Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 44
Текст из файла (страница 44)
У и р э ж н е и я я. 1) Прявестн пример ненулевых идеалов а, Ь, с кольца Я, дяя которых аЬ Ф с () Ь н (а + Ь) (а + с) Ф я + Ьс. 2) Пусть р — простое число, (гР— р-компспеята группы (Е!Я (гя. У11, 1 2, упражнение Зб)). Пусть А — (коммутэтввная) алгебра группы (гр (эаппсываемая мульгяплнкатявпо) над простым полем РР. Покаэатсч что И (А) — едявственный максимальный идеал в А н порождается элементами 1 — э, где с пробегает 11Р; И (А) является ниль- идеалом, я (И (А))э = И (А). 3) а) Пусть 1 — ыпльпогептяый левый плеэл кольца А. Покаээтсч что двусторонякй идеал (А, порожденный идеалом 1, нпяьпотентев.
99 РАДИКАЛ б) Покааать, что сумма двух двусторонних нпльпдеалов (соответственно двусторонних нпльпотентных идеалов) будет нпльпдеалом (соответственно нильпотентным идеалом). в) Показать, что сумма П всех двусторонних нпчьпдеалов является кильидеалом, а сумма И всех нильпотентвых двусторонних вильидеалов является яильидеалом, содержащим всенпльпотектные (левые и правые) идеалы.
г) Двусторонний идеал а кольца А называется как«радикалом, если а — нильидеал н факторкольцо А/а не содержит нильпотеитных идеалов. Показать, что П вЂ” макспыальный нпльрадикал кольца А; если А коммутатнвно, то П = И. д) Пусть / — множество порядковых чисел а (Теор. мн., гл. 1П, 4 2, упражнение13) таких, что Сагб (и) ~ Сагб (А). С помощью трансфпнптной нндукц|ш для любого а р / следующим образом определим двусторонний идеал И„кольца А: Ие — — И; если число а нмеет предшествующее а — 1, то Иа — двусторонний идеал такой, что Йа/И. является суммой нильпотентных идеалов факторкольца А/И„ в противном случае Ȅ— объединение всех Ид, () (а.
Пусть т— наименьшее порядковое число, для которого Иет1 = И„, п пусть 6 = Яю Показать, что 6 — наименьший шшьрадпкал кольца А и является пересечением всех двусторонних идеалов а, для которых А/а не имеет нильпотентных идеалов «). 4) Пусть А — кольцо. а) Показать, что Е () Я (А), где 3 — центр кольца А, содержится в Я (3) (см. упрюкнение 9б)). б) Показать, что Я (А) не имеет ненулевых пдемпотевтов. в) Показать, что пересечение радикала Я (А) с правым цоколем б кольца А (4 5, упражнение 9) равно пересечению ю с его правым аниулятором в А п является двусторонним идеалом с нулевым квадратом (исвользовать упражнения 8 н 9а) 4 5). г) Пусть е — кдемпотент кольца А.
Покавать, что радикал колы ца еАе равен еЯ (А) е (заметить, что прп а б еАе (1 — а) (1 — е) = = (1 — е) (1 а) = 1 — е). 5) Пусть А — кольцо. Показать, что радикал кольца матриц М„(А) совпадает с идеалом йеа (Я (А)) (см. $1, упражнения 3 и 9). «6) Пусть А — коммутативное кольцо, В = А (Х) — кольцо многочлеиов от одного переменного над кольцом А. а) Предположим сяачала, что кольцо А не имеет нильпотентных элементов. Пусть / = ~~~~~ аьХЬ, у = ~~~~ ЬЬХа — элементы кольца В, ь я в многочлеие /д все члены степени рт равны нулю. Показать, что арЬч = 0 при р + а )~ т. «) Пример кольца, в котором 6 ~ П, см. П. В а е г, Па/Пса) )беа)з, Ашег.
