Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 50
Текст из файла (страница 50)
По теореме Берисайда ($4, п' З„следствие 1 предложения 2) коммутанты модулей М и Лг отождествляются с К, и следовательно, по теореме 2б) модуль М 3 Лг прост. Второе утверждение следствия вытекает иэ предложения 8. У п р а ж и е н и я. 1) Пусть А, В алгебры над полем К, я бу — абелева груипа, наделенная структурой А-модуля и структурой В-модуля. Для любого и б А (соответственно Ь б В) череа <р (а) (соответственно <У (Ь)) обоаначим эидоморфизм группы <г<, определаемый элементом а (соответстеенао Ь). Предположим, что <р ()<) = = <р (Х) для люоого )< б К и <р (а) и <у (Ь) коммутируют при всех а Е А к Ь б В. Показать, что при этих условиях па 21 существует единственная структура (А 3 В)-модуля такая, что данные структуры А-модуля и В-модуля получаются нз нес сужением кольца скаляров до А и В соответственно.
2) Пусть С вЂ” кольцо, и В подкольцо в С, содержащее его единицу и такое, что всякий максимальный левый идеал кольца В содержитсл в некотором максимальном левом идеале кольца С. Показать, что при этих условиях справедлива формула (4) пз леммы 1. 3) Пусть В = К [Х! — алгебра многочленов от одного переменного над полем К, С = К [[Х!! — алгебра бюрмальных степенных рядов от одного переменного над К; В рассматривается как нодкольцо в С. а) Показать, что обратный образ радикала модуля С при каноническом отображении у -<. 1 Я у модуля В, в С Я вВ, = С, не содержится в радикале модуля В, (см.
$6, и' 3, примеры 1 и 2). б) Вывести отсюда, что С не является свободным В-модулем. 4) Пусть  — алгебра К [Х! многочленов от одного персыепного над полем К, А — ее поле дробей К (Х). Покааать, что (А Я В)-модуль А (упражнение 1) прост, но как В-модуль А совпадает со своим радикалом. 5) Пусть А — алгебра К [Х! мкогочленов от одного иеремекного вад полем К,  — алгебра над полем К. а) Показать, что элемент 1 3 1 — Х Я у, где у б В, обратим в А 3 В тогда н только тогда, когда элемент у нильпотентен. глдиплп и попупгпстотл тпыэоиыых пноиэнидпыий 227 б) Пусть алгебра В не содержит иилькотеитных элемсятоэ ~0. Вывести иэ а) и предложения 3, что алгебра А 3 В беэ радикала. Получить отсюда пример, в котором И(В) Ф (О), но алгебра А 8 В беэ радикала (см.
4 6, и' 3, пример 1), «6) Пусть А — кэаэипростая алгебра над К (5 5, упражне- ние 5), () — кольцо эндоморфиэмов абелевой группы А. а) Пусть Нш Нн — кольца левых и правых умножений алге- бры А (5 т, и' 2), Н вЂ” подкольцо в П, порожденное объединением Нь () Нн. Покаэать, что А — простой Н-'модуль, н вывести иэ этого, что его центр Я вЂ” поле (эаметпть, что центр Е иэоморфен коммутанту подкольца Н в ()). б) Пусть  — алгебра над нолем К. Показать, что всякий дву- сторонний идеал алгебры А (х) В имеет вид А Ях $, где 5 — дву- сторонний идеал в Ь 3 В, (Сначала рассмотреть случай Я = К; эатем, пользуясь утверждением а), применить предложение 6 5 4, и' 5, тан же как в лемме 2 и' 4.) в) Вывести иэ б), что если алгебры А и В над К кваэипросты и одна иэ них имеет центр К, то алгебра А 3 В квааипроста.
г) Пусть  — алгебра над К, А — кваэипростая подалгебра в В, центр которой Я С К. Покаэать, что А п ее коммутантА' в алге- бре В линейно раэдельны над 2 (испольэовать 6)). д) Вывести иэ в) и г), что если алгебра А кэаэипроста над К, то Нь и Ня линейно раэдельвы в И над своим общим центром Я и кольцо Н полупросто. Покаэать, кроме того, что подкольцоН плотно в 'Гх (А) Н = Хх (А) тогда и только тогда, когда алгебра А конеч- ного ранга над Я (см, 4 5, упражнение 4). е) Пусть А — полупростая алгебра с центром К. Вывести иэ д), что алгебра А 3 Ае полупроста тогда и только тогда, когда ранг [А; К! конечен.
