Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 41
Текст из файла (страница 41)
'в) НаДелим Р топологией пе ()г, Г'), согласованной с его стРУктУРой абелевой группы и в которой фундаментальная система окрестностей нуля состоит из кояечвых пересечевий гиперплоскостей х'-г(0), где х' б Г. Показать, что всякий зидоморфизм иэ кольца А иеирерынен в этой топологии. Обратно, пусть г' — подпростраиство в Ре такое, что соотвошевие (х, х') = 0 для всех х' б у' влечет х = О, Показать, что в кольце Лр (Р) всякое подкольцо А, состоящее из линейных отображений, непрерывных относительно пе(у, 'г"),и содержащее все линейпые отображения конечного ранга, непрерывные отвосительпо по(у, Г), является примитиввым кольцом.
г) Показать, что всякий двустороииий чь(0) идеал кольца А содержит правый цоколь 9. д) Показать, что кольцо Ао, противоположное А, примитивно и изоморфио кольцу эпдоморфизмов простраиства Р', состоящему из линейаых отображений, непрерывных относительно по(у', Г), и содержащему все линейные отображения конечного ранга, вепреРывиые относительно пе (Р', У); вывести отсюда, что левый цоколь кольца А равен его правому цоколю. е) Вывести из б) и д), что примитивное яетерово кольцо с цоколем, ие сводящимся к нулю, просто (рассматривая идеалы, содержащиеся ПРОСТЫВ И ПОЛУПРОСТЫИ КОЛЬЦА 1ВЗ в 9, показать, что пространство У' будет конечномерным) (см. упражнение 13). ж) Пусть М вЂ” подпространство в Уэ, имеющее конечную размерность Ь.
Показать, что в 9 существует проектпрованне еы пространства У на М. (Рассмотреть в У' ортогональное к М подпространство Мэ — множество элементов з' Е У' таких, что (х, х')=0 для всех з б М; покавать, что факторразмерность Ме в У' равна Ь; взять в у' дополнение Л" к подпространству Мо и такие оазисы (а;) и (Ь;) в М и Л~' соответственно, чтобы (ап Ь;.) = Ь,,; показать, что еы (з) =- = ~~1 <з, Ь,'> а~ является требуемым проектированием.) Вывести отсюда, что всякий эндоморфизм пространства У, переводящий М на некоторое подпространство в ЛХ н равный кулю ка ядре Л' = Л/'е проектирования ем, принадлежит цоколю кольца А (использовать плотность кольца А).
з) Пусть (и~)г>гэ,„— конечная последовательность элементов цоколя 9. Показать, что в пространстве У найдутся конечномерное подпространство М н его дополнение Л', являющееся пересечением конечного числа гиперплоскостей вида х'-' (0), где з' б У', такие, что кольцо эндоморфкзмов и пространства У, равных нулю на /г' н удовлетворяющих условию и (ЛХ) ~ М, содержится в кольце А и содержит все и~ (пусть М, — сумма подпространств и~ (У), /У, — пересечение подпространств и,' (0); применить ж) к подпространству М ~ М, такому, что М+ /У, = У, и взять /У' ~ Л'е). 11) Пусть А — примитивное кольцо, цоколь которого 9 не сводится к О.
Показать, что А-модуль М тогда и толы'о тогда изотипен, точен и полупрост, когда 9М = М (заметить, что изоморфные модули имеют одинаковый аннулятор, и применить предложение 5 1 3). Вывести отсюда, что если А-модуль М имеет подмодуль Л', который, так же как и фактормодуль М/Л', изотипен, точен и полупрост, то модуль ЛХ обладает этими свойствами.
*12) Пусть К вЂ” поле, У вЂ” векторное пространство над К со счетным базисом (еэ)„>1. Пусть эндоморфнзмы и, э пространства У определяются формулами и (е,) = О, и (еэ) = г„п в ) 1, э (ев) = = е„+1 для в > 1, н пусть А — подалгебра (над полем К) в Хк (У), порожденная 1, и и ю а) Показать, что ии = 1, эи = 1 н элемеяты э'и/ (» ~~ О, Х )~ 0) обраауют базу алгебры А над К. б) Вывести отсюда, что иольцо А примитивно н его цоколь есть множество 9 эндоморфизмов ш пространства У таких, что ю (е„) = 0 для всех и, кроме конечного числа. Показать, что алгебра А/9 нзоморфна подалгебре алгебры К (Х), состоящей ив рациональных дробей р (Х)/Хю (вг )~ 0 — произвольное целое число, р Е К (Х)).
