Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 39
Текст из файла (страница 39)
6. Степени, вгнсоты, индексы Пэвдложенив 13. Пусть  — простое кольцо, г — длина модуля В„М вЂ” В-модул . а) Модуль М свободен тогда и только тогда, когда длина 1в (М) бесконечна или кратна г. б) В этом случае длл любого базиса (и,)нг модуля М выполняегпся равенство 1з (М) = г Сагб (1) (откуда следует, что Сагй (1) не зависит от выбора этого базиса).
в) Если на модуле'М существует сгпруктура правого В-модуля такая, что (Ьх) Ь' = Ь (хЬ') длл Ь Е В, Ь' с В', х Е-М, то М— свободный левый В-модуль. В самом деле, пусть М вЂ” свободный модуль с базисом (и,),ен Тогда М есть прямая сумма подмодулей Ви„каждый из которых В-изоморфен В, и имеет, следовательно, длину г; поэтому 1о(М) = г Сагй (1). Ясно, что, обратно, если длина 1в (М) бесконечна или конечна и кратна г, то М вЂ” прямая сумма подмодулей, изоморфных В„и, следовательно, свободна. Это доказывает утверждения а) и б).
Пусть теперь выполнено условие в). Левый В-модуль изоморфен левому В-модулю М®зВ, (гл. 111, приложение 11, и'и' 3 и 4); так как модуль В, является прямой суммой г В-изоморфкых левых модулей, то и М ззВ, является прямой суммой г В-изоморфных левых модулей, откуда следует, что 1з(М) бесконечна или кратна г. Слвдствив, Пусть А — кольцо,  — простое подкольцо в А, содержаи1ее его единицу, Кольцо А, рассматриваемое как левый модуль над кольцом В, является свободным модулем, и все базисы этого В-модуля равномои1ны. В самом деле, структуры левого и правого А-модулей, определенные на кольце А его умножением, унитарны и удовлетворяют условию в) предложения т3. Гл.
Уыь полупростык ИОдули и кольцл Предположение, что подкольцо В содержит единицу кольца А, обеспечивает увитзрность структур В-модуля на кольце А, без етого предположения следствие неверно: зто видно из примера, в котором А является прямой композицией поднольцз В н произвольного второго подкольцз. Опгвдвлкник 4.
Пусть А — ольцо, и  — проспим подкольцо е А, содержащее его единицу. Степенью кольца А над В называется кардинальное число любого базиса кольца А, рассматриваемого как левый В-модуль. Степень кольца А над В обозначается [А: В !. Если  — тело, то [А: В1 совладает с размерностью А, рлссмнтриваемого как левое векторное пространство нзд В. Кольцо Ве просто (и' 4, следствие 3 теоремы 2), н можно определить степень [Ае: Ве! кзк кардинальное число любого базиса А, рассматриваемого кзк правый В-модуль. Однако числа [А: В! и [Ае: Во! не обяззны быть рзвньсчн даже в случае, когда  — тело; одно нз них может быть конечно, з другое бесконечно Я 2, упрзжненпе 4).
Пгвдложкнив 14. Пусть А — кольцо,  — простое подкольцо е А, С вЂ” простое подкольцо е В, В и С содержат единицу кольца А. Тогда 1А: С! = 1Л: В1 [В: С1. В самом деле, пусть (а„) сг — базис кольца А, рассматриваемого как левый В-модуль, и (бг)згз — базис кольца В, рассматриваемого как левый с-модуль. тогда семейство (ьса„)пм бмг„з является базисом А, рассматриваемого как левый С-модуль. Пгндложиник 15.
Пусть А — кольцо,  — простое подкольцо е А, содержащее его единицу, М вЂ”. левый В-модуль. Тогда !в (А Зв М) = [А: В1 [в (М), где А <з) в М рассматривается как лееый В-модуль. Пусть Я вЂ” простой В-модуль, и т — длина левого В-модуля Л ббвЯ; имеем Равенство !в(А Ц,,М) = т[„(М). Следовательно, предложение 15 достаточно доказать для одного В-модуля М конечной длины, не сводящегося к О. Однако при М =- В, произведение А б[)вМ изоморфно левому В-модулю А (гл, 111, приложение 11, и'и' 3 и 4) и длина 1в(А ЯвМ) равна [А: В[ 1„'(Вз) (предложение 13б)), что и знканчивает доказзтельство.
177 простыв и полгпростыв кольцл Опрвдвлвнив 5. Пусть А — простое кольцо, и  — простое подкольцо в А, содержащее его единицу. Индексом подкольца В в А называется длина А-модуля А <в)ВЛ<, гдв Л вЂ” простой левый В-модуль. Этот индекс обозначается 1(А, В). Высотой кольца А над подкольцом В называется длина В-модуля, получаемого из неко<порезе простого А-модуля сужением кольца операторов до В.
