Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 45
Текст из файла (страница 45)
а) Показать, что псевдорегуляриое кольцо является кольцом Цориа (упражнекке 13), в котором всякий необратимый элемевт является левым к правым делителем пуля. б) Показать, что факторкольцо псевдорегуляриого кольца псевдорегулярно (см. упражиеиие 13д)). в) Показать, что центр Я псевдорегуляриого кольца Л является псевдорегуляркым кольцом (показать, что если а"ха" = я", где а р Я и х 5 А, то аз"х" б Я при любом й ~ 1). г) Показать, что кольцо А, определенное в упражиеипи 2, псевдо- регулярно, ио произведеияе А ке псевдорегулярио. д) Пусть Л вЂ” псевдорегуляриае кольцо! для любого простого числа р р-компоиеита А, аддитивиой группы Л (гл.
Ч11, 5 2, п' 2) является в кольце Л идеалом, либо равным нулю, либо содержащим вдемпотеит из центра 2 кольца Л. (Пусть е — единица кольца Л; используя в), заметить, что если элемеит ре пе иильпотевтеи, то иайдется такой злемеит х 5 2, что (ре)"х (ре)" = (ре)" для некоторого числа я.) Вывести отсюда, что если кольцо А удовлетворяет, кроме того, условиям упражиеяия 7а) 1 2, то оио будет прямой суммой кекоторого (коиечкого) числа компокеит Л и некоторой алгебры над полем 9 рациональных чисел *). *15) Кольцо А иазызается рааулхрнъька если для любого а 5 А существует злемеит х б Л такой, что аха = а.
а) Для того чтобы кольцо А было регулярным, иеобходимо п достаточно, чтобы всякий его моиогекиый левый идеал Аа обладал *) Упражнение 14д) сообщил иам И. Каплакский. РАДИКАЛ 203 в А» дополнением нли (что то же самое) порождался некоторым пдемиотентом, б) Покааать, что сумма двух мовогенных идеалов регулярного кольца А является моногенным идеалом (сзести доказательство к слуяаю суммы А»г+ А»з, где»п»з идемпотенты и езег -= О, и рассмотреть элемент е = »1 +»з — »гез).
Вывести отсюда, что пересечение двух моногеиных левых идеалов является моногенным левым идеалом (рассмотреть левые аннуляторы этих идеалов). в) б»акторкольцо регулярного кольца регулярно; любое произведение регулярных колец регулярно. г) Показать, что всякое регулярное кольцо есть кольцо беэ радикала (см. упражнение 46)); вывести отсюда, что всякий двусторонний идеал кольца А является пересечением максимальных левых идеалов, содержапнгх его. д) Показать, что центр регулярного кольца регуляреи (см. упражнение 14в)).
е) Показать, что кольцо зпдоморфизмов векторного пространства регулярно (см. $5, упражнение 3). «16) а) Пусть А регулярное кольцо (упражнение 15). Показать, что в модуле А," вснкий нодмодуль М конечного типа обладает дополнением (используя упражнение 15б), провести индукцию по в: заметить, что проекция )»' подмодуля М на первый миоин»тель в А," является моногевкым левым идеалом, и вывести отсюда, что модуль М () А," ~ конечного пша; затем рассмотреть дополнеяпе »г' в А и дополнение М )1 А", в А,").
б) Вывести из а), что если кольцо А регулярно, то всякое кольцо матриц М, (А) регулярно (см. $1, упражяение 9). *17) а) Пусть кольцо А не имеет нильпотентных элементов ~О. Показать, что всякий ндемпотеит е Е А лежит в его центре (рассмотреть элементы (1 — ») хе п ех (1»)). б) Пусть А — регулярное кольцо (упражнение 15), не имеющее иильпотентных элементов Ф О. Показать„что для любого а Е А, отличного от нуля, найдется элемент х Е А такой, что » = ах = ха— ндемпотент (лежащпй в центре кольца А) и »а = а» = а, вывести отсюда, что для любого у Е А существует з Е А такой, что уа = а», и, следовательно, всякяй левый илн правый идеал кольца А нвляется двусторонним.
