Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 54
Текст из файла (страница 54)
пгимкнкния: и. полгпгостык скмкпствя эндомогфизмов 243 предложение 4), а и„нильпотентен; более'того, эндоморфиаиы и, и и„являются многочленами от и с коэффициентами из поля 'К и беэ свободного члена. Существование и единственность эндоморфизмов и, и и„следуют из предложений 11 и 12 гл.
Ч11, $5, и' 4. Эти предложения показывают также, что в пространстве У существует базис,'(е~), относительно которого матрицы У, и П„, эндоморфизмов и, и и„ являются линейными комбинациями степеней матрицы У андоморфизма и относительно (е ) с коэффициентами из алгебраического замыкания й поля К. Так как все элементы матриц П, У, и П„ лежат в К, то П, и П являются также линейными комбинациями степеней матрицы У с коэффициентами из поля К (гл. П, з 5, и" 3, теорема 1); иными словами, матрицы П, и П„являются многочленами Р (П) и 9 (П), где Р и () принадлежат К [Х].
Остается докааать, что можно подобрать многочлены Р и 9 без свободного члена, причем достаточно доказать это для О. Если эндоморфрзм и обратим, то его характеристический многочлен имеет ненулевой свободный член; тогда по теореме Гамильтона — Кэли (гл. Ч11, 1 5, и' 3, следствие 2 предложения 8) 1 является многочленом от и без свободного члена, откуда в рассматриваемом случае и следует наше утверждение. Если эндоморфизм" и необратим, то его ядро И' не сводится к О и устойчиво относительно и„(гл, Ч11, з 5, и' 4, лемма 2). Так как сужение эндоморфнзма и„на И' нильпотентно, то существует ненулевой вектор х Е Иг такой, что и (х) = и„(х) = О, откуда следует, что многочлен 9 не может пметь свободного члена.
Слкдствик. Пусть и, з — перестановочные эндоморфизмы пространства У. Тогда зндоморфизмы и, з, и„з„и, з„попарно перестановочни. Опгкдклкнив 4. Эндоморфизмы и, и и„, определенные в предложении 8, называются соответставенно полупростой и нильиотентной компонентами эндоморфизма и. Пгкдложкник 9. Предположша, что поле К совершенно.
Пусть и — эндоморфизм пространства У, И' — подпространслгво в У, устойчивое относительно и, и' — сужение и на И', и" — эндоморфизм пространства УЛР, получаемый из и путем факторизации. Маг 244 полупгостые ИОдули и кОльБА гл. уш, $ э Тогда полупростая (соответственно нильпотентная) компонента эндаиорфизма и' является сужением компоненты и, (соответственно и ) на надпространство )У; полупростая (соответственно нильпотентноя) компонента эндоморф изма и" получается путем факторизации из и, (соответственно из и„). Кроме того, если зндоморфизм и, диагонализируем, то и,' и й, тоже диагонализируемы. В самом деле, пусть о' и ш' — сужения эндоморфизмов и, и и„на И' (надпространство И" устойчиво относительно и, и и„ ввиду предложения 8), э' и и" — эндоморфизмы пространства У/И", полученные соответственно из и, и и„путем факторизации.
Ясно, что и' и ш' нильпотентны; по определению минимального многочлена эндоморфизма, минимальные многочлены сужений о' и Р' делят минимальный многочлен и;, следовательно, о' и э' полупросты (и' 2, предложение 5) и даже диагонализируемы, если диагонализируем эндоморфизм и, (гл. т'11, $5, и' 4, предложение 10). Но и' = о' + ш', и' = э' + ш", и эндоморфизмы о' и ш' (соответственно о" и ш") коммутируют, так что доказываемое утверждение следует из предлол|ения 8. Пгвдложкник 10.
Предположим, что поле К совершенно. Пусть 3 — такое множество попарно перестаноеочных зндоморфизмов пространства У, что корни минилшльнию многочленов всех и Е $ лежат в поле К. Тогда в пространстве У найдется базис, относительно которого всякий эндоморфизм и Е ~ имеет треугольную матрицу, а матрица всякого и, диагональна, и ее элементы совпадают с диагональными азементами матрицы эндоморфизма и. Пусть А — алгебра, порожденная множеством 5 (и 1), и (У;),~;< — ряд Жордана — Гельдера' А-модуля конечной длины У; А-модуль И'; = г';/уи, прост и имеет над К конечную размерность, алгебра А коммутативна; следовательно Я 5, и' 2, предложение 9 и и' 4, предложение 12), кольцо гомотетий Ав, является полем, расширением конечной степени поля К. По предположению, для любого и б Д выполняется равенство Р (и) = О, где Р Е К [Х) — многочлен, все корни которого лежат в К; следовательно, Р (ив,) = О, и поскольку ив порождают поле Аж,, то Авг, —— К; так как К-модуль Й~, прост, то его размерность рав- 245 на 1.
Далев, множество ~, полупростых компонент эндоморфпзмов и Е,ч состоит из попарно перестановочных эндоморфизмов (следствие предложения 8) и, следовательно (и' 2, теорема 1 и предложение 4), полупросто; тогда в пространстве У, подпространство Уы, имеет дополнительную прямую Р„устойчивую относительно всех элементов из 5,. Элементы е; чь О, взятые из прямых Ри образуют бавис пространства У; относительно этого базиса все полупростые компоненты и, эндоморфизмов и Е П имеют диагональную матрицу; с другой стороны, нильпотентная гомотвтия (и„)ж, — нулевая; но и„(Г,) с: Уы откуда ясно, что матрица эндоморфизма и относительно базиса (е;) — треугольная и ее диагональные элементы равны нулю, что и ааианчивает доказательство, У и р а ж и в и и я.
