Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Слвдствиз 1. Пусть Е, (1 <1<п) — расширения поля К, ' сспарабгльныс всг, кроме, быть может, одного, и не более чем одно из них нв имеет конечной степени над К. Тогда тензорное произведение Е1 З Ег З... З Е„является прямым произведением полей. Проведем индукцию по и. При и =- 1 доказывать нечего; если и = 2, то по теореме 1 радикал алгебры Е1 З Ез равен нулю; более того, если, напРимеР, Ез конечного Ранга над К, то Е1 З Ез конечного ранга над Е„то есть является коммутативным артиновым кольцом без радикала и, следовательно, прямой композицией полей (з 6, и' 4, предложение 9). Если и ) 2, то можно предполагать, что распгирения Е„1 ) 2, сепарабельны и имеют конечную степень над К; тогда, по предположению индукции, Е, З Ез З... З Е„, является прямой композицией полей, и доказательство сводится к случаю двух расширений.
Слвдствив 2. Пусть Š— расширение поля К, ~ — нгприводимый многочлсн из кольца К (Х), Р— поле К (Х)/()), Если одно из полей Е и Г сгпарабгльно над К, то ~разлагается в Е [Х) в произведение)1)г... )„различных нгприводимыхмногочлвнов и алгебра ЕЗЕ изоморфна прямой композиции полей Е(Х)l(Г1) (1 <1<с). В самом деле, алгебра Е З Р изоморфна Е (Х)/(у) (гл.
111, з 1, и' 3, предложение 6), и из теоремы 1 следует, что она без радикала; тогда следствие вытекает из предложения 8 9 6. Исзп поле Г сепарабельпо над К, то следстзпе легко доказывается и без использования теоремы 1, устанавливая еще раз, что алгебра Ь' ® г без радикала: достаточно ззывтить, что мкогочлеп 1, имеющий лишь простыв корни з алгебразческом замыканпп поля К (гл.
У, 1 7, и' 6, предложение 9), является з д (Х) пропззедеякем различкых непрпзодпмых ыногочленоз. 4. Тензорное нропзведение нолуптзооттзс модулей Твогвмз 2. Пусть А,  — алгебры над полем К, М вЂ” А -модуль, 11' — В-модуль„С вЂ” алгебра А З В. а) Если М З Л' — полупростой (соответственно простой) С-льодуль и МФ (О), Лг Ф (О), то модули М и Ог полупросты (соответственно простьь). 4 Радикал н полупгостотя ткнзогных пгоизввдвнии 217 б) Пусть М и Л' просты; пусть Е и Р— тела, коммутанты модулей М" и Л' соответственно, Я и Т вЂ” центры Е и Р соответственно. Длз того чтобы С-модуль М чу Х был без радикала (соответственно прост, полупрост), необходимо и досгпаточно, чтобы алгебра Я ® Т была без радикала (соответственно Е бс Р было телом, полупростым кольцом).
а) Пусть модуль М 9 Л" полупрост, и Х' — подмодуль в Х. Тогда М 9 Х' является С-подмодулем в М 8 Х, и следовательно, существует С-линейное проектирование е модуля М ® Л на М бо Л '. Так как М ~ (0), то существуют элемент х Е М и К-линейная форма Ь на векторном пространстве М такие, что Ь (х) = 1. В-гомоморфизм у-+. (Ь 8 1) (е (х 8 у)) модуля Х в К ® Л" каждый элемент з ч Х' переводит в 1 З г с К 8 Л".
Отождествляя канонически К ® Х' и Х', получим проектирование модуля Х на Л', это доказывает, что модуль Х полупрост. Если модуль Л' не прост, то он разлагается в прямую сумму двух ненулевых нодмодулей Х' и Х"; тогда подмодули М ® Х' и М ® Л'" в М ® Х не равны нулю (гл. 111, з 1, и' 3, следствие 1 предложения 7), и М З Х является прямой суммой этих подмодулей; это показывает, что модуль М я Х не прост.
б) Рассмотрим сначала произвольные А-модуль Ми В-модуль Х; пусть Š— коммутаит М, à — коммутант Х В-модуль Х канонически отоа;дествляется с Ез ЗзХ (гл. 111, приложение П, и' 4); тогда векторное К-пространство М ® Х канонически отождествляется с М Я (Рз ЗвХ), а следовательно, и с (М 8 Рз) Зз Х (гл.
