Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 60
Текст из файла (страница 60)
По теореме 1 $ 10, и' 1, К-автоморфизм бч й + ри -ь. л — ри является сужением на К (и) некоторого внутреннего автоморфизма х -э. эха т тела П. Так как автоморфизм Ю не тождественный, то и Е Х; но 0' — тождественный автоморфизм, так что ог принадлежит коммутанту подпола Х, в Х), то есть Х,. Более того, э Е К: если э' б К, то Х = К (о') и 0 — тождественный автоморфизм поля Х. 267 поимининия Положим ий = а, ой = () и ио = ю. Тогда эио ' = — и, то есть из = — ои и ил = и си о = — и г = — сф, ою = пи о = — иэ = й й — — й— = — ри, юэ=иэй='()и, юи= или= — и о= — ао, ию= = и'э = ао. Остается доказать, что элементы 1, и, о, ю образуют базис тела Р над К. Но в противном случае существуют такие элементы Л, р, т Е К, что ю = Л+ ри+ то, следовательно, (и — т) о = Л + ри, откуда следует, что о Е К (и) = Р.
напомним (гл. 11, 1 7, п' з), что алгебра кзатерипояоз над полем к характеристики ~2, соответствующая паре (а,(1), ие всегда является телом; для этого необходимо и достаточно, чтобы равенство хй— — ах1 — рхй + а(йха = О (где ха, х„хй, хг б К) влекло хе —— ей —— = О. Слвдствии. Пустпь Р— некоммугпативное тело конечного ранга над своим центром К. Если для любого х ~ Р поле К (х) имеет рана < 2 над К и характеристика поля К отлична от 2, то Р— тело кватернионов над К. Пусть Р— максимальное подполе тела Р, сепарабельное расширение поля К (з 10, и' 3, предложение 4). По предложению 4 гл. Ъ', з 11, и' 4, это расширение моногенно и, по предположению, имеет степень <2.
Следовательно, Ю, К! = 1 или Ю, К) = 4 (з 10, и' 3, следствие предложения 3). Так как Р некоммугативпо, то Ю: К) = 4, и можно применить предложение 1. Пусть К вЂ” поле и Р— тело кватернионов над К. Изоморфизм х -й х тела Р на Ре инволютивен (гл. 11, з 7, и' 8), и для любого х ~ Р элементы х + х и хх принадлежат центру тела Р. Обратно: Пгкдложвнив 2. Пусть Р— некоммутативное тело харааперистики Ф2, конечного ранга над своим центром К. Пусть хе- х~ — К-изомор4изм тела Р на противоположное тело Ре, павкой, что при любом х б Р элементы х + х и хх принадлежапй К.
Тогда Р— тело кеатернионов над К, и хз = х для любого х ~ Р. В самом деле, для любого х ь Р справедливо равенство х' — х (х + хг) + ххз = О, откуда следует, что поле К (х) имеет над К степень >2. По следствию предложения 1 Р есть тело кватернионов над К. Кроме того, если х4 К, то Х' — (х+ хз) Х+ + ххг — минимальный многочлен элемента х над полем К в К (х). 268 полупРОстые мОдули и кОльцА гл, уп1, $11 Но х' — (х+ х) х+ хх также равно О, откуда следует, что.
многочлен Х' — (х + х) Х + хх является минимальным много- членам элемента х в К (х); позтому х> = х. Пусть К вЂ” упорядоченное поле. Тогда условие х', + х', + х', + + х, = О влечет х, = х, = хг = х, =- О, то есть алгебра кватернионов над К, соответствующая паре ( — 1, — 1), является телом. Обратно: ТеОРемА 2 (Фробениус). Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, Р— сгв нвкоммутативнвс надтвло конечного ранга над К, содержащее К в цент)>е. Тогда Р К-игомор4но телу кватсрнионов над К, соответствующему паре ( — 1, — 1). Всякое (коммутативпое) алгебраическое расширение поля К имеет степень 1 или 2 (гл.
