Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 58
Текст из файла (страница 58)
*5) Сохравяя обоаначенвя упражнения 4, предположим, что размерность пространства У над телом 17 кокечпа. Подкольцо С иааывается слабым подкольцом Галуа кольца .4, если его коммутант С' 0 в П порождается, как векторное 17-пространство (левое яли правое), полулияейными отображениями пространства У в себя (не обязательно бвективнымп). а) Показать, что если слабое подкольцо Галуа С полупросто, то У вЂ” полупростой модуль конечной длины над кольцом СС, порождевкым в П подкольцамя С я 17. (Пусть Х~ (1 ~( 1 ( е) — изотвпные компоненты полупростого С-модуля У; каждая компонента )Уе является 110-модулем конечной дливы; пусть М вЂ” простой подмодуль атого 1)С-модуля. Показать, что для любого полулинейяого отображения г б С' пространства У в себя е (51) также является СС-модулем, и Х; содержится в сумме модулей е (51), где о пробегает множество полуливейных отображений, содержащихся в С', для атого использовать упражнение 7б) 4 4; в заключевве применить предложение 8 43, в'3.) б) Предположим, что слабое подкольцо Галуа С просто я его коммутаят Со = А [) С' в А — простое кольцо (см.
упражяепке 9); показать, что У вЂ” изотипный полупростой ВС-модуль (заметить, что С; является коммутантом подкольца ВС в П, и применить предложение 5 4 4, по 4). Вывести отсюда, что С' пороэгдаегпеп (как векторное пространство вад телом 0) биектявяыми полулияейвыми отображениями; в этом случае С называется подкольцом Галуа коль- 26( ца Л. (Пусть и р С' — полулинейное отображение ~0 пространства у п в себя, и р = ч~~М> — разложение пространства )> в прямую сумму изоморфяых простых РС-модулей; можно считать, что и (М ) =- и = Л', м- (О); тогда найдется разложение у = — ч~р~Л>> пространства у >=> на изоморфные простые РС-модули, один иа которых есть Л'П вывести отсюда, что существует биективное полулинейное отображение ш пространства 1' в себя, принадлежащее С', совпадающее с и на 21, и такое, что и = иш-> Е С;; в заключение воспользоваться следующей леммон: всякая квадратная матрица порядка и над телом В является суммой обратимых матриц порядка п; эту лемму можно докааать, заметив, что если матрица С нильпотентна, то матрица 1 — У обратима.) " 6) Сохраняя обозначения упражнения 4, предположим, что размерность пространства г' конечна.
Некоторая группа 6 автоморфизмов кольца А = Хп (р) называется группой Галуа, если она удовлетворяет следующим условиям: 1' (С: Со) и (Ю (6): 2] конечны; 2' Ю (6)— простое кольцо; 3' для любого обратимого элемента с б Ю (6) внутренний автоморфиам а -+ еае > принадлежит Сэ. а) Пусть $ — множество подгрупп Галуа группы С. Показать, что отображение Н вЂ” и 1 (Н) является убывающей биекцией множества $ на множество нростых' подколец С кольца А, содержащих 1 (6), у ноторых коммутант С; в Л прост. (Для доказательства инъективностн этого отобра>копия использовать упражнение 4е). Для доказательства сюръективности сначала с помощью упражнений Зб) и 5 установить, что] кольцо С, удовлетворяющее указанным условиям, будет кольцом Галуа (упражнение 5); показать, наконец, что если Н— группа автоморфиамов кольца Л, оставляющих инвариантными элементы С, то С = 1 (Н) (пспользовать упражнение 16 $ 5, и' 6) и Н— группа Галуа.) б) Пусть С„Сз — простые подкольца в Л, содержащие 1 (6), и их коммутанты в Л просты.
Показаттн что для любого изоморфизма >р кольца С, на Сз, оставляющего инвариантными элементы 1 (6), существует элемент из группы С, совпадающий на С, с ш. (Используя равенство Л (С„! (6)) = Ь (Сз, 1 (С)), показать сначала, что длина )> как С,-модуля совпадает с его длиной как Сз-модуля. Вывести отсюда, что длина его как РСпмодуля совпадазг с его длиной как РСз-модуля; для этого заметить, что множество )г' таких элементов ! Е 1), что 1 (е,х) = >р (е,) ! (х) для любых е, Е С и х б У, не сводится к 0 и к нему можно применить результат упражнения Зб); если ш ~ 0 — полулинейное отобра;кение пространства )е в себя, принадлежащее И', и М, — простой подмодуль РС,-модуля У такой, что ш (М,) = Л", = (0), то сужение отображения ш на М, является полу пгостын модули и кольца гл. чш, 1 16.
биекцией на В, и длина С>-модуля М, равна длине Сз-модуля е>>г (использовать упражнение 56)). В заключение, рассуждая, как в упражнении бб), показать, что существует биективное полулинейное отображение г б И', совпадающее на М> с и>.) в) Рассмотреть следующие частные случаи результатов а) и б): 1'6=6с (см.
