Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 57
Текст из файла (страница 57)
А ) = Е: К! (т 5, и' 6, предложение 16); кроме того, общий центр А и С равен К, так что, ввиду равенства (С, К] = (С, КР, Ь будет в алгебре С максимальным коммутативным подкольцом (и' 3, предложение 3). Наконец, если Р— тело эндоморфизмов простого А-модуля, то Р' изоморфно телу эндоморфизмов простого С-модуля (й 4, и' 4, предложение 4); это показывает, что классы алгебр А и С обратны друг другу в Я (К); следовательно, алгебра В = С' подобна А, и поле Ь, очевидно, является ее максимальным коммутативным подкольцом.
Докажем, что, обратно, б) влечет а). Пусть поле Ь вЂ” максимальное коммутативное подкольцо алгебры В; отождествим В. с кольцом Хо (У) эндоморфизмов векторного пространства У, конечномерного над телом Р; тогда Р будет коммутантом В-модуля У. С другой стороны, коммутант поля Ь в В есть само поле Ь; иэ предложения 2 и 2 следует тогда, что алгебра Р<ь> изоморфна алгебре Хь (У), то есть Ь вЂ” нейтрализующее поле алгебры Р; так как классы алгебр В и 1) обратны друг другу, то простыв подпольна. изомогюизмы пгостых колкц 257 Ь будет также нейтрализующим полем для любой алгебры, подобной В.
Слидствик 1. П устаз Р— тело конечного ранга над своим центром К, и 1Р: К1 = г'. Если нейтрализующее поле Ь тела Р имеет конечную степень над К, то 1Ь: К1 кратно г. В самом деле, по предложению 7 существует алгебра А, подобная Р, в которой поле Ь является максимальным коммутативным подкольцом; но алгебра А изоморфна некоторой алгебре матриц ях„(Р), так что [А: К1 = пзгз, откуда 1Ь: К1 = пг (и' 3, предложение 3). Слкдствик 2.
Пусть Р— тело конечного ра га над своим центром К. Всякое максизигльное подполе тела Р является нейтрализующим полез«для Р. Не следует думать, что всякое нейтрализующее поле тела В содержит подполе, изоморфное некоторому его максимальному подполю (см. 1 12, упражнение 12). Слкдствик 3. Всякая простая алгебра А конечного ранга над своим центром К обладает нейтрализующим полем, являющимся расширением Галуа конечной степени поля К. В самом деле, пусть Р— тело, подобное А; по предложению 4 и' 3 Р содержит максимальное подполе А, являющееся сепарабельным расширением поля К. Из предложения 7 следует, что расширение Галуа )т" поля К, порожденное полем Р (в алгебраическом замыкании поля К), будет нейтрализующим полем алгебры А.
Мы видим, таким образом, что группа В (К) является объединением подгрупп Аг ю соответствующих расширениям Галуа )У конечяой степени поля К. Более глубокое иаучение группы Браузра состоит имонно в описании структуры групп,Я . и с помощью теории «скрещенных произведеяий», У п р а ж н е н и я.
1) Пусть А — простая алгебра Мз (К) (К вЂ” поле),  — ее подалгебра, состоящая из матриц вида 17 н. втгсаза 258 полупростып мОдули и кОльцА гл. у111, 1 10 С вЂ” подалгебра, состоящая из матриц вида я О О О О з О О О О з О О О О У где * пробегает К, а У вЂ” алгебру Мэ (Х).
Показать, что В и С— полупростые алгебры, содержащие центр алгебры А, и существует К-иэоморфизм 1 алгебры В на С, оставляющий иивариаиткымн элемеиты цевтра алгебры А, но пе существует внутреннего автоморфизма алгебры А, продолжающего 1 (заметять, что такой автоморфлэм ие может переводить простую компоненту алгебры В в простую компоненту алгебры С). *2) а) Пусть А — алгебра над полем К,  — ее простая подалгебра, имеющая конечный ранг над своим центром Х, В' — коммутакт подалгебры В и А.
Показать, что канонический гомоморфизм алгебрм В Як В' в А является биекцией иа А. (Заметить сказала, что В и В' линейно раздельны иад К (1 7, упражнение бг)); с другой стороны, алгебру А можно рассматривать как (В Я Во)-модуль ($7, упражнение 1); применяя следствие 2 предложения 2, показать, ято А является прямой суммой (В (ф Ве)-модулей М„, иэоморфяых В; заметить, иакоиец, что ~р (1) б В', где ~р — (В Я Ве)-нзоморфизм модуля В иа М„.) б) Обратво, пусть  — алгебра иад полем Х такая, что для всякой алгебры А, содержащей В и имеющей с ией общую едивицу, каповический гомоморфиэм алгебры В 3к В' в А (где В' — коммутант В в А) биективеи.
Показать, что алгебра В проста, ее центр равен К и ее ранг иад К комочек. (Отождествив В с его кольцом левых умножений УРь, пргсченить предположение к случаю А =,2к (В); пользуясь предложением 4 $1, и' 2, вывести отсюда сначала, что алгебра В квазипроста (1 б, упражвеяие 5) и что центр В есть К; отсюда, пользуясь упражнением 61 7, вывести, что алгебра ск (В) проста и имеет конечный ранг иад К.) '3) Пусть У вЂ” левов векторное пространство над телом Р с центром Я, (1 — кольцо эидоморфизмов абелевой группы У; отоясдествпы Р с подкольцом Ру с П гомотетий пространства У. Пусть à — группа автоморфизмов тела Р, я — группа его впутренвих автоморфпамов, откуда следует, что Л изоморфна Ве12е, для любого автоморфпзма о б Г через о обозиачим класс о (шоб б), через С (с) — множество полулинейпых отображений пространства 1' в себя, соответствующих автоморфизмам тела Р иэ класса а; в частности, С (1) состоит кз элементов вида Ли = кЛ, где Л Е .Р и и Е .Ип (У) = А.
