Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отображение (а, Ь) -+. аб является ассоциативным внутренним законом композиции в множестве левых идеалов (соответственио правых двусторонних идеалов) кольца А; так же, как и для любого ассоциативного закона, определяется и-я степень левого (соответственно правого двустороннего) идеала: а" = а"-'а, и ) 1; кроме того, полагают ае = А.
Тогда а"+' с: а" для любого и > О. Если а„а„..., а„— двусторонние идеалы в А, то а,а, ... а„ с= а, П аз П ° ° П а. Опгкдклкник 1. Пусть А — кольцо. Элемент х (соответственно идеал а) кольца А называется нильпогпентньиь, если существует целое число и ) 0 такое, что х" = 0 (соответственно а" = (0)). Идеал кольца А, все элементы которого нильпотентны, называется нильидеалом.
3 а и е ч а н и я. 1) Если элемент х Е А нильпотентен, то 1 — х обратим. В самом деле, пусть х"=0 и у=1+х+аз+... ... + х"-'. Легко проверить, что у (1 — х) = (1 — х) у = 1. 2) Идеал а нильпотентен тогда и только тогда, когда существует целое п) 0 такое, что произведение любых и элементов идеала а равно нулю. 3) Нильпотентный идеал, очевидно, является нильццеалом, но обратное, вообще говоря, неверно; нильидеал а ~ (0) может даже быть таким, что а" = а (упражнение 2). х. 2'адикал модуля Опгкдклкник 2.
Радикалом А-модуля М называется подмодуль, являющийся пересечением всех его максимальных подмодулей, или, что то же самое, множество элементов модуля М, аннулируемых всяким гомоморфизмом модуля М в простой А-модуль. Говорят, что модуль М без ради ала, если его радикал — нуль.
Если, например, и — левый идеал кольца А, то утверждение что А/и без радикала, равносильно тому, что и есть пересечение максимальных левых идеалов. 188 полз простыв модули и кольца гл. чпн а 8 Может случиться, что в модуле М вет максимальных подмодулен; в атом случае модуль М совпадает со своим радякалом (1 3, управе кение 8). До самого конца атой главы радикал А-модуля М мы будем обозначать через Ял(М) или Я(М). 11гкдложкнив 1. Если М вЂ” модуль конечного типа, не сводя- и)ийся к О, то Я (М) Ф М. Это следует из существования в М максимальных подмодулей ($ 3, предложение 4). Пгкдложкнив 2. Пусть М, Лг — А-модули и у — гомоморфизм модуля М в Лг, Тогда у (Я (М)) с Я (Лг).
В самом деле, пусть д — гомоморфизм модуля Л в простой модуль; тогда д. у аннулируется на Я (М), так что д аннулируется на у (Я (М)), откуда и следует предложение. Пгвдложкник 3. Пусть М вЂ” А-модуль и Л' — его подмодуль. а) Я (Лг) ~ И (М). б) Я (М ЙЧ) ~ (Я (М) + )Ч) /Л') если Лг с: Я (М), то И (М ЙЧ) = = И (М)/Л". Утверпсдепие а) и первая часть б) немедленно следуют из предложения 2.
Вторая часть б) вытекает из существования в случае Л' с: Я (М) взаимно однозначного соответствия между максимальными подмодулями в М и максимальными подмодулями в МЙЧ (гл. 1, з 6, и' 13, теорема 6). Слкдствик 1. Радикал модуля М является наименьшим из подмодулей Л' таких, что МЙЧ без радикала. В самом деле, если фактормодуль МЙЧ без радикала, то по первой части предложения 3 И (М) + Л = Л', откуда Я (М) ~ Л'.
Обратно, если Л' = Я (М), то И (МЙЧ) = (0) по второй части предложения Зб). Заметим, что могут существовать такие подмодули Л' з И (М), что радикал я (8ХЙЧ) ке сводится к О (замечание к предложению 8, и' 3) . Слкдствиз 2. Пусть (М,)цп — некоторое семейство А-модулей. Радикал произведения Ц М, содержится в произведении радимг колов И (М,); радикал прямой суммы модулей М, равен прямой сумме радикалов 31 (М,), РАДИКАЛ 189 В самом деле, пусть Дт„— максимальный подмодуль в М,; тогда произведение Д/,х Ц М„будет максимальным подмодуттФ6 лем в Р = Ц М,; следовательно, Я(Р) содержится в каждом мт проиэведенин Я (М,) х Ц М„и пересечением этих произведете тт ний будет Ц Я (М,), откуда и следует первое утверждение. мг Пусть 8 с: Р— прямая сумма модулей М,; аналогично предыдущему можно убедиться, что сумма подмодуля йт, и модулей М„ с индексами ~ т является максимальным подмодулем в д, так что Я (8) содержится в (прямой) сумме радикалов Я (М,); но ввиду предложения За) выполняется и обратное включение Я (М,) с: Я (8), г ~1, откуда следует второе утверждение.
