Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 37
Текст из файла (страница 37)
7) Пусть Я вЂ” простой А-модуль, Р— его коммутант, М вЂ” иэотипный полупростой А-модуль типа Е, С вЂ” его коммутант, С' -' его бикоммутант. а) Показать, что кольцо С () С' иэоморфно центру тела Р. б) Пусть  — подкольцо в кольце й эндоморфиамов абелевой грувпы М, порожденное объединением кольца С и кольца Ам гомотетий модуля М. Покааать, что М вЂ” простой В-модуль. *8) Л-модуль М называется ооигмгрилым с А„еслв существунн целые числа т ) О, о ) 0 такие, что модуль Л~ пэоморфен Мв, а) Пусть М вЂ” модуль конечной длины, соизмеримый с А,.
Показать, что кольцо Л артиново н нетерово, если т' п л' — еще два числе такие, что А'," иэоморфен й/о', то т/о=т'/о' (использовать теорему 1 5 2, в' 2); т/и называют рангом модуля М над А. б) Пусть С вЂ” коммутант модуля М, М' контрмодуль модуля М; показать, что если модуль А~ нэоморфен Мо, то модуль С", иэоморфен М'ю" (положив /Ч = М" и применян теорему 1 и упражнение 8в) 4 1, рассмотреть йл (/У) как С-модуль).
в) Вывести нэ а) н б), что если модуль М конечной длины соиэмерим с А, н ранг его над Л равен г, то модуль /г/' конечной длины соизмерим с С, и имеет над С ранг 1/г (испольэовать упражнение бд) 1 2). г) Пусть  — кольцо главных идеалов, а — его двусторонний идеал п А = В/а. Понаэать, что ранг всякого Л-модуля М, соизмеримого с А, есть целое число и равен рангу, определенному в упражнении 8 гл, Ч11, 5 4. 9) Пусть У вЂ” бесконечномерное векторное пространство над телом Р, Л вЂ” плотное подкольцо в Хн (У).
Показать, что для всякого целого числа в ) 0 найдется подкольцо В кольца А, содержащее его единицу и отображающееся гомоморфно на матричную алгебру гХ (ро) 10) а) Пусть Š— простой А-модуль, у которого сопряженный нодуль Ег — тоже простой А-модуль, и Егг отождествляется с Е; покааать, что тело, коммутент модуля Е, иаоморфно телу, противоположному коммутавту модуля Ег. б) Воблиной простого А-модуля М наэывается раамерность контр- модуля модуля М (над коммутантом модуля М). А-модуль конечной длины /Ч нааывают модулем конечной кодлоны, если в некотором ряде )Кордона — Гельдера /Чо — — /Ч:Э/Чг з...
~ /(/г = (0) кодлины простых модулей гуг//Чг+г (1 ~( 1 < г — 1) конечны; сумма этих кодлин называется кодло ной модуля /Ч. Пусть )с (/г ) — кодляна А-модуля /У конечной ггодливы и Р— подмодуль /У. Тогда )с (/1/) = )ср+ й (/У/Р). Пусть Л вЂ” онаолют игнгг кольцо (э 2, упражнение 11), и модули А, п Ай — конечной подливы. Кольцо А называется 1бробгоиусогмл. 167 ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА если Л (М) = Л (Мэ) для любого простого А-модуля М; показать, что в этом случае Л (Е) = Л (Е*) для любого А-модуля Е конечной длины. Пусть А — фробеннусова алгебра конечного ранга над полем К„ вывести из а), что сипя (Е) = Й)шг (Е") для любого А-модуля Е конечной длины.
в) ПУсть К вЂ” поле, А подалгебРа матРичной алгебРы Ме(К) с базисом Ем+ Ем Е~з+ Езз Езг+ Еез Ем+ Еез. Еэз+ Еы1 Е,з, Егз, Еы и Еы (Е; — элементы канонического базиса алгебры Мэ (К)). Показать, что алгебра А инволютивна, но не фробениусова. (Заметить, что минимальные левые идеалы в алгебре А — это КЕ,э+ + КЕэз, КЕгз н КЕэе, минимальные правые идеалы КЕ,з, КЕээ, КЕы+ КЕгэ.) З 5. Простые н полупростые кольца г. Полупростпьге кольца Пиндложвнин 1. Пусть А — кольцо; следующие свойства эквивалвнтны: а) всякий А-модуль полупрост; б) модуль А, полупрост. В самом деле, всякий А-модуль изоморфен ,'фактормодулю модуля А~п (гл. 11, $1, и' 8, предложение 10), а фактормодуль полупростого модуля полупрост Я 3, и' 3, следствие предложения 8).
Поэтому из б) следует а). Опгвднлкнин 1. Кольцо А называется полупростым, если оно обладает эквивалентна ми свойствами а) и б) из прсдлоэкения 1. 3 а м е ч а н и е. Пусть А — полупростое кольцо; модуль А, моногенен (порождается единицей) и имеет конечную длину Я 3, и' 5, предложение 13); следовательно, кольцо А артиново и нетерово. Пгкдложкнин 2, Кольцо Аэ, противоположное полупростому кольцу А, полупросто. В самом деле, А е-модуль (А ), есть Аэ-модуль А„, то есть контр- модуль модуля А, Я 1, и' 2, предложение 4). Однако контрмодуль полупростого модули полупрост Я 4, и' 4, предложение 5). Прндложнник 3. Пусть М вЂ” А-модуль, и его контрмодуль является модулем конечного типа.