в) В предположениях упражнения б) показать, что всякое фактор- кольцо кольца А регулярно п ве имеет нильпотентных элементов че О (кспольаовать б)). Вывести отсюда, что кольцо А изоморфно некоторому подкольцу С произведения В = П В„тел Вп содержащему ~зг единицу В и такому, что рг„(С) = Р, длн любого гЕ Е (используя б), показать, что регулярное примитивное кольцо без ннльпотевт- полупРОстып ЖОдули и кОльцА Гл. ухы, 1 б иых элемевтов является телом; см. упражиевпе 7 и 1 5, упражиеиие 5д)). г) Пусть (В,), 1 б Е,— бесконечное семейство тел, и 5 — миожество с возрастающей фильтрацией, состоящее из частей множества Е и образующее покрытие Е.
Через Вл, Н б 5, обозначим двусторонним идеал произведевия В = П ВО являющийся произведеиием множеств Ыг В, для эбН и множеств В; = (0) с В, для г бН. Показать, что подкольцо А, порожденное в В единицей и объединением идеалов Вл, регулярно и ие имеет иильпотеитвых элемеитов чь О. 18) Кольцо А иаэывается оииъно и-рогуаирньш (л ~ 0 — целое число), если для любого а б А существует х б А такой, что хаи+т = а". а) Показать, что для всякого элемента Ь б Я (А) Ь" = 0 (заметить, что если Ь" = хЬи+т, то 1 — хЬ обратим). б) Показать, что сильно и-регуляриое примитивное кольцо пзоморфво кольцу матриц йуг(Ю) иад телом, причем и ( л (заметить, что если подкольцо А плотно в кольце с(У) эидоморфизмов векторного прострекотав Граэмериости )и, то иайдется такой элемент Ь б.В(У), Ь" ~О, Ь =О).
в) Показать, что сильно и-регуляриое кольцо является кольцом Цориа (упражиевие 13).(Заметить прежде всего, что если ха"+1 = а", то х"аз" = а"; используя б), упражяепие 7а) 1 6 и лемму 2 $ 2, показать, что а"ха" — а" б И (А). Наконец, с помощью упражкеиевия 10а) показать, что если элементы у, з удовлетворяют условиям у = эуэ и уху — у б Я(А), то существует злемевт г б А такой, что у= гуэп (гу)З = су.) Показать, что если кольцо А, кроме того, без радикала, то оио псевдорегулярво (упражиеиие 14). г) Показать, что сильно и-регуляркые кольца беэ иильпотекткых элементов ~0 совпадают с регулярвыми кольцами бев вильпотектиых элементов чь О.
(Заметив, что если о — идемпотевт, лежащий в центре кольца А, и еа" = а", то (оаи-т — а"-')з = О, свести доказательство к случаю и = 1. С помощью а) п б) показать затем, что кольцо А изоморфио некоторому подкольцу проиэведевия тел, и вывести отсюда, что если а = хаз, то ха = е является идемпотеитом, лежап1иы в цептре кольца А.) д) Показать, что кольцо, определенное в упражиеиии 2, ие является сильно и-регуляриым пи для какого л. *19) Пусть А — артпково кольцо и (А (А,) = л. а) Показать, что А сильно л-регулярно (упражвеиие 13).
б) Покааать, что А псевдорегулярко. (Пусть (И(А))г = (0) и пв = 1и (В,), где В = А/И (А); показать сначала, что для любого Ь б В существует элемент у Р В, перестаиовочиый с Ь и такой, что Ьж+ту = Ьоь, свести доказательство к случаю, когда  — простое кольцо, и применить лемму 2 1 2. Вывести отсюда, что для любого а б А существует э б А такой, что а"'"хаюг = аж".) РАДИКАЛ 205 в) Пусть;7 — множество неннльпотентных левых идеалов кольца А. Покааатги что всякий левый идеал кольца А является прямой суммой конечного числа идеалов Ае~ («1 — идемпотенты) — минимальных элементов множества 7 — левого идеала, содержащегося в радикале (заметнт«и что ввиду а) всякий минималькый элемент 1 множества .7 содержит идемпотент е ~0 такой, что 1 = 1«).
г) Для того чтобы левый идеал и кольца А имел вид Ае, где е ~ 0 — идемпотент, необходимо п достаточно, чтобы в был прямой суммой конечного числа идеалов Ае; — минимальных элементов множества,У, причем е«составляли бы систему ортогональных идемпотентов (использовать в)).