Следствие 3. Пусть М вЂ” А-модуль конечного типа; если его подмодуль Р обладает свойстпвом Р + Я (М) = М, то Р = М. В самом деле, по предлонтению Зб) Я (М/Р) = М/Р; но фактор- модуль М/Р конечного типа, и иэ предложения 1 следует равенство М/Р = (0). Предложение 4, Пусть М вЂ” А-модуль с конечной системой образующих (хт) теи „. Дла того чтобы элемент х Е М принадлежаг Я (М), необходимо и достаточно, чтобы при любых а; ~ А (1 <1<к) элементы хт + а,х (1 <1<п) составллли систему образующих модуля М, В самом деле, пусть х Е Я (М), и Р— подмодуль, порожденный элементами х, + а;х.
Ясно, что Р + Я (М) = М, так что Р =- М по следствию 3 предложения 3, Обратно, пусть х к Я (М); тогда в М найдется максимальный подмодуль /т/ такой, что х к /т'. Следовательно, Ах + Дт = М; поэтому для всякого индекса г существует такой элемент ат г А, что х; Š— а;х + Л', откуда х, + а,х г Ф, и элементы хт + атх (1 <т'<и) не порождают М. ПРедложение 5. Длл тпого чтобы А-модуль М был без радикала, необходимо и достаточно, чтобы он был изоморфен некоторому подмодулю произведения простых А-модулей. Пусть модуль М беа радикала. Существуют семейство (Я,)мт простых А-модулей и семейство (/,)тет гомоморфиэмов модуля М ПОЛУПГОСТЫИ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ.
ЧПК $ З в В, такие, что пересечение ядер ~, равно (0); отображение х -~- Ц, (х))ыг является тогда инъективным гомоморфизмом модуля М в )1В,. Обратно, пусть М вЂ” подмодуль произведе~ег ния П В„простых модулей, "для любого элемента х~О модуля мг М найдется индекс ~ Е 1 такой, что рг,х~ О и сужение у отображения рг, на М является гомоморфизмом модуля М в простой модуль Ве причем у (х) ~ О; отсюда следует, что модуль М без радикала.
Слкдствик. Всякий полупростой модуль является модулем без радикала. З..Радизса г кольца Опгвдклкник 3. Пусть А — кольцо. Радикалом кольца называется радикал Л-модуля А„то есть пересечение максимальных левых идеалов кольца Л. Говорят, что кольцо А без радикала, если его радикал — нуль. До самого конца этой главы мы будем обозначать радикал кольца А через Я (Лц Пгвдложкник 6. Пусть А — кольцо. а) Я (А) есть пересечение аннуляторовпростыхлевыхЛ-модулей. б) Я (А) есть наименьший из аннуляторов полупростых левых А-модулей.
В самом деле, утверждение, что х с А принадлежит аннулятору любого простого А-модуля, равносильно тому, что х принадлежит аннулятору любого элемента любого простого А-модуля, то есть (з 3, и' 1, предложения 2 и 3) принадлежит всем максимальным левым идеалам кольца А; это доказывает а). Ясно, что аннулятор всякого полупростого Л-модуля является пересечением аннуляторов простых А-модулей, то есть содержит Я (А). Наконец, пусть 6 — множество классов простых А-модулей (з 3, п' 2); прямая сумма х~~ ~А является полупростым модулем, хее и вследствие а) Я (А) — его аннулятор; отсюда следует б).
Из предложения 6 вытекает, что радикал Я (А) является двусторонним идеалом кольца А . 191 РАДИКАЛ Слвдствив 1. Пусть А — кольцо, М вЂ” А-модуль. Тогда Я(А) М ~ Я(М). В самом деле, радикал Я (А) аннулирует все простые А-модули (предложение 6), и следовательно, всякий гомоморфизм модуля М в простой А-модуль аннулируется на И (А) М. 3 з м е ч з н и е. Заметим, что равенство И (М) = И (А) М верно не всегда, даже если модуль М конечного типа (см. замечание к предложению 8). Слвдствив 2 (лемма Накаяма). Пусть М вЂ” А-модуль конечного типа. Если его подмодуль Лг обладает свойством Лг + Я (А)М= =М, то Лг=М.
