Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому утверждение вытекает из следствия 3 к предложению 12 З 5, и' 4, и того фанта, что А<о> имеет над полем (г ранг т. 5. Сепггрггбельные модулы тг илгебры Опгеделение 1. Пусть А — алгебра над полем К. А'-модуль М называется сепарабельным (над К), ес ш для любого расширения Е поля К (Е К А)-модуль Е ® М является модулем без радикала. А лгебра А называется сепарабелъной (над К), если для любого расширения Е поля К алгебра Е Я А бег радикала.
Утверждение, что А — сепарабельная алгебра, равносильно, таким образом, тому, что модуль А, сепарабелен над К; теорема 1 показывает, что если А — поле, то определенное здесь свойство сепарабельности совпадает с понятием сепарабельности расширения, определенным в гл. У, з 7, и' 2. Всякий подмодуль сепарабельпого над К модуля сепарабелен над К (см.
з 6, и'2, предложение 3); всякая прямая сумма модулей, сепарабельных над К, сепарабельна над К (см. з 6, и' 2, следствие 2 предложения 3). Если А-модуль М сепарабелен над К, то для любого расширения Е поля К (Е 8 А)-модуль Е.® М сепарабелен над полем Е: действительно, если Р— расширение поля Е, то Р зе (Е ® М) и Р 3е (Е 3 А) отождествляются соответственно с Р бр М и Р 8 А. Пгедложение 5. Лусть А — алгебра над полем К, и М вЂ” А-модуль конечного типа; если существует совершенное поле Р, являющееся алгебраическим расширением поля К и такое, что (Р 8 А)- модуль Р <х> М бег радикала, то модуль М сепарабелен над К. Пусть Š— проиавольное расширение поля К и ьг — алгебраическое замыкание поля Е; так как Р алгебраично над К, то можно считать, что Р ~ ьг.
Так как Р совершен~о, поле ьг является 222 ПОЛуПГОСТЫН МсдуЛН И КОЛЬПЛ ГЛ. уГГГ, е 7 сепарабельным расширением поля Р (гл. т, 3 7, и' 3, предложение 4), и следовательно (и' 2, следствие 1 предложения 3), радикал (Я ® А)-модуля Я ® М = Я ®,.(Р ~3 М) ранен нулю. Так как модуль М конечного типа н так как поле П алгебраично над Е я П К М = П Зк (Е З М), предложение 2б) и' 2 показывает, что модуль Е ф М без радикала, откуда и следует предложение. Слкдствик. Алгебра А над полем К свпарабельна тогда и только тогда, когда существует совершенное поле Р, являющееся алгебраическим расширением поля К и такое, что алгебра Р ® А бев радикала.
Достаточно применить предложение 5 к случаю М = А,, 3 в м е ч а н п е. Лели алгебра А имеет ксвечяыа ранг над К, то в предыдущем следствии можно опустить предположение, что поле Р алссгравчяс над К. Достаточно повторить доказательство предложения б, взяв в качестве П алгебраически замкнутое расжкрение поля Р, содержащее Р, н вместо предложения 26) и' 2 применить предложение 2в): в самом деле, алгебра Е Я А имеет вад полем Е конечный ранг и является, следовательно, артьясвым кольцом.
Пгкдложкник 6. Пусть А — алгебра лад полем К, и М вЂ” полу- простой А-модуль. Для того чтобы модуль М был сепарабгльным над К, необходимо и достаточно, чтобы для любого простого подмодуля модул М центр вго коммутанта был свпарабельным расширением поля К. Ввиду замечаний, предшествующих предложению 5, можно ограничиться случаем, когда модуль М прост. Пусть Я вЂ” центр тела, коммутанта модуля М, и Š— расширение поля К; по теореме 2 и' 4, для того чтобы модуль Е ф М был без радикала, необходимо и достаточно, чтобы алгебра Е ® Я была без радикала. Тогда предложение следует из определения 1. Слкдствик.