/опгп, о1 МаЫт., С ?.Хг' (1943), р. 540. 200 полупгостыи модули и кольца гл. Угп, 1 б б) Пусть Я вЂ” нильрадикал кольца А (упражнение Зг)). Показать, что многочлен 1 5 В обратим в кольце В тогда и только тогда когда его свободный член обратим в А, а все остальные коэффициенты принадлежат Я (применить к коэффициентам многочлена 1 каноначеский гомоморфивм кольца А на А /Я и воспользоваться упражнением а)) в) Вывести из б), что радикал кольца В есть идеал Я [Х[ п совпа дает с нвльрадикалом кольца В.
?) а) Для того чтобы кольцо А было беа радикала, необходимо и достаточно, чтобы оно было изоморфно некоторому подкольцу С произведения В = [ [ В„примитивных колец В„Я 5, упражнение 5), ~51 содержащему единицу кольца В и такому, что рг„(С) = В„для всех ь 5 1 (рассмотреть множество классов простых «1-модулей).
б) Пусть У вЂ” векторное пространство бесконечной размерности над телом В, В = Хп (У) — кольцо его эндоморфизмов, Сч — цоколь кольца В ($5, упражнение 10). Рассмотрим в кольце В к В подкольцо С, порожденное произведением ю к б и единичным элементом, Показать, что кольцо С беэ радикала, но не изоморфно произведевию примитивных колец. 8) Пусть С вЂ” абелева группа без кручения (записываемая мультипликативно), и Кбэ) — ее алгебра иад полем К (гл. 11, $ ?, и' 9), Показать, что алгебра К<о) без радикала.
(Прежде всего, наделить С структурой совершенного порядка, согласованной с ее структурой группы (см. гл. У1, $1, упражнение 20).) 9) Пусть У вЂ” векторное пространство бесконечной размерности над телом В, прямая сумма некоторой последовательности (Уь)ь векторных подпространств одной и той же размерности а; пусть (гы) <,.<и — базис в Ую и  — некоторое подкольцо кольца матриц Ми (Ве), содержащее единичную матрицу. Рассмотрим множество А андоморфиэмов и пространства 1', обладающее свойствами: 1" существует целое число ж (зависящее от и) такое, что при 5 ) т, сужение эндоморфизма и на Уь является эндоморфизмом пространства Уь, матрица которого относительно бависа (аы) не зависит от ь и принадлежит В; 2' и (Ею) с Е„„где Ею = ~ Ую ь<т а) Показать, что А — примитивное кольцо с ненулевым цоколем, состоящим иэ таких зндоморфизмов и 5 А, что и (Уь) = (О) для всех индексов )г, кроме конечного числа (5 5, упражнение 10).
б) Выбрав подходящим обрааом В, и п В, привести пример примитивного кольца, факторкольцо которого имеет нильпотентиый радикал ~(0), н пример примитивного кольца, центр которого имеет радикал Ф(0). *10) а) Пусть А — кольцо, и его радикал Я (А) — иильидеал. Пусть с — с = г 5 Я («1), с 5 А. Показать, что существует такой многочлен 1 с целыми рациональными коэффициентами, что элемент РАДИКАЛ 20г е = о+ (2о — 1) 1 (г) идемпотентен.
(Заметить, что элемент (2о — 1)э обратим и обратный к нему имеет вид у (г), где у — многочлен с целыми рациональными коэффициентами; показать затем, что для всякого 1 р я (А) найдется многочлен я с целыми рациональными коэффициентами такой, что х = А (1) удовлетворяет уравнению хз+ х = г «(еразверяуть» (1+ 41)'~з яо формуле бинома).),„ б) Пусть (и„) — последовательность элементов кольца А/Я (А) таких, по и~и) = джиу для любых индексов д 1. Показать, что в кольце А существует такая последовательность (ео) ортогональных идемпотевтов, что и„' является классом ео по шоб Я (А).