>>], $ 2, и' 6, предложение 9); поэтому следствие предложения 1 показывает, что Р— тело кватернионов над своим центром С. Так как Р— тело, то С не может быть алгебраическн замкнутым (т 4, п' 3, лемма 3). Следовательно, С = К. Всякий злемент поля К имеет вид и' нли — и', где и ~ К (гл. >>1, т 2, п' 5, предложение 6); следовательно, алгебра кватернионов ат К, соответствующая паре (и, [)), может быть течом только в случае, когда и = — Ле и р = — рг (гл.
11, з 7, и' 8); в этом случае тело Р К-изоморфно алгебре кватерниоиов, соответствующей паре ( — 1, — 1) (гл. [), т 7, и' 8). У яр аж не ни я. 1) Элемент х алгебры А яад полем К называется алгебраическим, если подалгебра К [х), порожденная этим элементом и 1, имеет конечную рагмерноотея в этом случае идеал алгебраических соотношений, которым удовлетворяет х, имеет вяд О), где / — уяктаряый многочлен ~0 яз К [Х), называемый минимолъиим ииоеочлеиои элемента х яад К; стеяень ) называется етепеиью х над К. Алгебра А называется олеебреичеекой яад полем К, если всякий ее алемевт аагебраичен над К. Всякая алгебра кояеч- ' аого ранта над К аагебраячна яад К. а) Показать, что всякая алгебраическая алгебра является псевдорегуляряым кольцом (1 6, упражнение 14) (заметать, что если элемент х аагебранчек яад К, то сушестяуют целое число к,р 0 и элемент у 6 к [х] такой, что хь = хь ' у). тогда радикал алгебры А будет няльядеалом (1 6, упражнения 14а) и 136)).
Всякая яодалгебра и всякая факторалгебра алгебры А алгебраичны. ПРИМЕНЕНИЯ б) Пусть Р— тело с центром К и все его элементы алгебраичпы иад К и имеют степень < т. Показать, что (Р: К) '(тз (использовать лемму 1 б 10, и' 3). в) Пусть А — примитивная алгебраическая алгебра вад К ($ 5, упражнение 5) и все ее элементы имеют степень <т над К. Показать, что А есть алгебра матриц лтг (Р) над некоторым телом Р, все элементы которого алгебраичны над К и их степени <т; при этом г < т.
(Используя теорему плотности (б 4, и' 2, теорема 1), показать, что если алгебра А не простая, то для любого а в ней найдется подалгебра Вз такая, что некоторая ее факторалгебра ивоморфыа алгебре матриц луа (Рз) ыад некоторым телом Рз, и ааметвть, что в Лаз (Р„) существуют элементы з такие, что з"-г Ф 0 н зя = 0.) г) Пусть А — алгебраическая алгебра без радикала вад бесконечным полем К и все ее элементы имеют степень <т пад К. Пока- вать, что А полупроста и имеет не болеет простых компонент.
(Заметить сначала, что прямая композиция з алгебр над полем К содержит алгебраические' элементы степени з ыад К; ватем,применяя индукцию по х н испольауя в), показать, что если а = () вй — пересечение рааличных максимальных двусторонних идеалов ж; (1 < 1 < й) алгебры А, то А/а полупроста и имеет й простых компонент. В ваключение применить упражнение 7 6 6.) Если поле К соэершеыно, то алгебра А имеет над К конечный ранг, 2) а) Пусть К вЂ” конечное поле.
Показать, что если все элементы ыадтела Р алгебраичвы над К, то Р— поле. (Пусть 2 — центр тела Р и 2 Ф Р; пусть х — элемент тела Р, не принадлежащий Е. Показать, что существует алемеят у с Р такой, что у2 (х) у-' = 2 (х), и оужепие на 2 (х) отображения з — узу-' не является тождественным рассматривая в Р подтело К (х, у) и применяя теорему 1 и' 1, вывестп отсюда протыворечие.) б) Показать, что алгебраическая алгебра без ненулевых нильпотентных элементов нзоморфна некоторой подалгебре проваведения тел. (Рассматривап минимальный многочлен элемента х Р А, заметить, что если образ 7(х) атого алемеыта при ыекотором гомоморфизме 7 алгебры А в алгебру В ыильпотептен и чьО, то элемент х сам нильпотентен. Затем, рассуждаы, нак в упражнении 1в), рааобрать частный случай, когда алгебра Л примитивна. В заключение применить упражнение 1а) и упражнение 7 $ 6.) в) Вывести иа а) и б), что алгебраическая алгебра без ненулевых ппльпотевтных алемевтов над конечыым полем коммутатявпа.