*13) Пусть К вЂ” поле характеристики О, Е = К (Х) — поле рациональных дробей от одного переменного над полем К, П кольцо х84 ПОЛУПРОСТЫБ МОДУЛИ И КОЛЬБА ГЛ. Ч111. 1 с эндоморфизмов абелевой грушгы Е, Пусть А — подкольцо, порожденное в И кольцом умножений поля В и дифференцированием В = яЯХ этого поля. Всякий аяемент подкольца А одиозна шо записывается в виде ч~~~ ~адВ", где ал б В (ото1кдествленному ь э со своим кольцом умножений).
а) Показать, что всякий левый или правый идеал кольца А моногенен (рассмотреть в этом идеале элемент ~ адРА, а,„М О, для ь=е которого ии — наибольшее из возможных). Вывести отсюда, что кольцо А нетерово слева и справа, ио не имеет минимальных левых и правых идеалов. б) Показать, что кольцо А кваанпросто и без делителей нуля (тем же методом). в) Показать, что в кольце А найдутся танис элементы и, и, что ви — ии = 1.
Показать, что в алгебре В конечного ранга над полеы К не найдется пары элементов, обладающих атим свойством (рассмотрев В как подкольцо в, кольце андоморфиамов векторного К-пространства В, отождествить В с его кольцом левых умножений; применить предложение 2 гл. П1, $4, и' 5). е14) Пусть М вЂ” свободный монояд с двумя образующими а, Ь к с единицей, и А — алгебра мононда М над нолем К. Показать, что А — примитивное кольцо. Рассуждать следующим образом: пусть У вЂ” векторное пространство над полем К, (е„)„ь1 — счетный базис пространства У, и и н из эндоморфязмы У, определенные формуламп и (е,) = О, и (еэ) =- е„1, я ) 1, иэ (еэ) = е э, я)~ 1; рассмотрим и гомоморфнзм ~рз алгебры А в 2;л (У), определенный равенствами фз (а) = и, 1рз (Ь) = из; это определяет на У структуру А-модуля. Показать сначала, что У вЂ” простой А-модуль, установив, что для любого з б У и любого целого и О существуют м1 б ~рз (А) такой, что мг (з) = е1, н вз Е <рз (А) такой, что мз (е,) = е„.
Затем показать, что А-модуль Р точный: обоэначнм через Р1,(Я), Ь Е М, индекс и вектора е, = вз (Ь) (е„). 'Показать, что Рь есть функция (Н) (Функции действительного переменного, гл. Ч, приложение) и что если Ь и Ь— различные элементы мононда М, то Рь у Рь (рассмотреть последовательные логарифмы функции Рь)., Вывести отсюда, что для всякого отличного от нуля элемента с алгебры А существует целое число л такое, что фз (и) (е„) Ф О. Пусть аналогично и„, г ) 2, — эндоморфизм пространства У, определенный формулой и„(и„) = е „, и ,'>~ 1. Показать, что гомоморг фивм 1р„алгебры А в вн (У), определенный равенствами 1р„(а) = и, ф„(Ь) = изи также определяет на У структуру точного простого А-модуля и эти структуры попарно не нзоморфны).
185 Рлдинйл 16) Пусть А — простое кольцо, М вЂ” левый А-модуль, М" его сопряженный (гл. 11, $4, и' 1) модуль, а) Показать, что если модуль М имеет конечную длину и, то Ме — правый А-модуль длины я; вывести отсюда, что 'кольцо А фробениусоэо ($4, упражнение 10). б) Для любого подмодуля Х модуля М подмодуль )Уео, ортогональный к модулю К, ортогональному к К, совпадает с Х. з) Обобщить на модули М н М* теоремы 1, 3 и 4 гл.
П, $4. 16) Пусть А — полупростая алгебра конечного ранга над полем К и А~ (1 (1 (г) — ее простые компоненты, А1 изоморфна кольцу матриц над телом Вб обозначим череа ог; ранг тела Р; над полем К. Пусть  — полупростая подалгебра и А, содержащая ее единицу, и Вт (1 (у ( э) — ее простые компоненты, Вт изоморфна кольцу матриц над телом Е ", обозначим через эт ранг тела Еу над полем К. Пусть 1; — минимальный левый идеал з Ло 1' — минимальный левый идеал и ВЬ пт — левый идеал з А, порожденный 1'; показать, что т, [п1: 1,[ = ят [1;: 1;.). 17) Пусть А — полупростое кольцо, Ат (1 ( у ( г) — его простые компоненты,  — полупростое подкольцо з А, содержащее его единицу, Ва (1 ( я ( з) — его простые компоненты.