7) Пусть алгебра А имеет нпльпотентный радикал Ь (О) и ее центр К вЂ” поле. Показать, что кольца Нг и Нн левых и правых умножений алгебры А не являются линейно раздельными над своим общим центром в кольце И эндоморфиамов абелеэой группы А. 8) Пусть Š— расширение конечной степени поля К; алгебра Е 3 Е полупроста тогда и только тогда, когда расширение Е сепа- рабельно над К (свести доказательство к случаю, ногда Š— ради- кальное расширение).
*9) Пусть Š— расширение поля К. Для того чтобы алгебра Е 3 Р при любом расширении Р поля К была полупростой, необхо- димо и достаточно, чтобы Е было радикальным расширением неко- торого сепарабельиого алгебраического расширения Ео поля К конеч- ной степени иад К. Показать последовательно, что: а) Поле Е не может быть трансцендентным расширением поля К (вэять в качестве Р чисто трансцендентное расширение поля К, алге- браически раздельное с Е, и воспользоваться упражнением 4 глЛ, $9) . полупгостык мОдули и кОльцл гл.
чпг, $ у б) Степень [Ео . К[ наиболыпего сепарабельного расширения Ее поля К, содержащегося в Е, обязательно конечна (заметить, что в противном случае алгебра Е <3 Е, где Š— наибольшее сепара-. бельиое расширение поля К, содери<ащееся в алгебраическом аамыкании поля К, содержит ортогональные системы идемпотентов с произвольно большим числом элементов). в) Показать, что, обратно, если степень [Ео .
К) конечна, то при произвольном сепарабельком расширении Е поля К алгебра Еэ 60) Е является прямой компоаицией сепарабельных расширений Су поля К (1 (у (г), а алгебра Е Я) Š— прямой коиповицней радикальных расширений Ру полей Су (1 ~(у ~< г). "10) Пусть У вЂ” векторное пространство бесконечной размерности над телом Р, А — плотное подкольцо в Хп (У) и его цоколь ю ие сводится к О. Пусть К вЂ” подполе, лежащее в центре Р,  — ' алгебра над К.
Покааать, что если радикал алгебры Рэ ® В не сводится к О, то и радикал алгебры Л ([[) В не сводится к нулю. (Используя упражнение 31 1 6, свести доказательство к случаю, когда Л— алгебра над полем К, порожденная цоколем <э и единицей. Затем рассмотреть в б ® В элементы г',и< ® ЬО обладающие следующим 1 свойством: пусть М вЂ” подпространстзо конечной размерности в Г, содержащее все образы и; (У), Ф вЂ” его дополнение в У, содержащееся з ядрах эндоморфизмов и; (см.
6 5, упражнение 10з)); отон<дествим каждый и; с матр<щей его сужения на М относительно некоторого базиса в М; тогда сумма ~~~~и< ® Ь< должна отождествиться с матрицей, все элемевтм которой принадлежат радикалу алгебры Ро ® В. Показать, что эти элементы образуют в б (к) В идеал, содержащийся в радикале алгебры А 3 В, н применить упражнение 5 [ 6.) 11) Пусть К вЂ” поле характеристики О, А — квазппростая алгебра вад К, определенная в упражнении 13 [ 5,  — алгебра К [[Т[[ формальных степенных рядов от одного переменного Т над полем К.
Показать, что В является центром алгебры А Я В, алгебра А (х) В не имеет делитеаей пуля и что единственными обратимыми элементами этой алгебры будут обратимые элементы алгебры В. Вывести отсюда, что алгебра Л Я В примитивна, хотя ее центр имеет радикал чь(0) (используя упражнение 66), показать, что максимальный левый идеал алгебры Л Я В, содержащий элемент 1 31 — Ю 8 Т (обозначения из упражнения 13 $5), не имеет двусторонних идеалов, отличных от (0)). 12) Пусть К вЂ” несовершенное поле, Е ~ К вЂ” его радикальное расширение, имеющее кояечную степень иад К.
