Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тогда, по определению, у Е Яз (Л'). Предложение 1 не позволяет утверждать ни того, что нз равенства Яа(Л) = О следует Ис (А З Л) = О, ни того, что из Ис (А З Л) = О следует Яв(Лг) = О. Эти утверждения, вообще говоря, неверны (см. и' 3, теорема 1 и упражнения 4 и 5). Как мы сейчас увидим, они остаются верными в некоторых частных случаях. З РАдикАл и полупРОстОтА тенвОРных ' пРОизВРденин Пгвдло>ккнив 2, Пусть А,  — алгебры над полем К, С = А ® В, Л> — В-модуль.
Равенство Д> П Яс (А З Х) = Яв (Д>) (5) выполняется в каждом из следующих трех случаев: а) размерность алгебры А над К конечна; б) Л' — В-модуль конечного типа, и А — объединение семейства с возрастающей фильтрацией подолгебр конечной размерности над полем К (это выполняется, например, когда А — поле, алеебраическое расюирение поля К); в) Х = В„и радикал алгебры В и льпотентен (это выполняется, например, когда А — артиново кольцо (3 6, и' 4, теорема 3)). Вследствие (3) достаточно доказать включение Яэ (>у) с: с: Яс(А Ю М.
а) Пусть алгебра А конечномерна над К, и о — С-гомоморфивм модуля А ® Л> в простой С-модуль Р; достаточно доказать, что о аннулируется на Яв (>т"). Однако сужение гомоморфнвма о на 1>> будет В-гомоморфнвмом модуля Х в Р, рассматриваемым как В-модуль, и справедливо включение о (Яв (1>>)) с: с: Я>в (Р) (з 6, и' 2, предло>кение 2); достаточно поэтому показать, что Яв (Р) = (О). В алгебре С всякий элемент ив А перестановочен со всеми элементами ив В, так что гомотетии С-модуля Р, определяемые элементами из А, являются эндоморфизмами В-модуля Р; следовательно (з 6, и' 2, предложение 2)„ радикал Яв (Р) будет в Р одновременно В-подмодулем и А-подмодулем, то есть и С-подмодулем; так как Р— простой С-модуль„ то Яв(Р) равен либо (О), либо Р.
Однако С-модуль прост (то есть моногенен), а алгебра А конечномерна над К, и поэтому В-модуль Р конечного типа, н следовательно, Яз (Р) ~ Р 5 6, п' 2, предлопсенне 1); это показывает, что Яэ(Р) =(О). б) Пусть модуль Л1 порождается конечным числом элементов хз (1 <> <и), и А — объединение возрастающего фильтрующего семейства (А,)мг подалгебр конечной размерности над полем К, Пусть х Е Яв (11>); докажем, что х С Яс (А ® Л'). Так как элементы х; обравуют систему образующих С-модуля А ® Л', то достаточно показать (з 6, и' 2, предложение 4), что при любых с, ~ С (1<1<к) элементы х> + с>х также порождают С-модуль 14* ПОЛУПРОСтыиг МОДУЛИ И КОЛЫХА ГЛ.
Уыг, 5 т А З Л'. Однако найдется индекс г Е 1 такой, что все элементы с; входят в С„= А, З В. Из а) следует, что х с Яс, (А, З Л'), и следовательно, элементы х; + с;х порождают С„-модуль А, З Лг; отсюда вытекает, что С-модуль, порожденный в А З Лг этими элементами, содержит Л', то есть равен А З Лг, что и заканчивает докааательство в рассматриваемом случае.
в) Предположим, наконец, что (Я (В))"=(О), Так как всякий элемент из А перестановочен со всеми элементами из В, то двусторонний идеал г, порожденный в С радикалом Я (В), состоит из конечных сумм ~ аггг, где а, Е А, г, Е Я (В). Следовательно, Хгг = (О), так что Х содержится в радикале кольца С (з 6, п' 3, следствие 3 теоремы 1). Тем более справедливо включение Я (В) с:. Я (С); это заканчивает доказательство предложения 2, Слвдствив. Пусть А,  — алгебры над полем К. Если В— аршинова кольцо и алгебра А З В бег радикала, то В полупросто. В самом деле, из предложения 2 следует, что кольцо В без радикала, то есть полупросто (т 6, и' 4, следствие 2 теоремы 4).