г) Пусть А — алгебракческая алгебра без радикала иад конечным полем К н все ее элементы имеют над К степень <т. Покаэатго что существует такое расширение К конечной степени поля К, что алгебра А иаоморфпа подалгебре произведения (угг (Е))г (7 — некоторое множество индексов), все проекции которого — простые алгебры (см. упражнение 1в)). Доказать обратное утверждение. пплупРОстыи мОдули и кОльцА Рл. чп1, $11 *3) Пусть А — такое кольцо, что для всякого х Е А существует целое число л (х) ) 1, удовлетворяющее условию зс("1 = з.
Пока- зать, что А является прямой компоаицией конечного числа алгебраи- ческих алгебр без ннльпстекгных элементов ~0 иад конечными пола- ми и, следовательно, коммутативных (укрзжнение 2в)). (Заметить сначала, что для любых двух злемекгов л, У б А существует целое число г ) 1 такое, что *' = я и у" = у. Вывести отсюда, что а>врг- тивная группа А является группой кручения, а ее р-компоненты Ар (гл.
Ч11, 4 2, и' 2) — двусторонними идеалами кольца А; показать, кроме того, что для любого х б Ар выполняется равенство р* 0.) 4) Пусть Р— некоммутативное тело с центром К и для всякого з б Р подполе К (*) имеет над К ранг (2. а) Показать, что если характеристика тела Р не равна 2, то Р тело кватерниоиов над К (см. упражнение 1б)). б) Показать, что если характеристика тела Р равна 2, то в нем имеется базис (1, и, з, е>) над полем К такой, что из=а, Рз=г+р> ии=м, си=к+и, и =ар> ик>=()и, и>о=рк+я>, з>и=а+ко, км=ае, где а Е К, ($ б К.
Обратно, указанная выше таблица умножения при любых а, р б К определяет алгебру А с центром К н ранга 4 над К. К-линейное отображение л -~ з алгебры А на себя, определенное. равенствами 1 = 1, к = и, з = з+ 1, е> = з>, является пзоморфизмом А на противоположную алгебру А', при котором элементы з + ю и зз = зз принадлежат К. Для того чтобы алгебра А была телом„ необходимо и достаточно, чтобы равенство к>+веха+ Рва+а (к>~+кгзз+Щ) =О, где з> Е К (О ~ 1 < 3), влекло ле — — з> = зз = в = 0; в частности; а и а() не должны быть квадратами в поле К (что невоаможио, если поле К несовершенно) и многочлен Хз + Х + (3 должен быть напри водим над К (см. б 12, упражнение 6). в) Пусть Ке — поле характеристики 2, К = Ке (Х, У) — поле рациональных дробей от двух переменных над полем К. Покааать, что алгебра А над полем К, имеющая таблицу умножения, описанную в б), при и = Х, р = > является телом.
г) Пусть Р— некоммутативное тело с центром К, з -~ я~в К-изоморфиам тела Р на Ро, при котором элементы я+ з"1 и *я>' для всех х Е Р лежат в К. Показать, что если характеристика поля К не равна 2, то Р— тело кватеряиоиов над К, если же характеристика поля К равна 2, то Р— тело типа, описанного в б); показать также, что х = к для любого з 6 Р; такое тело называется рефлексивным. *5) а) Пусть Р— тело е центром Я, и А = я(я(Р) — простая алгебра кояечного ранга над полем К; пусть з -> иг Х;изомор- ПРИЫЕНКНИЯ 27$ фиэм А па противоположную алгебру Ао такой, что (х'-) = х для х'- 1— любого х Е А (инвввютивний антиавтвмврфивм алгебры А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
