Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть А, А „В, Вг — простые алгебры конечного ранга над сеоим центром К, А подобна А, и В подобна 'ВО, Тогда А ® В подобна Аз (х) ВО В самом деле, алгебра А (соответственно 'А,) ивоморфна алгебре вида Мр (Р) (соответственно М„(Р)), алгебра В (соответственно Вг) изоморфна алгебре вида Ме (Е) (соответственно М, (Е)), где Р и Š— тела конечного ранга над своим центром К. Алгебра Х) ф Е проста, ее центр равен К, и следовательно, она ивоморфна. алгебре М» (Х), где Ь вЂ” тело конечного ранга над своим центром К. Известно, что для всякой алгебры С над полем К-алгебра УХ„(С) нзоморфна С ~9 ЭХ„(К) (гл.
111, 3 3, п'2) н что тензорное произведение М (К) 8 М„(К) изоморфно М' „(К) (гл. 111, $3, п'2); отсюда следует, что алгебра А ® В нзоморфна М»вз (Х), а А, ® В, ивоморфна М» Щ, что и доказывает предложение. л пгостыв подпольна. изомогфнзмы пгостых полни 253 Обозначим через Ют, (Х, У) отношение «К вЂ” поле, и Х, У вЂ” подобные простые алгебры.с центром К конечного ранга над К».
Ясно, что это есть отношение эквивалентности между Х и У. Если Х и У вЂ” подобные простые алгебры (с центром К конечного ранга надК), тонстинно отношение(«2) (8т (Х, Я) =» Кт (У,2)). Но схема Б7 (Теор. мн., гл. 1, 3 5, в' $).дает следующую аксиому: ((че ) (отх (Х,Х)=ь(от» (У, Е)))=»(тг (от» (Х, Я)) = тг(от»(У, Е))).
Следовательно, если Х и У вЂ” подобные простые алгебры конечного ранга над своим центром К, то тг(отх(Х, е'))=тг(от (У, е)). Для любой' простой алгебры конечного ранга над своим центром К ез(Ют (А, 2)) называется классом алгебры А; говорят также, что А — алгебра класса тг (Ют (А, 2)).
Так как отношение Ют (А, А) истинно, то класс алгебры А является простой алгеброй, подобной А. Таким образом, для подобия двух простых алгебр копечного ранга над своим центром К необходимо и достаточно, чтобы они были одного класса. Теперь мы декан<ем, что отношение ««г есть класс простых алгебр с центром К конечного ранга над К» является коллектиеигирующим по с«(Теор, мн. гл. 11, з 1, и' 4).
Пусть Ф„, и > $,— множество подалгебр К-алгебры 2» (К"), содержащих единицу этой алгебры, и Ф вЂ” объединение семейства (Ф„)„>,. Всякая алгебра А ранга и над полем К изоморфна алгебре левых умножений кольца А ($ $, и' 2); так как векторное пространство А изоморфно К", то алгебра А иаоморфна некоторой алгебре, принадлежащей М „. Пусть тогда г — множество простых алгебре центром К, принадлежащих М, и М (К) — множество объектов вида тг (8т» (Х, 2)) для Х Е У (Теор. мн., гл. 11, з 1, в'6).
Ясно, что для любого класса се простых алгебр конечного ранга над своим центром К нмеемсеЕ лУ (К); М (К) называется множеством классов простых алгебр конечного ранга над своим центром К. Определим теперь на множестве М (К) структуру абелееой группы.
Пусть с«, р б лр (К); обозначим через с«(1 класс простой 254 полупростык модули и кольца гл. У111, $10 алгебры а б() (); ввиду нзоморфности произведений а 8 )) и )) Э а определенный таким образом закон композиции коммутатиеен. Для доказательства его ассоциативности заметим, что класс (ар) у подобен (ар) ® у, а класс а (ру) подобен а ® (ру); тогда по предложению 5 (ар) у подобен (а ф )3) ® у, а сс (ру) подобен а ® ()) ® у); таким обрааом, наше утверждение следует нз того, что (а 8'))) ® у и а ф (р 1х) у) изоморфны. Теперь покажем, что класс е поля К является нейтральным элементом в Я (К); в самом деле, е иэоморфен некоторой алгебре М„(К); для любого класса а ~ У (К), изоморфного некоторой алгебре вида Р Э Мр (К) (где Р— тело с центром К), класс еа подобен Р ® М„р (К) и, следовательно, подобен а.
Наконец (и' 2, следствие 2 предложения 2), для любого а й Я (К) класс а ® ае изоморфен алгебре матриц М„(К), то есть аас = е, откуда следует, что аэ — обратный элемент к а в У (.К). Опркдклкник 2. Пусть К вЂ” поле. Группой Брауэра поля К называется мнолсестпво АУ (К) классов простых алгебр с центром К конечного ранга над К, наделенное законом композиции (а, (3) -+ ар. где ар — класс простпой илэебры а ® )). П р в м е р ы. 1) Если поле К алгсбравческв замкнуто, тс всякая простая алгебра ксвечвогс ранга вад полем К нэсмсрфна алгебре матриц дек (К) (1 с,а' 4, следствие 3 предложения 12).'Следовательно, группа Брауэра в этом случае сводится к вейтральвсму элементу. *2) В $11, и' 1, мы увидим, что если вслс К конечно, тс всякое тело ковечвсгс ранга над К ксммутатвэвс; следовательно, простыв алгебры конечного рангавад своим центромКтакжеяэомсрфны алгебрам матриц экк (К) в группа Я (К) сводится в нейтраэьвому элементу.