Пусть У вЂ” векторное пространство бесконечной размерности над полем Е,и А — подалгебра (иад К) в йл (У), порожденная эндоморфизмами конечного ранга пространства У и тождественным отображением. Показать, что радикал тепзориого произведения А Я Е не сводится к пулю улдиклл и полуппоототл ткнзопных пгоизвкдкнин 229 (см. унражневие 10), хотя центр А ® В является нолем, изоморфным В. 13) Пусть А,  — простые алгебры над полем К и алгебра В сепарабельна.
Предположим, кроме того, что алгебра А имеет конечный ранг над своим центром Я, и Š— алгебраическое расширение поля К. Показать, что кольцо А Ор В регулярно Я 6,"упражнение 15) (заметить, что всякий элемент алгебры А (й) В принадлежит некоторой подалгебре вида А, ® В, где А, — простая алгебра конечного ранга над полем К). Показать, что этот результат не распространяется на случай, когда Я вЂ” трансцендентное расширение поля К (см. З 6, упражнение 17 и гл. т', 4 О, упражнение 4).
14) Пусть А,  — алгебры над полем К, М вЂ” А-модуль, Л— В-модуль, С вЂ” алгебра А ® В. Для любой вары эндоморфнзмов и с .'ел (М), о Е .ебв (М) существует единственный С-эндоморфизм ю тензорного произведения М Я Л такой, что и (х () у) = и (х) Е«о (у); положив ш = «р (и 3 и), получим К-лннейное отображение «р произведения сл (М) 3:св (Л') в со (М 3 Л') (зто отображение называется каноничеснил). Ниже мы будем считать, что А-модуль М свободен. а) Для того чтобы М ® Л' был точным С-модулем, необходимо и достаточно, чтобы В-модуль Ле был точным (рассмотреть базис алгебры А над К). б) Показать, что каноническое отображение ~у тепзорного произведения .Тл (М) 3 .лв (Л') в со (ЛХ 3 К) инъективво в образ 'р (Зл (М) ® Хв (Ле)) является в вп (ЛХ 3 )у) плотным подкольцом.
(Для доказательства первого утверждения рассмотреть элемент з = Еие (й«ом где о; б .Жв (Л') линейно неаависимы над К, и записать, что ч«(е) аннулируется па всех элементах некоторого базиса модуля М вад К. Для доказательства второго утверждения заметит«н что, выбрав в М базис (т«.) над кольцом А н в А базис (аь) вад полем К, для любого С-эндоморфнзма ш модуля М 3 Ле можно написать равенство ю (тл нее««У) = и (анти) ® оахв (У), где оаъэ б К'в (Лг) н пун а,в всяком у 6 Ле имеется лишь конечное число пар (се, у) таких, что о„ьэ (у) яа 0 ) в) Показать, что если кольцо гомотетпй Вн плотно в бикоммутанте модуля Л', то кольцо гомотетнй С к, плотно в бикоммутанте модуля М (3 Ле (тем же методом, что в б)).
г) Показать, что если М имеет конечную раамериость над волен К (откуда следует, что алгебра А конечного ранга над К), то каноническое отображение ~р биектпвво. Это же верно, если модуль М имеет конечный базис над А к если модуль У конечного типа. д) Предположим, что существуют элемент у б Л' и бесконечная последовательность (о„) эндоморфизмов В-модуля Л' такие, что векторное надпространство (вад полем К), порожденное в Лг элемен- 230 гл, угы,зу ПОЛУПРОСТЫК МОДУЛИ И КОЛЬЦА тами ~ (у), бесконечномерно.
Показать, что если каноническое отображение ф биективно, то модуль М имеет коисчвый базис над А. е15) Предположим, что Л-модуль М свободен, а В-модуль В прост (обозначения иэ упражнения 14). Пусть Р = Хв ()У) — коммутант В-модуля Х. а) Для того чтобы каноническое отображение ф тензорного произведения ХА (М) 13 Хв (Х) в ХС (М ® )у) было биективным, необходимо и достаточно, чтобы модуль М имел конечный базис вад К илн тело Р имело конечную размерность над К (см. упражвения 14г) и д)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