Высота А над В обозначается Ь (А, В). Если А и  — алгебры конечного ранга нед еягебраически замкнутым полем, то по теореме 3 < (А, В) = Ь (А, В). Так как модуль А, изоморфен левому А-модулю А ®ВВ, (гл. П1, приложение 11, и' 4) и В, является прямой суммой 1 (В,) подмодулей, изоморфных Л', то имеем равенство 1А (Ав) < (Ав В) 1В (Вв) (2) О другой стороны, пусть Р— левый А-модуль; по определению Ь(А, В) формула 1В (~ ) Ь (Ав В) 1А (~ ) (3) справедлива для простого А-модуля Р, а следовательно, и для любого модуля Р. Наконец, применяя формулу (3) и предлон<ение 15, получаем равенство [А: В) = 1В (АЗВЛ') = = Ь (А, В) 1„(А <ВВ Л'), то есть [А:В)=Ь(А, В)<(А, В). (4) Из формулы (2) следует, что индекс 1(А, В) всегда конечен, а формула (4) показывает, что степень [А; В[ конечна тогда и только тогда, когда конечна высота Ь (А, В).
Пусть С вЂ” простое подкольцо в В, содержащее его единицу. Из формул (2) и (3) следуют равенства <(А, С) = <(А, В)<(В, С), Ь(А, С) =Ь(А, В) Ь(В, С). (5) (6) Пгвдложвнив 16. Пусть А — простое кольцо,  — простое подкольцо в А, содержащее вго единицу, М вЂ” А-,модуль чь (0). Если длина 1В(М) конечна, то а) коммутант В' В-модуля М вЂ” простое кольцо, и коммутант А' А-модуля М является в В' простым подкольцом, содержащим единицу В', б) 1(В', А') =Ь(А, В), Ь(В', А') = 1(А, В), [В': А') = =- [А: В[. <2 н. вгргеии (78 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА Гл, чп<,15 У п р а ж н е н и я. 1) Пусть А — полуяростое кольцо. Показать, что длины А-модуля А, и Ае-модуля А„равны.
2) Пусть А — полупростое кольцо, А; (1 ( < ( г) — его простые компоненты, о < — простой А-модуль, изоморфный минимальному идеалу кольца А; (1 ( < (г), т< (1.( < ( <) — длина А;-модуля (илк А-модуля) (А<)ю Пусть М вЂ” А-модуль, л< — длина его нэотипной компоненты типа о< (1 ( < ( г); показать, что модуль М моногенен тогда и только тогда, когда л; ( яч при всех <, 1 ( < ( г. *3) Пусть г — векторное пространство над телом 11, А = Хр (У) — его кольцо зндоморфизмов.
а) Обозначим через г (М) (соответственно 1 (М)), где М вЂ” векторное подпространство в у, правый (соответственно левый) идеал кольца А, состоящий из зндоморфнзмов и пространства У таких, что и ( у) < М (соответственно и-' (О) ) М). Показать, что отобран<ение М вЂ” ~- т (М) (соответственно М -<. 1(М)) является строго возрастающим (соответственно строго убывающим) отображением множества векторных подпространств пространства У на множество правых (соответственно левых) идеалов кольца А, обладающкх дополнением в А, (соответственно в Ал), или, что то же самое, порожденных ядемпотентом кольца А (см.
1 1, упражнение 2). Имеют место равенства: г (М П Д<) = т (М) П г (Д<) 1 (М () Д<) = 1 (М)+ 1 (Д<). г(М+Д<)=г (М) )-т()Ч), 1(М+Д<) =1(М) й 1(Д<) б) Для того чтобы правый идеал г (соответственно левый идеал 1) кольца А был минимальным, необходимо и достаточно, чтобы он имел вид г (М), где равмерность М равна 1 (соответственно вид 1(М), где факторраэмерность М равна 1).
Вывести отсюда, что правый идеал < (соответственно левый идеал 1) имеет конечную длину л< тогда п только тогда, когда он имеет внд г (М), где размерность М равна т (соответственно вид 1 (М), где факторразмерность М равна т). Рассмотреть частный случай, когда пространство г' конечномерно. в) Пусть М, Х вЂ” подпространства в )<, М чь(0) и <Ч чь у. Покааать, что пересечение г (М) П 1 (Д<) не сводится к О. По формуле (3) (в(М) = Ь(А, В) (А(М), то есть Ь(А, В) и 1„(М) конечны. Отсюда по следствию 1 теоремы 2, и' 4, кольца А' и В' просты и (А (А;) = (А(М), (в (В;) = (л(М) = =Ь(А, В) (А(М). Ввиду формулы (2) получаем 1(В', А') = = Ь (А, В). А'-модуль М имеет конечную длину, и кольца гомотетнй 'Аы и Вм совпадают со своими бикоммутантами (и' 4, следствие 2 теоремы 2); поатому можно поменять ролнмн, с одной стороны, А и В' и, с другой стороны, В и А'; отсюда Ь (В', А') = = 1 (А, В). Ив'формулы (4) следует тогда, что (В': А ') = — (А: В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