111, приложение 11, и' 9);.определенный таким образом канонический изоморфизм ф векторного К-пространства (М 8 Рв) З Л' на векторное К-пространство М ® Х обозначим через ф. Напомним еще, что через Р„обозначается множество Гв, рассматриваемое как левый модуль над кольцом гь, противоположным Р (з 1, п' 2); произведение М ® Р„канонически наделяется структурой (А 8 Е')-модуля (и' 1) и как векторное К-пространство совпадает, очевидно, с М 8 Рз. Теперь докажем лемму: Ламма 2. Пусть Л' — простой В-модуль, и М вЂ” А-модуль.
Отображение Р -э. ф (Р ®„Х) является изоморузизмом (для структуры порядка по включению) упорядоченного множества 218 полупгостыв модули и кольца Гл, упп $7 (А ® Ро)-подмодулей модуля М ® Р„на упорядоченное множество С-подмодулей модуля М З Л< и переводит радикал модуля М ® Р„в радикал модуля М З Л<. Заметим, что С-подмодули в М ® Х вЂ” это в точности В-подмодули модуля М З Л', устойчивые относительно гомотетий, определяемых злементами алгебры А; аналогично (А З Р')-подмодули в М З Г„вЂ” зто в точности векторные подпространства правого векторного Р-пространства М ® Ре, устойчивые относительно гомотетий, определяемых элементами алгебры А; тогда первое утверждение леммы немедленно следует из предложения 6 З 4, и' 5.
В частности, биекция Р з. ~р (Р Зг Л') ставит во взаимно одноаначное соответствие максимальные подмодули в М З Р„и максимальные подмодули в М З Л', поскольку радикал модуля является наибольшим идеалом, содержащимся во всех максимальных подмодулях, то зто отображение переводит радикал М З Р„ в радикал М ® Лг. Заметим теперь, что тензорное произведение М ® Л' канонически наделено структурой (Е ® Р)-модуля (и' 1); гомотетии зтого (Е З Г)-модуля коммутируют с гомотетиями С-модуля М ® Х, так что тензорное произведение (Е З Г)е З<кыр>(М З У) можно отождествить с С-модулем М З Ж (гл. 111, приложение 11, и' 4); через т (М ® Х), где т — произвольный правый идеал в Е ® Р, обозначим канонический образ тензорного произведения т З<кэе> (М З Л<) в М ® Л'.
Дамма 3. Пусть М вЂ” простой А-модуль, Л< — <гростой В-модуль. Отображение г -+- т (М ® Л') является изомор<дизмом (для структуры порядка по включению) упорядоченного множества правых идеалов вЕ З Р на упорядоченное множество С-подмодулей е М ® Л' и переводит радикал алзебры Е З Р в радикал модуля М З Л'. Так как алгебры Е ® Г и Г ® Е канонически изоморфны, то правые идеалы в Е З Р можно отождествить с (Р'® Ез)-подмодулями в Р„® Е„; с другой стороны, как и выше, можно определить канонический изоморфизм <у тензорного произведения (Р„З Е„) ®кМ на М ® Р, (для структуры векторных К-пространств); в качестве ф ваять композицию канонических изоморфизмов Р, З М на М ® Р„, Р„З (Ее ЗкМ) на Р„З М и (Р„З Е„) ЗкМ на Р„З (Ее ®кМ).
ПРименЯЯ леммУ 2 глднклл и полгпгостотл твнзогных пвопзввдвнии 219 с А = Рв, М = Р„, В = А, Е = М, получим, что отображение т -э ~р (т Эк М) является изоморфизмом упорядоченного множества правых идеалов алгебры Е Э Р на упорядоченное множество (А ® Р')-подмодулей модуля М ® Р„и переводит радикал алгебры Е бР Р в радикал модуля М ® Р„. Тогда лемма 3 следует из леммы 2 и того факта, что, как легко вывести из формулы (1), подмодуль т ° (М ® )У) модуля М ® )У может быть записан в виде ~р (ф (т ЗкМ) Зв)т"). Из леммы 3 следует уже, что модуль М 8 Л' прост тогда и только тогда, когда Е ( Р— тело (гл. 1, $ 9, п' 3, предложение 3), и волупрост тогда и только тогда, когда алгебра Е ф Р полупроста; для доказательства второго утверждения, по определению полупростого кольца (З 5, и' 1), достаточно заметить, что изоморфизм т -+- т (М ® )У) упорядоченных множеств, установленный в лемме 3, ставит в соответствие друг другу прямые слагаемые модулей (Е ® Р)в и М ф )в' (в самом деле, для того чтобы некоторый модуль Х был прямой суммой подмодулей У, У, необходимо и достаточно, чтобы Х и (О) были соответственно верхней н нижней границами подмодулей У и Е в упорядоченном множестве подмодулей модуля Х).