Обозначим через г (Аь Ва) длинуАРмодуля А1® наР», где Рь — простой Ва-модуль, н через э (Ат, Ва) — длину изотнпной компоненты типа Рд В-модуля„ полученного сужением до В кольца операторов простого А-модуля Х1, пзоморфного минимальному идеалу кольце А. Пусть М вЂ” точный А-модуль и длина )н (М) конечна. Тогда коммутакт В' В-модуля М н коммутант А' А-модуля М полупросты„ пусть А' (1 ( у < г) — простые компоненты А', В,', (1 ( й ( г)— простые компоненты В', причем компонента А' отождестзлена с коммутантом иаотипной компоненты типа М модуля Хь а компонента В' с коммутактом иэотипкой компоненты типа М модуля Рь.
(1 4, пэ 4, предложение б). Показать, что 1(В;, Л') = я (А ч Ва), й (Вээ А') = 1(АЬ Вь). 18) Пусть А — алгебра кад полем К,  — простая подалгебра, содержащая ее единицу н имеющая конечный ранг над К. Показать, что [А: В[= [Ас: Вз!. 8 6. Радикал 1. Протэаведетэтса тэдеалов . Пусть А — кольцо, М вЂ” левый А-модуль. Пусть У вЂ” подгруппа абеленой группы А, У вЂ” подгруппа абеленой группы М. Произведением подгрупп У к У н этой главе будет назыиатьсж подгруппа абеленой группы М, порожденная элементамн иг, 186 полупгостыв модули н кольца гл, уш, 1 б где и Е У, и Е гг.
Произведение подгрупп будет обозначаться черрз 11 У. Аналогичное обозначение используется для правых модулей. Я-билинейное отображение (и, в) -+- ив произведения су уЕ 1г в М определяет Х-линейное отображение тензорногопроизведения У ®я 'гг в М, образом которого будет УУ; иными п СЛОВаМИ, Угг ЕСТЬ МНОжЕСтВО КОНЕЧНЫХ СУММ ~3 И; ВЕ, ГдЕ И1 й У, 1=1 в; ~ 1г, $ <1<я (я произвольно). Введенное таким образом понятие не совпадает с рассмотренным в гл. 1, е 3, в' 1, где егг есть множество элементов вида ии Е м, где и Е Ег и и б К Для подгрупп Е1 и у обозначение Ур в смысле гл. 1 в этой главе испольаоваться не будет.
Пусть (Уь)ьег — семейство подгрупп в А, (3'»)»ет — семейство подгрупп в М. Полонгим У = ч~~ ~Уь, гг = ч~~ ~3'». Тогда П уЕ 'гг 2Е1 »Е3 будет суммой семейства (Уь Х )'»)Ем»1Егкт и, следовательно, (Х П )(ХР»)=- Х ьег»ез 1м»1е!хл Более общо: пусть У„..., ӄ— конечное семейство подгрупп в А, '3г — подгруппа в М; через У1,У2... У„'гг обозначается подгруппа, порожденная в М произведениями игиз...
и„в, где и1 й у1 (1<1<я) и в й )г. Возьмем, в частности, М '= А,; отображение (У, гг) -~- Уг' является тогда внутренним законом композиции в множестве подгрупп абелевой группы А; легко проверяется, что для любых трех подгрупп У„ Уз, Уз группы А (~' 1~' 2) ~3 ~~ 1 (~~2~~ 3)~ другими словами, этот закон ассоциативен; кроме того, для любых подгрупп У„У2 в А и любой подгруппы гг в А-модуле М (~'Г" 2) ~ ~'1 (~ 2~ ) (~1" 2~ ' Для любых подгрупп У„У2 в А и гомоморфизма/ кольца А в некоторое кольцо А' выполняется 'равенство 1 (У1У2) = 1 (У1) 1 (Уз) Если 1 — левый идеал в кольце А, то для любой подгруппы Ег в М произведение 1К является в М подмодулем, В частности, для любой подгруппы У в А (У будет левым идеалом кольца А. 187 глдиклл Аналогично Ут, где т — правый идеал кольца А, будет правым идеалом в А для любой подгруппы У группы А. Произведение Ь любого левого и любого правого идеалов будет, следовательно, двусторонним идеалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