1) Пусть и — эпдоморфпзм пространства Габ ~ Ь" = аз п ( ) — эго матрица отпосптэльпо капоппчэспого базиса (,уб,) пространства У.. Полазать, что если (а — б)э+ 4))у ~ О, то и абсслютпо полупрост. 2) Пусть, в обозначениях упражпвппе 1, э — ппльпотэптпый эпдоморфпзм пространства Е, матрица которого относительно паво- АО О'~ ппчэспого базпса равна ( ). Привести пример абсолютно полу- простого эпдоморфпзма и пространства Е, для которого эпдоморфязмы и+ э и иэ абсолютно полупросты. $10.
Простые подкольца. Изоморфиамы простых колец В этом параграфе остаются в силе соглашения, принятие в начале 3 7. 1. Теорема Снолема — Немзер Ткогвма 1 (Сколам — Натер). Пусть А — простая алгебра над полем К, центр которой совпадает с К,  — простая алгебра конечного ранга над полем К, ) и у — К-изоморфизмы алгебры В на подалгебры алгебры А. Тогда существует такой внутренний автоморфизм б алгебры А, что у = б и у. В самом деле, возьмем простой А-модуль Я и отождествим А с его кольцом гомотетий (з 5, и' 4, теорема 2). Коммутант модуля В есть тело Р с центром К. По следствию 2 теоремы 2 2 7, и' 4, 246 полупгостык модули и кОльцА Гл. у111, $19 алгебра П зл В проста. Формулы (Д йг э Ьы 8) — ь Х й1 (1 (Ь1) 8) ( 1? Э Ь, г) — ч~~~1? (у(Ь1) 8), задающие на Я внешнив законы композиции, определяют на Я две структуры (?) Эк В)-модуля; существование этих законов следует из того, что отображения (г?, Ь) — ь с?(У(Ь) 8) и (й, Ь) -+ ~?(д(Ь)г) К-билинейны (гл.
111, $1, и' 2), и из формулы ~ г?1 (~ (Ьа) (ч~Д 1?11 (У (Ь)) г)) ) = ~ч' ,~чД А л? (~ (Ь1Ь)) г) 1 1 и аналогичной формулы, гдв ? заменено на у, которые выполняются в силу того, что Э вЂ” коммутант А-модуля Я, Определенные таким образом два модуля имеют одинаковую длину: в самом деле, кольца В и ?) ®к В просты, и поэтому ($5, и 6, формула (3)) зта длина в обоих случаях равна определителю Й1шр В, деленному на высоту Ь (?) ®к В, ?)).
Более того, эти модули иэоморфны, поскольку кольцо П ®к В просто (э 5, н' 2, предложение 8); иными словами, существует такой автоморфизм и абелевой груп- пы Ю, что (йу(ЬН =( й~(Ь)") (1) для любых элементов с? Е В, Ь б В и 8 Е Я. Положив в этом равенстве Ь = 1, получаем, что и Е Хр (г) = А. Положив в (1) с? = 1, получаем д (Ь) = и? (Ь) и-1, что и доказывает теорему. Слвдствив. Пусть А — полупростал алгебра конечного ранга над полем К, б — ее внутренний аетеморфизм, составляющий инеариантными элементы центра алгебры А. Тогда ?) — внутренний аетемерфизм.
В самом деле, пусть А, (1 <1 < п) — простые компоненты алгебры А ($5, и' 3) и е1 — единица алгебры А1. Все элементы ег лежат в центре алгебры А, и следовательно, 6 (А ) =- 6 (е,А) = = е,А = А,. Так как А — алгебра конечного ранга над К, то каждая А1 имеет конечный ранг над К и тем болев над своим центром.
По теореме 1 (примененной к каждой алгебре А„рас- 247 своим центром) для всякого индекса ! сущевлемент с» Е А, такой, что б (х) = с,ж»' для п с =,Я~ с„будем иметь Ю (х) = схс-! для всех »=1 сматрнваемой над ствует обратимый всех х Е А,. Ваяв х~ А. Если А тело, не имеющее конечного ранга над своам центром, то могут существовать и не внутренние автоморфивмы А, оставляющие иввариавтными влементы центра тела А (упражнение !0).
М. Простые таоднольца тароотпых колосу Творима 2. Пусть А — простое кольцо с центром К,  — его простое подкольцо, содержащее К. Если В конечного ранга над К, то: а) коммутантп В' кольца В е А — простое кольцо; Пгвдложкнив 1. Пусть У вЂ” векторное пространппво над о»слом Р. а) Длв любого аетоморфигма о тела Р и любого биектиеного отображения у пространства г" на себя, полулинейноео относительно о, отображение и — в. биу-! является автоморфивмом кольца Хэ (р).
б) Всякий автоморфигм кольца Хо (У) может быть получен етим способом. Первое утверждение очевидно. Пусть 6 — автоморфивм кольца Хв (р). Формула (а, х) -ь () (а) х внешней компоанции надает на У вторую структуру Хо (Р)-модуля, причем модуль У относительно обеих структур является простым и точным (т 3, и' 1, пример 2). Заметим теперь, что кольцо Хв (Р) обладает минимальными левыми идеалами (т 3, и' 1, пример 2). Но тогда предложение 5 4 3, и' 1, покалывает, что рассматриваемые на г' структуры Хв (У)-модулей изоморфны; иными словами, существует автоморфизм у абелевой группы г' такой, что б = уиум для любого и ~ Хв (Р). Но тело Р (отождествленное с кольцом Рт гомотетий векторного пространства Р) является коммутантом кольца Хв (7) (т 1, и' 3, предложение 6), так что уРу-' = Р; отсюда следует, что сужение на Р автоморфивма и -ь бил-! кольца вндоморфивмов абелевой группы г' будет автоморфивмом о тела Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