(Использовать а) и заметить, что правый (соответственно левый) аннулятор любого идемпотента е' Е А есть (1 — о') Л (соответственно Л (1 — е')); если, кроме того, ое' = 0 (соответственно е'о = 0) (обовначевия ив упражнения а)), то ее' = 0 (соответственно е'е = 0).) в) Пусть К вЂ” поле, Ь вЂ” несчетное множество индексов, А— алгебра над к, баанс которой состоит нз единицы ес, семейства (оь) ьз~ и семейства (г ) <ь „1 „, а таблица умножения имеет вид сзь — сю охов — гав при 1~р, оьгвт — — Ьхвгвт, гавот б~з т~ ьв гьогто 0 Показать, что Я (Л) есть подалгебра кольца Л с базисом (гав), (И (А))з = (0), и в кольце А не существует такого семейства (еь) ь ь ортогональных идемпотентов, что оь сравнимо с еь по шой И (А) для любого Х Е Ь. (Для каждого й Е В рассмотреть множество НЬ элементов р Е Ь таких, что оь (е, — о,) = О, и показать, что дополнение Пь в Ь должно быть конечным, но ни один элемент из 1, ве может прпнадлежать бесконечно многим множествам Ню) 11) Пусть ев ез — идемпотенты в кольце А, и и„из — их канонические образы в кольце В = А/Я (Л).
Показать, что если В-модули Ви~ и Виз иэоморфны, то Л-модули Ае, н Лез изоморфяы (пусть х б е,Аез, у Е езАег н ху — о~ Е И (Л), ух — ез б И(А) (1 1, упражнение Зг)); заметить, что элемент,зу обратны в е,Ае, (упражнение 5г)); если хуе,зе, = е„рассмотреть элемент у' = еу~зе~ и показать, что ез — у'х — идемпотент (упражнение 5г))). 12) Пусть А — алгебра над полем К н выполняются следующие условия: 1' Я (А) — нильидеал; 2' Л!И (А) — прямая композиция конечного числа матричных колец яод волом К. Показать, что в алгебре Л существует такая подалгебра В, что векторное пространство А (над К) является прямой суммой В и И (А) (использовать упражнения 10 п 11, а также упражнение 9 1 1).
е13) Кольцо А называется кольцом Церна, если всякий его левый идеал, не являющийся внльидеалом, содержит идемпотент те О. а) Показать, что всякий правый идеал кольца Церна, не являющийся ннльидеалом, содержит идемпотевт ~0 (заметить, что длв 202 полупгостые ИОдули и кольце Гл. Уш, 1 б любого ие иильпотеитиого элемеита а й А существует х 5 А такой, что каха - ха Ф 0). б) Показать, что радикал кольца Цорка является пильидеалом. в) Показать, что кольцо Цориа беа делителей нуля — тело. г) Покааать, что примитивиое кольцо, цоколь которого ($ 5,- упражнение 10) ие сводится к О, является кольцом Цориа (см.
1 5, упражиекия 5д) и 8а)). Привести пример примптввиого кольца, ие являющегося кольцом Цориа (см. $5, упражвеиие 13), и пример примитивного кольца, у которого цоколь Ф (0), ко центр ке является кольцом Цорва (методом упражнения 9). д) Пусть К вЂ” поле и А — подкольцо прокзведеиия (К (Х))Я, состоящее из последовательностей а = (!н) таких, что, иачииая с некоторого места (зависящего от а), !н резко одному и тому же элемевту ~р (а) кольца мкогочлеков К (Х). Показать, что А — коммутатпвкое кольцо Цорка без радикала, содержащее необратимые элементы, ке являющиеся делителями нуля, ио его обрав ~р (Л) ие является кольцом Цорка. а14) Кольцо А называется ясаадарагуахрныя, если для любого а р Л существуют целое число я ) 0 и элемент х 5 А (зависящие от а) такие, что азха" = а".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