Это вытекает из следствия 1 предложения 6 и следствия 3 предложения 3 и' 2. Слвдствив 3. Пусть М вЂ” А -модуль конечного типа, т— правый идеал в кольце А, содержащийся в Я (А). Если (Ав/ю) ВАМ = (О), то М = (О), В самом деле, тензорное произведение (Ав/в) ЯАМ канонически изоморфно М/(тМ) (гл.
1?, приложение 11, следствие предложения 4). Предположение, сделанное в следствии, означает тогда, что М = тМ; отсюда М = (О) (следствие 2). Слвдствив 4. Пусть М, Л/ — А-модули, и — А-линейное отображение модуля М в Лг, и т — правый идеал кольца А, содержащийся в Я (А). Если отображение 1 ® и: (Ае/т) ®АМ -+. (Ав/ж) ЗАЛ/ сюрьективно и модуль Л/ конечного типа, то отображение и сюръективно.
В самом деле, (А„/т) ®Аи (М) = (Ав/ю) ЗАЛг, следовательно, (А в/ю) (з) л (Лг/и (М)) = (О ), и по следствию 3 Л'/и (М) = (О). Нгвдложвнив 7. Пусть А — кольцо, п — его двусторонний идеал. Тогда Я (А/и):э (И (А) + п)/и. Если п с: Я (А), то И (А/н) = И (А)/и. Это вытекает из предложения 3 и того факта, что модули А,/и и (А/и), имеют одно и то же кольцо гомо етий, то есть одни и те же подмодули и один и тот же радикал. Слкдствив. Радикал кольца А является наименьшим ив его двусторонних идеалов п таких, что А/и бег радикала. полупгостыи модули н кольца гл. чш, ) 6 192 Элемент х кольца А нааывается обратимым слева (соответственно справа), если существует у Е А такой, что ух = 1 (соответственно ху = 1). Элемент у называется тогда левым (соответственно правым) обратным для х.
Утверждение, что элемент х обратим слева (соответственно справа), равносильно тому, что х является образующим модуля А, (соответственно Ав). Ткогкмя 1. Пусть А — кольцо, Д'ля того чтобы элемент х с А принадлежал Я (А), необходимо и достаточно, чтобы при любом а ц А элемент 1 — ах был обратим слева. Так как 1 является образующим модуля А„то утверждение теоремы немедленно следует из предложения 4. Слкдствнк 1. Радикал Я (А) является наибольшим иг двусторонних идеалов а таких, что элемент 1 — ах обратим при всех а б а. Ввиду теоремы 1 достаточно показать, что элемент 1 — х обратим при всех х Е Я (А).
Пусть у Е А и у (1 — х) = 1; тогда г = 1 — у = — ух г Я (А) и, следовательно, найдется у' г А такой, что 1 = у'(1 — г) = у'у. Таким образом, элемент у обратим (гл, 1, з 2, и' 3, предложение 4) и элемент 1 — х = у ' также обратим. Слкдствик 2. Е4усть А' — кольцо, противоположное к А. Тогда Я (Ае) = Я (А). Это сразу вытекает из следствия 1. Из этого следствия получается, что Я(А) является пересечением максимальных правых идеалов кольца А.
Слкдствик 3. Всякий нильидеал (левый или правый) кольца А содержится в Я (А). Пусть и — левый нильидеал кольца А и х ~ и. Элемент ах при любом а ~ А принадлежит идеалу п, то есть ннльпотентен; отсюда следует, что элемент 1 — ах обратим (и' 1, замечание 1); поэтому х ~ Я (А). Для правых идеалов утверждение доказывается переходом к кольцу Ае. 3 а м е ч а н н е. Ннльпотентный элемент кольца А может не входить в з) (А): гто видно нз прнмера, где А — кольцо матриц мг (Р) над телом (см. 1 5, и' 4, теорема 2). В те же время нсякнй ннльпетентный элемент чеппгре кольца А порождает ннпьпотентный дву- 193 РАДИКАЛ сторонний идеал и, следовательно, принадлежит И (А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