20) Артииово кольцо А называется примарним, если А/Я (А)— простое кольцо, и вполне примарнылн если А/Я (А) — тело. Показать, что всякое примарвое артииово кольцо изоморфно кольцу матриц ЗХ„(В) над вполне примарным кольцом (испольаовать упражнения 11 и 19г) 1 6 и упражнение 9 $1). 21) Пусть А — артиново кольцо, 1 — неразложимый невильпотентяый левый идеал, то есть (упражнение 19в)) минимальный алемент множества ненильпотентных левых идеалов; имеем 1 = Ае, где е идемпотент ~0. а) Показать, что всякий левый идеал, содержащийся в 1 н ~1, содержится в в = ! П Я (А); показать, что кольцо «А«, иэоморфное кольцу эндоморфизмов А-модуля 1 (1 1, упражнение Зб)), вполне примарно (упражнение 20) (см.
! 2, предложение 4). Если « — канонический образ е в А = А/Я (А), то фактормодуль !/н является простым А-модулем, изоморфным А«. б) Длн всякого А-модуля М «М явллется («А«)-модулем. Если Ь« — подмодуль в М, то е (М/У) «Л«-изоморфен («М)/(«Ь«); кроме того, (А«) М вЂ” подмодуль в Ы и е ((А«) М) = «М. Вывести отсюда, что если А-модуль М прост, то либо «М = (О), либо ЛХ изоморфеи Ае и («А«)-модуль «М прост. "22) Пусть А — артиново кольцо, прямая сумма неразлоя«имых левых идеалов Ае; (1 ~( «< п), где «; — ортогональные идемпотенты (упражневие 19г)). а) Показать, что, в обозначениях упражненил 21а), длина («~А««)-модуля «,А«/ равна числу факторов ряда Жордана — Гельдера А-модуля Аед иаоморфных Ае«(применить упражнение 21б)).
б) Пусть  — отношение эквивалентности между модулями Аем Ао: «существует такая последовательность индексов (Ьм „Ь ), что Ь, = 1, Ь = Х, и при 1 < о <га 1 найдется фактор ряда Жордана — Гельдера модуля А«ь, иаоморфвый фактору ряда Жордана — Гельдера модуля Аеь э. Классы эквивалентности левых ь«+1 идеалов по отношению В называются блоками левых идеалов. Пусть Яь (1 < Ь < д) различные блоки, и аь — сумма идеалов блока ЯА. полупРОстые ИОдули и кОльцА Гл. у111, 1 б Показать, что идеалы аа являются единственными неразложимыми двусторонними идеалами кольца А. (Чтобы убедиться, что лд — двусторонний идеал, заметить с помощью а), что Ае»хе ~ Ае и при е;Ае ~ (0) модули Ае» и Ае сравнимы по що») /». С другой стороны, если ряды Жордана — Гельдера модулей Ае» и Ае.
имеют общий фактор (с точностью до изоморфизма), то в силу упражненвя 21 существует такой индекс о, что еААег Ф (0) и еААе, Ф О. Заметив, что еаАе„~ (АеаА) ('» (Ае„А) и еьАее С (АеАА) () (Ае А), вывести отсюда, что при любом разложеыии кольца А в прямую сумму двустороныих идеалов 6», каждый из которых является прямой суммой некоторого числа Аеы идемпотеиты е„и ее принадлежат одному и тому же идеалу Ь»', применить предложение б гл. 1, т 8, л' 10.) в) Показать, что правые идеалы е»А неразложимы (рассмотреть их каяонические образы в А/И (А)). г) Пусть А — алгебра конечного ранга ыад полем л; обозначим через с» (соответственно»»»/) число факторов ряда Жордана Гельдера модуля Ае» (соответственно е/А), иаоморфных Ае/ (соответственно е»А).
Доказать равенство с»/г/ -— — с»»ги где г; — ранг тела (е»Ае»)/(е»Я(А) е») ыад полем й (подсчвтать размерность векторного пространства е;Ае. вад полем /( и принять а)), Разобрать частный случай, когда воле /» алгебраическп замкнуто. е23) а) Пусть А — артиново кольцо, все нильыотентные злементы которого лежат в цеытре. Показать, что А — прямая композиция конечного числа вполые примарных колец (рассматрывая полу- простое кольцо А/И (А), покааать, что, в обозначениях упражнения 22, е»х — хе» б Я (А) при любом х б А, и вывести отсюда, что идеал Ае» двусторонний).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