3) В $11, а' 2, мы увидим, что груцва Брауэра максвмэльвсго упорядоченного поля является ииклической еруккой коркдкк 2. 4) Можно всваэать, чгс если К вЂ” локально компактное всрмвровэввсе тало, абсолютное аначсане которого валюатявнс, тс группа БрауэрэЯ (К) кэсмсрфва 9/Я (крацясваэькые числа пс шой 1э). й. Нечзтвралтслующтзе и.о.эя Пусть К вЂ” поле, Ь вЂ” его расширение.
Для любой алгебры А с центром К и конечного ранга над К алгебра А<о), получаемая расширением поля скаляров до Ь, представляет собой не что иное, как тензорное произведение А ® Е, рассматриваемое как пгостыв подкольця. изского>измы простых колнц 255 алгебра над Х, (гл. 111, т 3, и' 4); следовательно, зта алгебра проста, ее центр равен Х Я '?, и' 4, следствие 2 теоремы 2) и ее ранг надЬ равенрангуА надК. Заметим теперь, что еслиА иВ— алгебры над полем Ь, то Ь-алгебра А<с><3>ь В<с> канонически изоморфна (А ® В)<>.» в самом деле, по свойствам тензорных произведений (гл.
111, Ц 1, 3 и приложение 11) алгебры А ф В<3> Ь, А З (Х <3>ь Х) 8 В, А <3> (Ь 3ь (Ь <3> В)) и (А 8 Ц бишь (В <Э Ь) канонически отождествимы. Пусть Р— тело конечного ранга над своим центром К. Применяя предыдущее замечание к тек зори ому произведению Р <к> М„(К), изоморфному М„(Р), убеждаемся, что алгебра (М„(Р))«> изоморфна (Р <3> Ь) Зь М„(Ь); отсюда можно заключить, что в случае, когда А и  — подобные простые алгебры конечного ранга над своим центром К, алгебры А<ц и В<ы над полем Ь подобны.
Для любого класса а б АУ (К) через аь обозначим класс простой алгебры а<с>. Пгвдложвнив 6. Пусть Х вЂ” расширение пася К. Тогда отображение а -г а<ы явллется гомоморфианом группы лг (К) в группу дг (Х), В самом деле, пусть а й лг (К), р й лг (К); тогда (а())<ь>, по определению, подобна (а <3> р)<ь>, т. е. а<» <3>ь р<ь>, и, следовательно, подобна аь))ь; таким образом, по определению, (ар)ь =- аь()ь. Ядро .>г';.,л гомоморфизма а-~аь является в дг (К)ь подгруппой и состоит из таких классов а, что для любой простой алгебры А .класса а алгебра А<с> иэоморфна алгебре матриц М„(Ь); если класс простой алгебры А конечного ранга над своим центром К принадлежит „<>"ь, и, то говорят, что алгебра А нейтрализуется расширением Х поля К, а расширение называют нейтраяизующим относительно А (или, допуская вольность речи, нейтраяизующим полем алгебры А).
Если расширения Е и Р поля К связаны включением Е с: Р, то иа изоморфности алгебр (а<в>)<г> и а<к> (гл. Ш, $3, н' 4) следует, что (ав)г — — аг для любого а Е лу (К); отсюда,>у к,н с: У >,л. о а и е ч а н н е. Пусть >> простая алгебра конечного ранга над своим центром К.
Следующие грнсзойстза еквнзелентны: а) Ь вЂ” нейтралнгующее поле алгебры А; б) Ь-алгебра А<с> нгоморфне алгебре матриц зад некоторым полем; 256 пол>чпостык модули н кольце гл. тш, г <е в) коммутавт всякого простого модуля Ю пад А<с> совпадает с полем гомотетий Ьв. В самом деле, эквивалеиткость свойств а) и б) следует иэ того, что центр алгебры А<в> равен йд эквивалектяость свойств а) и в) следует ив того, что алгебра А<„>, будучи простой, иэоморфиа бикоммутанту простого А >-модуля Ю (1 б, и' 4, теорема 2). Пгкдложвнив 7. Пусть К вЂ” поле, Ь вЂ” его расширение конечной сп>вязни, А — простая алгебра конечного ранга над своим центром К.
Следующие два свойства гквиваленпэны> а) Р— нейгарал зующее поле алгебры А; б) существует алгебра В, подобная А и такая, что поле Ь К-изовеор4бно максимальному комм утативнам у под кольцу алгебры В. Докажем, что а) влечет б). По предположению, можно считать, что алгебра А<с> отождествлена с алгеброй Хь (У) эндоморфизмов векторного пространства У конечной размерности над полем Ь, А-модуль У имеет конечную длину, и поле Ь (отождествленное с полем гомотетий пространства у) является коммутантом А<ы-модуля У; поэтому коммутант С А-модуля У является простым кольцом, содержащим Ь, и (С, Ц = (А<ы .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