ПРвдложвнив 3. Пусть  — алгебра над полем К, А — тело, содержагцее К в своем центре, С --- А З В, Лг — В-модуль. Равенство Яс (А З Л') = А З ( У П Яс (А З Лг)) (6) выполняется в каждом иг следуюгцих случаев: а) К вЂ” поле инвариантных элементов некоторой группы автоморфигмов гпела А (это выполняется, если К вЂ” центр тела А или А коммутативно и является расширением Галуа поля К); б) Лг — В-модуль конечного типа, и А — поле, сепарабельное расширение (алгебраическое или трансцендентное) поля К.
Предположим сначала, что выполнено условие а). Достаточно показать, что радикал Яс (А З Лг) имеет вид А ® Лг', где Лг'— векторное подпространство векторного К-пространства Лг'; в самом деле, тогда по формуле (2) Л' =. Лг П Яс (А З Л'), Пусть и — автоморфизм тела А, оставляюгций инварнантными элементы поля К; из формулы (т) следует, что автоморфизм и З г векторного К-пространства А З Л' переставляет между собой С-подмодули в А З Лг; этот автоморфизм переставляет РАдиклл и полУпРОстотА тензОРных пРОизвкдений 213 также мел.ду собой максимальные подмодули С-модуля А ® )т' и, следовательно, оставляет инвариантным пересечение этих подмодулей, то есть радикал Яс (А ® Л~).
Поэтому доказываемое утверждение вытекает из предложения 7 з 4, и' 5. Теперь рассмотрим условие б); пусть Лг' = Х () Ис (А ® Лг); достаточно показать, что Яс (А б)) Л') с: А 8 Л". Пусть т з= ч~~ ~а, ® у; (а; с А, у; с Х) — элемент ' радикала Ис (А ф Х); можно предполагать, что элементы а, линейно независимы над полем К, и тогда остается показать, что у; Е Ис (А 8 Х) при любом 1 (откуда будет следовать, что у, ~ Л'). Пусть П вЂ” алгебраическое замыкание поля А, и и — К-автоморфизм поля Р; и ® 1 можно рассматривать как изоморфизм модуля А 9 Ф на (и (А) Э В)-модуль и (А) 6> Х; следовательно, элемент (и Э 1) (з) =,~„и (а;) З у~ принадлежит радикалу модуля и (А) (7 Л'. Однако алгебра Р. ф В над полом К канонически отождествляется о Р.
Я,<А1 (и (А) ф В), а (П З В)-модуль Р. ф Л' — с 1е З,<А~ (и (А) СС Ф) (гл. 111, приложение 11, и'н' 4 и 9); так как 1) — алгебраическое раоширение поля и (А), то ввиду предложения 26) элемент (и бу 1) (г) принадлех~нт радикалу модуля Р ф Л'. Поскольку поле А сепарабельно над К, существуют такие К-автоморфизмы и; поля й (1 (1(т), что матрица (и;(а;)) с элементами из поля П обратима (гл, У, з 7, и' 2); пусть (рог) — обратная к ней матрица. Тогда т ры (и; 8 1) (г)= ~ йы(и;(аь) ф уз)=1 ®у;принадлежит радио=! ьа калу модуля. Но мы видели выше, что (П ® В)-модуль И 8 Х отождествляется с модулем П®л(А ЯЛ') над П®А(А ®В)= — — П 3АС; тогда по формуле (3) у; ~ Яс (А 8 Л') при всех 1, что и заканчивает доказательство.
Слкдствик 1. При условиях а) или б) предложения 3 имеет место включение (7) Яс (А З Л') ~ А З Ив (Л'). В самом деле, это вытекает из предложения 3 и формулы (3) (см. пе 6, следствие 1 теоремы 3). 214 полгпгостык модели и кольца гл. чш, 1 7 Слкдствик 2. Пусть  — алгебра над полем К, Лт — В-модуль, А — поле, сепарабельное расширение поля К. Тогда (8) Ялзв (А З Лт) — А З Ив (Л') в каждом иг следующ х случаев: а) А имеап конечную степень над К; б) А алгебраично над К, и Лт — В-модуль конечного типа; в) Лт = В„и радикал алгебра В нильпотпентпен. Утверждения б) и в) немедленно следуют из формул (5) и (6).