а) Пусть М вЂ” множество полулияейиых отображений простран- ства У в себя, г" — левое векторное подпростраяство пад телом Р, пгоптьгн подкольца. изоыогюизмы простых.коднц 259 порожденное в (1 множеством М [совпадающее с правым векторным подпространством над телом Н, порожденным М). Пусть Р (о), где о Е Г/Л, — подпространство, порожденное в Р элементами и Е М, лежащими в С (а); тогда Р является прямой суммой подпространств Р (о). Кроме того, всякое множество Х полулинейных отображений пространства У в себя, входящее целиком в некоторый класс С (и) н свободное над Я, свободно также (слева н справа) нзд 6. (Доказывать одновременно оба утверждения, рассматрпвая для етого первичные соотношения (гл.
11, 3 5, и' 4) между нолулинейнымн отображениями с козффнцнентамн из тела 6.) б) Показать, что всякое подмножество Н < Р, являющееся одновременно левым и правым векторным пространством над 6, порождзетси полулннейнымн отображениями пространства У в себя, входящими в подпространства Г (о). (Рассматривая Р и Н как левые венторные Р-пространства, выбрать в Р базис, составленный из злементов М [] С (а), а в Н ваять элементы, первичные относительно етого базиса (гл.
11, з 5, и' 2).) *4) Пусть У вЂ” векторное пространство над телом Ю с центром Я, (] — кольцо эндоморфиамов абелевой группы У, А — кольцо йп(1'), коммутант пространства У. Пусть е — автоморфизм кольца А; множество таких злементов и Е П, что е (а) = иаи-т для любого а ( А, обрааует в И надпространство (левое и правое) 1]и = иО, где и— некоторая полулннейная биекцня пространства У на себя.
Пусть Н (6), где6 — некоторая группа автоморфнзмов кольца А,— векторное подпространство (левое и правое) надтеломО, порожденное вЯ полулннейнымн биекцнямн пространства У, соответствующими злемепгам группы 6 коммутант 1 (С) этого подпространства в П является в А подкольцом, состоящим нз злементов, инварнантных относительно С. Пусть' Оо — подгруппа в 6, состоящая нз внутренних автоморфиамов кольца А, Ю (6) — векторное пространство над полем Я, порожденное обратимыми элементами кольца А, соответствуюшнмн элементам группы Оо, Р (6) является подкольцом з '5п ( У), содержащим Я. а) Пусть (с„) — базис пространства 6 (6) над Я, составленный нз обратимых элементов кольца А, онределяющнх внутренние автоморфиамы из группы Сз; пусть (ге) — система представителей классов группы С по шод Сс, и для каждого вз пусть из — соответствующая ему полулинейная бнекция пространства 1'.
Показать, по элементы с„ис образуют баанс (левый и правый) пространства О(6) над телом 17 (испольаовать упражнение За)). В частности, размерность [О (О): 17] конечна тогда н только тогДа, когда конечны (6: Ое) н [6 (6): Я], н в етом слУчае [6 (6): Ю] = (6; Оо) [о (6): Я]. б) Показать, что Ю (6) = О (6) [] А и что пространство О (Се) = = 1)о (6) канонически наоморфно Ю (6) Ях Р (воспользоваться упражнением За) $10 и упражнением 19 ] 7).
17з полупвоптыв модули и НОльцА Рл. Упд 1 10 в) Элемент и Е С (6) является полуликейкым отображением пространства У в себя тогда и только тогда, когда он имеет вид Леид, где Л б 17 и о 5 Я (6) (испольаовать б) и упражнение За)). г) Показать, что 1 (6) [) Š— поле и 1 (6) и 2 линейно раздельны над 1 (6) [) 2 (рассмотреть первичное соогкоепевке с коаффйцвевтами из 2 между элементами некоторого семейства иа 1 (6), свободного над 1 (6) [) Е). д) Показать, что если кольцо Я (6) просто и о (6) и 0 имеют конечный ранг вад Е, то кольцо С (0) квазяпросто (использовать б) и упражнение За), примеиевное к двусторовнему идеалу кольца П (6)). е) Пусть пространство У конечномерно над О, П (С) имеет конечный ранг вад Р и кольцо Ю (6) просто.
Показать, что кольцо 1 (6) просто и [А: 1 (6)) = [Я (6): Е[ (С: Се). Кроме того, С (6) есть коммутакт кольца 1 (6) в П, а Я (6) — коммутант кольца 1 (6) в А. Наконец, группа С автоморфязмов кольца А, оставляющих инвариантяымп элементы 1(С), состоит иа автоморфиамов вида а-ь гак ', где г пробегает множество обратимых элементов кольца С (6) (воспользоваться упражнением 16 4 5, в' 6), Если Се =- 6, то 1 (6) содержит Е. в случае, когда ракг [О: Е[ конечен, верно обратное утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