в' 2, теорема 2); 2' 6е —— (1); показать, что всякая конечная группа автоморфизмов кольца 6, удовлетворяющая этому уеловкю, будет группой Галуа и коммутаит в А любого его простого подкольца, содержащего 1 (6), равен 2; 3' размерность пространства У равна 1, откуда следует, что А есть тело, изоморфкое Ро; 1 (6) тело, и коммутант в А любого его подтела, содержащего 7 (6), есть тело. Разобрать частный случай, когда Р— поле (см. гл, т', 1 10). *7) Пусть Р— тело с центром 2, отождествленное с кольцом эндоморфизмов Х»е (Рг) (1 1, ~' 2), и Рс отождествлено с кольцом гомотетий модуля Р„.
Пусть 6 — некоторая группа Галуа (упражнение 6) автоморфнэмов тела Р; положим, в обоаначаниях упражнения 6, Е = е (6), Е' = Ю (6); Е и Е' являются в Р подтелами, и Е' — коммутант Е в Р. тогда группу 6 моя<но отождествить с подмножеством таких элементов и б У (6), что и (1) = 1. Еа отожде- ствлЯетсЯ с поДтелом в Ре, состоЯЩим иэ гомотетив )>г: Ь вЂ” ь $Ь моДУ- ля Р„где й б Е; выполняется равенство [Ре: Ее[ = [Р: Е). а) Обозначим через В подкольцо, порожденное в (е множествами 6 и Ее; это будет векторное пространство над Ее. Показать, что [В > Ее[ = [Р, Е) тогда и только тогда, когда либо Е' = 2 (иными словами, 6с — — (1)), либо Е' с Ь'.
(Заметить, что' в обоаначениях упражнения 4а) можно считать, что ир б 6; тогда в пространстве У (6) над Ре имеется базис, состоящий иэ элементов (аа~)геаир, принадлежащих 6; можно считать, что один иэ элементов еа равен 1. Для доказательства веобходимости условия заметить, что если оно не выполнено, то один нз элементов е„не принадлежит Е; выразив затем элемент (1 + еа);,> (1+ еа) кольца В через указанный базис пространства С (6), показать, что этот базис не моя<ет бмть базисом В над Еэ.) б) Предположим, что Е' = 2 или Е' г Е. Покааать, что У(6) является В-модулем с бааисом из и = [Р:Е[ элементов.
О другой стороны, У (6) отождествляется с 2'н (Рк), где Рл есть тело Р, рассматриваемое как векторное Ь'-пространство (упражнение 4е)); вывести отсюда, что У (6) как У (6)-модуль является прямой суммой н подмодулей, изоморфных Р, рассматриваемому как У (6)-модуль (1 1, упражнение Зв)), и, следовательно, У (6) как В-модуль также является прямой суммой и подмодулей, иэоморфвых Р (рассматриваемому как В-модуль). В заключение докааать, что В-модуль Р маногене>е (см. 1 2, упражнение 2), иными словами, пространство Р иад телом Е имеет нар,наеьнмй баеие, состоящий иа образов некоторого элемента Р при некоторых автоморфизмах группы 6.
простыв подкольпл. изомогюизмы простых колиц 263 *8) Сохраняя обоавачеиия и предположения упражиеиия 7, будем считать, что лове Я бесконечно. а) Пусть Е" — коммутавт тела Е' в )). Показать, что существует такой элемевт Ь Ь Е", что Е" = Е (Ь) (подтело, порождевкое в С подтелом Ь" и элемеатом Ь). (Заметить, по, ввиду упражневия 6, существует лишь кояечаое число автоморфиамов тела Е", оставляющих иавариаатвыми элемевты Е; вывести отсюда, что найдется элемент Ь Ь Е, веиввариавтвый лри каждом иа атих автоморфиамов, л воспольэоваться упражнением ба).) б) Пусть Ьà — максамальиое подполе тела Е', сепарабельиое иад центром Т = Е' П Е" тела Ь"; пусть Ьс = Т (с). Покаэать, что существует лишь конечное число рааличаых элементов и (с), принадлежащих ЬГ, когда и пробегает С.
(Свести доказательство к случаю внутренних автоморфиэмов и Ь С и эамстить, что если в этом случае и (с) Ь Ьг, то и (Ьс) = У и и оставляет иивариаатиыми элементы Т.) в) Пусть Ьс' — коммутавт Ьс в 7). Вывести иа а) и 6), что существует такой элемевт э б Е, что Ьс' =- Ь'(а), где а = с — хЬ (показать, что при подходящем выборе элемента х не существует ваешиего автоморфиама и Ь С, оставляющего иавариавтиым а, и примевпть упражаевие ба)). г) Покаэать, что в теле 7) имеется такой элемеат а', что с) = = Р' (а') (испольэовать улражиеаие 76), аамеиив в вем Е ва ЬС'), следовательно, Н = Ь (а, а'). 9) Пусть К вЂ” поле, З вЂ” его циклическое расширение степени )~3 (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