Для того чтобы кольцо гомотетий Ам было полупросто, необходимо и достаточно, чтобы модуль ))г был полупрост. 168 полгпгостыв мололи и кольцл гл.чш,г ь Необходимость этого условия очевидна. Обратно, если модуль М полупрост, то модуль (Ам)„изоморфный некоторому подмодулю произведения М" (и ) Π— целое число), полупрост по лемме 4 з 2, и'3. Пгвдложвнив 4. Для того чтобы кольцо было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы оно было игоморЯно кольцу гндоморфагмов некоторого полупростого модуля конечной длины.
Контрмодуль полупростого модуля полупрост ($ 4, и' 4, предложение 5), и достаточность условия следует из предложения 3. Обратно, пусть кольцо А полупросто. Тогда модуль А полупрост и моногенен (предлогкение 2), а кольцо А изоморфно кольцу его эндоморфизмов (т 1, и' 2, предложение 4). Пвндложвнив 5. Пусть А — полупростое кольцо.
Отличные от (О) иготипные компоненты А-модуля А, являются минимальными двусторонними идеалами кольца А. Всякий двусторонний идеал кольца А является прямой суммой минимальных двусторонних идеалов. В самом деле, двусторонние идеалы кольца А являются подмодулями в А„устойчивыми относительно правых умножений кольца А, то есть относительно коммутанта модуля А, ($ 1, и' 2, предложение 4). Следовательно (з 3, и' 4, предложение 11), они являются прямыми суммами изотиппых компонент модуля А„, а минимальные двусторонние идеалы — изотипными компонентами модуля А„что и доказывает предложение.
Пгвдло1кение 6. Пусть А — полупростое кольцо. Всякий простой А-модуль игоморсбен некоторому минимальному левому идеалу кольца А. В самом деле, всякий простой А-модуль изоморфен фактор- модулю модуля А, и, значит, некоторому простому подмодулю модуля А„ибо А, полупрост (з 3, и' 3, предложение 8), Пгвдложкнив 7. Пусть А — полупростое кольцо, для любого его левого идеала 1 сугцеспищет такой идемпотент е ~ 1, что (=Ае= 1е. В самом деле, идеал 1 обладает в А, дополнением 1' (з 3, и' 3, предложение 7).
Пусть 1 = е + е', е Е 1, е' Е1; для любого х Е ( имеем х=хе+хе", но хек О хе' Е Г, и поэтому хе= х, хе' = О. Это доказывает, что е'=е и ( =- (е. Так как Ае с: ~=(е ~ Ае, то (=Ае. 169 ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА о. Простпьсе гсояьт(а ПРедложкник 8. 11усть А — полупростос кольцо. Следующие свойства зквивалснтны: а) существует только один класс простых А-модулей; б) полупростой А-модуль А, изотипсн; в) А и (О) — единственные двусторонние идеалы кольца А. Эквивалентность свойств б) и в) следует из предложения 5. Ясно, что, с другой стороны, б) следует из а). Наконец, а) следует из б): модуль А, изотипен, так что всякий А-модуль, будучи нзоморфен фактормодулю модуля А~0 (гл.
11, р 1 и' 8, предложение 10), изотипен (з 3, и' 3, предложение 8). Определение 2. Полупростов кольцо нааывастся простым, если оно нс сводится к 0 и обладает свойствами а), б) и в) предлоаесния 8. Нике мы увидил1 П 6, н' 4), следствие 4 теоремы 4), что простые кольца можно охарактеризовать как артиновы кольца, не сводящиеся к О, единственными Лвусторопшзми идеалами которых являются А и (0). П р и и е р и. () Всякое тело П вЂ” простое кольцо, так как 1), — простой 1)-модуль.
2) Всякое коммутативног простое кольцо — поле (гл. 1, 1 9, и' 3, предложение 3). Алгебра А называется яроааой (соответственно полуаростай), если А проста (соответственно поаупроста) как кольцо. Пккдложение 9. Пусть М вЂ” А-модуль, и его контрмодуль конечного типа. Для того чтобы кольцо гомотгтий Аы было просто, необходимо и достаточно, чтобы М был изотипным полупростым модулем.
Необходимость условия очевидна. Обратно, если М вЂ” изотипный полупростой модуль, то модуль (Аы)„изоморфный подмодулю произведения Ма (и ) 0 — целое число) (з 2, и' 3, лемма 4),— изотипный полупростой (4 3, и' 3, предложение 8). 170 ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ, Ч111, $ Ь 3. Простыне ггомнонентпьс нолунросгпого нолътСа Теогемь 1. Полупростое кольцо А имеет конечное число минимальных двусторонних идеалов Ас (1 < с < и). Каждый идеал Ас является простым кольцом с единицей, и колацо А является прямой композицией подколец Ас. Обратно, пуста (А;),; „— конечное семейство простых колец. Произведение А колец А; полупросто, и канонические образы колец Ас в А являются в А минимальными двусторонними идеалами.
Пусть А — полупростое кольцо. Модуль А, обладает лишь конечным числом иаотипных компонент (и' 1, замечание), то есть (и' 1, предложение 5) минимальных двусторонних идеалов А, (1<с<п). Кольцо А является прямой суммой и, следовательно (гл. 1, т 8, и' 11, предложение 7), прямой компоаициев идеалов А;; компонента единицы кольца А в каждом Ас будет единицей кольца Ас. Идеалы А, веаимноаннулируются, так что каждый модуль (Ас), имеет то же самое кольцо гомотетий, что и подмодуль Л; модуля А„то есть кольца Ас полупросты; кроме того, всякий двусторонний идеал кольца Л, является двусторонним идеалом в кольце А, откуда следует, что кольцо Ас просто. Обратно, пусть (Ас)1«ь«„— конечное семейство простых колец, и А — их проиаведение. Очевидно, А, являются двусторонними минимальными идеалами в А (гл. 1, т 8, и' 10, предложение 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