Лусть А — полупроспшя алгебра над полем К. Длв того чтобы А была сепарабвльна над К, необходимо и достаточно, чтобы центр любой ве простой компоненты был свпарабвльным. расширением поля К. 6 РАдикАл и полУпРОстотл тензОРных ИРОизведении 223 Это следует из предложения 6, примененного к А„и описания центра простого кольца ($5, и' 4, теорема 2 и предложение 12). Опгеделение 2. Пусть А — алгебра над полем К. А-модуль М называется абсолютно полупростым, если для любого расширения Е поля К (Е ® А)-модуль Е бУ М полупрост.
Алгебра А называется абсолютно полупростой, если для любого расширения Е поля К алгебра Е 8 А полупроста. Пгедложение 7. Пусть А — алгебра над полем К, и М— А-модуль конечной размерности над К. Модуль М абсолютно полупрост тогда и только тогда, когда он сепарабелсн над К. Необходимость условия очевидна.
Обратно, если это условие выполнено, то для всякого расширения Е поля К (Е Я А)-модуль Е ® ЛХ имеет конечную размерность над Е и тем более конечную длину; так как он без радикала, то он полупрост ($6, и' 4, теорема 4). Следствие. Конечномгрнол алгебра над полем А абсолютно полупроста тогда и только тогда, когда она сепарабельна над К (см. упражнение 9б)). 6. л"етгзорное тгротгеоеденчге с Оепарабельтгшм модулем ТеОРемА 3. Пусть А,  — алгебры над полем К, С =- А бР В, М вЂ” А-модуль, сепарабельный над К, Л' — В-модуль. Тогда 9(О(М З Л) с= ЛХ З йз(7У). (9) Если, в частности, Лà — модуль без радикала, то и С-модуль М 8 Л' без радикала. Предположим сначала, что модуль Лг прост; пусть Р— коммутант модуля Л', и 2 — центр Р. В силу леммы 2 и' 4 достаточно доказать, что радикал (А 3 Рз)-модуля М ® Р„равен нулю.
Но М 3 Р„изоморфен (М 3 Я) 3г Р;, так как, по предположению, модуль М сепарабелен, то М 3 2 — модуль без радикала; так как 2 — центр тела Р, по следствию 1 предложения 3 '(и' 2) М 3 Р„ — модуль беа радикала. Перейдем теперь к общему случаю. Пусть г = ~ с; ® у,'— элемент радикала 9гс (ЛХ 3 Ю), с, Е М, 'у, б ЛГ; можно считать, 224 полупгостык мОдули и кольцА гл, у!11, $7 что злементы с; линейно независимы пад полем К.
Если Л"'— простой В-модуль, то, по предыдущему, М З Л" — С-модуль без радикала; тогда для любого В-гомоморфизма ~ модуля Л' в Л" (( З Л (г) = Х с' З 1 (у;) = О (т 6, и' 2, предложение 2), и сле- 1 довательно, г (у;) = О для любого й Это показывает, что злементы у; принадлежат радикалу модуля Л', что и заканчивает доказательство.
Слкдствик 1. Если алгебра А сепарабельна, то для любого В-модуля Л' справедливо включение Яс (А З Л') с: А З огв (Л'). Слкдствик 2. Пусть А,  — алгебра над полем К. Если А-модуль М сепарабелен и В-модуль Х сепарабелен, то (А З В)-модуль М З Л сепарабелен. Пусть Š— расширение поля К; так как модуль Л' сепарабелен, Л' З Е является модулем без радикала над В З Е; ввиду теоремы 3 модуль М З (Л' З Е) над алгеброй А З (В З Е) будет без радикала.
Тогда из ассоциативности тензорного произведения следует, что (М З Х) З Е вЂ” модуль без радикала над алгеброй (А З В) З Е, что и доказывает следствие. Слкдствик 3. Пусть А,  — алгебры над полем К. Если .4 сепарабельна, а В бег радикала, то А З В бег радикала. Достаточно в теореме 3 положить М =- А„Л' .= В,. Слкдствик 4. Пусть А,  — алгебра над полем К. Если алгебра А З В полупроста, то А и В полупросты.