С другой стороны, лемма 3 показывает, что условия Ис (М бо Л') =- О и Я (Е Э Р) = О равносильны. Но алгебру Е 3 Р можно отождествить с Е фз(Р ®т(Б (3) Т)) (гл. 111, приложение 11, и'и' 4 и 9); дважды применяя следствие 1 предложения 3 (условие а) предложения 3 выполнено), получим, что радикал И (Е ® Р) содерхсится в двустороннем идеале (Е® Р) . И (Е ф Т), порожденном радикалом Я (д Я Т). Обратно, злементы радикала И (8 ф Т) нильпотентны (и' 3, предложение 4) и принадлежат центру алгебры Е 8 Р, то есть радикалу атой алгебры (з 6, и' 3, замечания после следствия 3 теоремы 1); позтому Я (Е Я Р) = =(Ез Р) ° Я (Е З Т); в частности, равенство Я (Е (х) Р) = =О равносильно Я (Е 3 Т) = О, что и заканчивает доказательство теоремы 2.
Слкдствив 1. Хрусть М и )У вЂ” изотипные полупростые модули, один из которых имеет конечную размерность над К. Если центр кольца Р = Тв(Х) равен К, то МК Х вЂ” изотипный полупростой С-модуль. ползпгостын модтли н кольца гл, т|п, 1 7 220 Пусть Л' — изотипный модуль типа Р; если тело  — коммутант модуля Р, то, как известно, кольцо Хв (Л) изоморфно Хо (У), где У вЂ” правое векторное пространство над телом В (з 4, п' 4, предло>кение 4), и его центр, следовательно, отождествляется с центром тела П (з 1, и' 3, предложение 6).Из предположений следствия вытекает, таким образом, что центр тела Р = Хв (Р) равен К..
Тогда можно ограничиться случаем, когда модули М и Л' простые. В обозначениях теоремы 2 имеем равенство Я ® Т =- = Я ~3 К. Алгебра Я ® К является полем, изоморфным Я, и модуль М 8 Лг, следовательно, без радикала. Кроме того, если модуль М (соответственно Л') имеет конечную размерность над полем К, то М 3 Л' является В-модулем (соответственно А-модулем) конечной длины и тем более С-модулем конечной длины; будучи без радикала, модуль М ф Л' является полупростым С-модулем (з 6, и' 4, теорема 4). По теореме 2 Е ® à — полу- простое кольцо; легко видеть, что в обозначениях леммы 3 модули т (МЗЛ')=~р(ф(г®вМ)ф„Л') и т' ° (М®Л)=- = 7 (1г (г ®кМ)ЗвЛ), где т и г' — минимальные правые идеалы з Е 8 Г, изоморфные как правые (Е |3 Г)-модули, являются изоморфными простыми С-модулями; ввиду леммы 3 остается доказать, что (Е 3 Г)з является изотнпным правым (Е ® Г)-модулем, или, что то же самое, алгебра Е ® Г проста (з 5, и' 2, предложение 8 и и' 4, следствие 3 теоремы 2), Пусть, однако, а чь (О) — двусторонний идеал алгебры Е ®к Г; а является векторным подпространстзом правого векторного Г-пространства Е 3к Г, устойчивым относительно отображений 1 8 ~, где ( пробегает множество внутренних автоморфизмов тела Г.
Так как К есть центр Г, то нз предложения 7 з 4, и' 5, вытекает, что а = в' Як Г, где г' — векторное надпространство в Е (над полем К); следовательно (формула (2)), У вЂ” а () Е; ясно, что в" является идеалом тела Е и не сводится к О, так как а ~= (О). Позтому У = Е и а = Е 8 Г, что и заканчивает доказательство. Слвдствив 2. Пусть А,  — простые алгебры над полем К, одна из которых конечного ранга над К, и кентр одной из них равен К. Тогда алгебра А Я В проста, Учитывая следствие предложения 8 з 5, и' 2, достаточно применить следствие 1 в случае М = А, и Х = В,. а РАдикАл и полупРОстотА тензОРных ЛРОизведений 221 Следствие 3. Пусть А — центральная простая алгебра конечного ранга т над полем К и 17 — алгебраическое замыкание поля К; алгебра А<а1 изоморфна некоторой алгебре матриц М, (Р) над полем й, и т = гг. В самом деле, по следствию 2 алгебра А<а~ — — А 3 1г (как алгебра над полем 1г) проста и имеет конечный ранг иад П; кроме того, ее центр равен 1г (з 1, и' 2, следствие предложения 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
