБ — Ьа) а. Показать, что А — тело (тем же методом).
В частности, примитивное коммутативное кольцо — поле. *) Определение проиэведенвя двух идеалов, используемое в этом к следующих упражнениях, см. в Ь 6, в' 1. ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА »81 7) Пусть А — кольцо. а) Показать, что кольцо матриц М„(А) примитивно тогда и только тогда, когда примитивно кольцо А (пспольаовать упражнение 5г) и упражнение 9 $ (). б) Показать, что всякий двусторонний идеал кольца М„(А) имеет впд Мг (а), где а — двусторонний идеал) кольца А, Вывестп отсюда, что кольцо М (А) квааипросто тогда и только тогда, когда квазипросто кольцо А.
в) Пусть А и  — коммутативвые кольца. Покааать, что если кольца М„(А) и М„(В) изоморфны, то г = в (рассмотреть фактор- кольца зтнх колец по макснмальным двусторонним идеалам, применяя упражнение 6)). 8) а) Пусть А кольцо, т его минимальный двусторонний идеал. Показать, что либо гз = (О), либо тз = г.
Во втором случае существует элемент а р т такой, что аг = П вывести отсюда, что существует ндемпотент в р с *акой, что я = ея для любого з б г, откуда с = вА = вг. Аналогичными свойствами обладают левые минимальные идеалы. б) Пусть в р А идемпотент; вА (соответственно Ав) является минимальным правым (соответственно левым) идеалом тогда и только тогда, когда еАв — тело, в) Пусть г, г' — изоморфвые минимальные правые идеалы кольца А.
Показать, что если гз = т, то всякий иаоморфизм с на г' имеет внд з -~- а'*, где а' р с'. Показать, что при т'з = с' произведение щ' равно т, а ври т» =- (0) равно (0). в9) Пусть А — кольцо. Правым (соответственно весим) поколем А нааывается сумма всех его минимальных правых (соответствекно левьгх) идеалов. Правый (соответственно левый) цоколь кольца А является полупростым правым (соответственно левым) А-модулем; нзотипные компоненты етого модуля называются основаниями. а) Покааать, что всякое основание а правого цоколя кольца А является двусторонним идеалом;сумма Ьминнмальных правых идеалов с нулевым квадратом, содержащихся в а, равна пересечению идеала а с его правым анвулятором в А и является двусторонним идеалом в А. б) Пусть некоторое основание а правого цоколя кольца А содержит минимальные правые идеалы с квадратом ~(0).
Покааать, что пересечение а с его левым аннулятором в А сводится к 0 (воспользоваться упражнением 5в)). в) Показать, что в предположениях б) всякий правый идеал кольца а (которое, вообще говоря, не имеет единицы) является также правым идеалом в А (заметить, что всякий минимальный правый идеал кольца А, содержащийся в о, является мянималыпвм правым идеалом в а, п обратно). г) Показать, что если правый цоколь кольца А не содержит минимальных правых идеалов с нулевым квадратом, то всякий правый идеал т кольца А, являющийся правым А-модулем конечной длины, полупэостыи модули и кольца гл.
умц 1 5 содержится в этом цоколе. (Заметить, что если идемпотеит е содержится в г, то г является прямой суммой ег и правого аииулятора алемента е в ц провести индукцию по длине г.) е(0) Пусть А — примитивное кольцо, плотное подкольцо кольца эидоморфизмов Хр (г) векторвого пространства Р иад телом В. а) Кольцо А содержит ликейвые отображения копечиого равга тогда и только тогда, когда его правый цоколь 9 (упражнение 9) не сводится и О. (Пусть с — минимальный правый идеал кольца А,' Рассуждая от противиого и польвуясь упражнением 86) и плотностью кольца А, а также существованием проектирования е б г (упражкевие 8а) и 5д)), убедиться, что объедявеиие образов и (у), и б г является иодпростраиством раамерности 1.) В этом случае цоколь 9 имеет едииствевиое освовавие (упражвеиие 5д)).
6) Теперь будем предполагать, что б) ~ (0). Пусть г минимальный правый идеал кольца А. Показать, п.о элемеиты и б г могут быть записаны в виде х -е (х, х') а, где а не зависят от и и х' пробегает подпростравство Р' сопряженного к Р пространства уе (испольвовать плотиость кольпя А). Показать, что подпростракство г" ие зависит от рассматриваемого идеала г (см. укра'киевие 8в)) и соотношение (х, х') = 0 для любого х' б У' влечет х = 0 (см. упражяепие бд)). Вывести отсюда, что б) есть множество эидоморфизмов и пространства у, имеющих конечный ранг, ядра которых и-г (О) являются пересечением конечного числа гиперплоскостей х~ ' (0), где злемеиты *,'. принадлежат $" (использовать плотвость кольца А). Равеиство А = щ может быть выполнеыо только в случае, когда у коиечкомерво и А = Хп ( г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