Обратно, если одна иг них сепарабельна и одна или другая имеет конечную размерность над полем Х, то алгебра А З В полупроста. Первое утверждение следует из теоремы 2а) прн М = А„ Л' = В,. Если А (соответственно В) конечного ранга над полем К, то А З В является В-модулем (соответственно А-модулем) конечного типа; поскольку В (соответственно А) — артиново кольцо, то зтот В-модуль (соответственно А-модуль) артинов (з 2, и' 3, предложение 7). Тем более артиновым будет кольцо А З В, кроме того, по следствию 3 зто кольцо без радикала и, следовательно, полупросто (3 6, и' 4, следствие 2 теоремы 4).
т РАдикАл и полтпРОстотА тензОРных произведении 225 7. Простые модули над тпеггоорным нроизыедением алгебр Пркдложкник о. Пусть А,  — алгебры над полем К, Р— простой (А йР В)-медуль конечной размерности над К. Тогда существуют простой А-модуль М и простой В-модуль гт' такие, что модуль Р игаморфен некоторому фактормвдулю (А (а> В)-модуля М З га'. Кроме того, классы модулей М и аа' ($3, и' 2) одноаначно определяются классом модуля Р. Так как модуль Р имеет конечную раамерность над полем К, то в нем, как в А-модуле, найдется простой А-подмодуль М. Модуль Р можно рассматривать и как А-модуль и как В-модуль (при сужении кольца операторов), и гомотетии А-модуля Р перестановочны с гомотетиями В-модуля Р, Если Р рассматривается как 'А-модуль, то группа ел (М, Р) оказывается наделенной структурой В-модуля (гл.
111, прилоягение 11, п' 7). Пусть К-линейное отображение у модуля М сс лл (М, Р) в Р определяется равенством у (х ф и) = и (х) при х ~ М, и Е:ь"А (М, Р); зто отображение является (А 8 В)-гомоморфизмом, так как при асА, ЬсВ, хсМ и иЕХА(М,Р) выполняется равенство ср ((а 8 Ь) (х ® и)) =- <р ((ах) 8 (Ьи)) .= (Ьи) (ах) = = Ьи(ах) = Ь(аи(х)) =(а Я Ь) ф(х Я и). С другой стороны, модуль л,л (М, Р) имеет конечную размерность над К и не сводится к О; следовательно, у него существует простой В-подмодуль Л'. Тензорное произведение М 3 )т' канонически отождествляется с некоторым подмодулем в м с г л, А (м, Р) (гл. 111, $ 1, и' 3, следствие 3 предложения7), и сужение гомоморфизма у на М 8 )Ч не равно тождественно нулю; следовательно, это сужение сюръективно (т 4, п' 3, лемма 2), иными словами, модуль Р изоморфен фактормодулю модуля М ® дг.
Кроме того, М Я К является, очевидно, полупростым А-модулем, изотипным типа М, и полупростым В-модулем, изотипным типа Л; позтому, ввиду А-линейности и В-линейности отображения ~р, модуль Р будет полупростым А-модулем, изотипным типа М, и полупростым В-модулем, изотипным типа га', что и заканчивает доказательство, 15 н. кургана полупгостые ИОдули и копьпа гл угп, 1 7 226 Слндствии.
Пусть А,  — алгебры над алгебраически аамкнутым полем К; пусть Ж (А) (соответствеипо ю (В), Ж (А Э В))— множество классов простых модулей над А (соответствеппо В, А (д) В), имеющих конечную размерность над полем К, и М Е (й (А), Ф Е <б (В). Тозда М ® Лг — простой (А Я В)-модуль и отображение, которое каждой паре (М, ЛГ) ставит е соответствие класс модуля М ([Ь М, является биекцией произведения (й (А) Х 5 (В) на класс Ф (А б[) В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