Если А — расширение Галуа поля К, то а) также следует из этих формул (предложение За)). Если А — сепарабельпое расширение конечной степени над полем К, 'то нормальное расширение Е поля К, порожденное полем А в алгебраическом замыкании поля А, будет расширением Галуа конечной степени поля К (гл. У, $6, и' 3, следствие 1 предложения 9 и 4 16, и' 3, предложение 6). Следовательно, Яквьв (Е З Л~) = Е З Яв (Лт) С дРУгои стороны, алгебра Е З В (соответственно (Е ® В)-модуль Е ® Лт) канонически отождествляется с алгеброй Е ®„(А З В) (соответственно с модулем Е ®„(А З Лт) пад этой алгеброй) (гл. 111, приложение П, и'и' 4 и 9). Так как поле Е конечного ранга над А, то по предложению 2а) (А З Л) П Жлэо (Е З Лт) = =Ялвьв(А З Лт), то есть Ялов(-4 З Л') =(-4 З Е) П(Е З ИвФ))~ но это пеРесечение Равно А З Яв (Лт), в чем можно УбедитьсЯ, взяв в Е (соответственно в Лт) базис над полем К, содержащий базис поля А (соответственно Ив(Лт)) (гл.
111, 5 1, и' 3, следствие 2 предложения 7), З. Хензортеое проиаведенвле полей Пгкдлонскник 4. Пусть Е, Р— поля, расширения полл К. Радикал а ыебрм Е З Р совпадает с множеством ее нильпотешпних элементов. Пусть П вЂ” алгебраическое замыкание поля Е; применив предложение 2а) к случаю К = Е, А =- 17, Лт = (Е ® г)„получим, что радикал алгебры Е З Р содержится в радикале алгебры 1в ® Р, отождествленной с Ьг З ь(Е З Р). ПУсть Р— хаРактеРпо стическая экспонента полн К, В = К вЂ” поле инвариантных элементов группы К-автоморфизмов поля 17 (гл.
У, $ 8, п' 1). л глдикал и полгпгостотя ткнзогных пгоизвкдвнин 215 Применив следствие 1 предложении 3 (и' 2) к случаю А = Я, К=Л, )т"=(ЛЗГ),(алгебра ЙЗГ отождествлена с Рзя (Л!2!Г)), получим, что радикал алгебры 1г !2! Г содержится в идеале, порожденном радикалом алгебры Л !3! Г; предположим, что все элементы последнего радикала нильпотентны; тогда нильпотентны и все элементы радикала алгебры 11 З Г, а следовательно, и радикала алгебры Е ® Г; так как, обратно, всякий нильпотентный элемент алгебры Е 8 Г содержится в радикале (з 6, и' 3, следствие 3 теоремы 1), то предложение 4 будет доказано, если мы установим справедливость нашего предположения. Пусть э=~~ х! 8 у! с И (Л 8 Г) (х! с Л, у! с Г).
Существует такое целое число т> О, что для любого индекса ! хз с К, откуда гэ™=~ч~ хз !2! уэ! =1 8 (~ хг уэ ). Следовательно, гэ принадлеясит подполю Г в Л ® Г; но этот элемент принадлежит радикалу и, следовательно, не может быть обратимым; поэтому гэ™ = О Ткогвмл 1. Пусть р — характеристическая экспонента поля К, Š— расширение поля К. Следующие условия эквивалентны! а) Š— сепарабельное расширение поля К; б) алгебра Е !3! Г является а геброй беэ радикала для любого расширения Г поля Х; в) алгебра Е !3! Г не имеет ненулевых нильпотентных элементов при любом расширении Г поля К; -1 г) Е <3! К" не имеет ненулевых нильпотентных элементов.
Следствие 1 предложения 3 показывает, что а) влечет б); условия б) и в) эквивалентны по предложению 4; кроме того, в) тривиально влечет б). Чтобы убедиться, наконец, что из г) следует а), предположим, что расширение Е не сепарабельно над К; тогда по критерию Маклейна (гл. У, з 8, и' 2, предложение 3) существуют элементы х, 6 Е, линейно независимые над полем К (1(!<и), я и отличные от нуля элементы а! с К" такие, что ~а;х;=О 1=! в алгебраическом замыкании поля Е. Следовательно, ~~ аохо!=О, !за и п и поскольку аэ ~ К, то (~ х; 8 а,)"=-.(ч~~ хаас) ®1 в алгебре $-! ' ' полупгостын модули и кОльцА Гл. 'у1Н, $7 -1 Е З КР; однако в этой алгебре ~ х; З а1 —— О, и таким обра1=1 зом, из г) следует а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
