Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Тоеда определитель матрицы М равен определителю квадратной матрицы,0 (М!1, ..., М„„) порядка т. Проведем индукцию по и; случаи и — - О и и = 1 тривиальны. Пусть У, — новая переменная и Л"1! — матрица Мы + б!!2Т Если Р" (Х11,..., Х„„) — алгебраическое дополнение злемента Х1! в матрице Х, то ~ Х„Ргь(Хп, ...,Х„„)=б,,Р(хтп ..., Х„„) (26) ! — --1 (гл.

1П, З 6, п' 4). Положим 12';!=Р" (1т'!1, ..., 1!'„„)„Ю1!— матрица порядка т иад А [Я[, Рассмотрим произведение УДг, где )У1! ~'!2 ~"о О 1 ... О ~ 1! !2 '~~ 1о д! '!21 !'22 !!2!! ! О О 1 !У!41 ! л2 ° ° "! О!! Вычисляя это произведение поклеточно (гл. П, $6, и' 4) 12 282 полупгостые модули и нольп» Гл. у!И. с сз польауясь формулами (25), получим Р О ...

О [уЛ Л'г! %22. ° ° Л'га Жа! Лп2 ° Жиа где положено Р=Р(Х!1, ..., Л'„„). Пусть =(:::::.) — матрица порядка т (и — 1); имеем равенства (деС ЕУ) (![еС Ю) = = (![еС Р) (!СеС Д) и !СеС 11 = ![еС Л, (гл. 111; 4 6, и' 4, формула (14)). Но, по предположению индукции, деС (1 = .= ![еС (Рг» (Л„,..., Ю„„)) = ![еС Л!;„Откуда, по определению Ж!го ясно, что 9 — унитарный многочлен из кольца А [Я[ степени лг (и — 1) и, следовательно, не является вА [Я[ делителем О.

Отсюда ![еС Л' = ![еС (Р (Л1!1, ..., Л!„„)), причем оба эти многочлена принадлежат А [Я[; подставляя в них О вместо г,, получим беС М = ![еС (Р (Мы,..., М„„)). Доказав эту лемму, разложим К-модуль $' впрямую сумму К-модулей Ает (1 ~<)~<в); положим и (ет) = Х с;»е». Для й:! .любого элемента хег Е Ае1 (где х Е А) компонента элемента и (хет) в Ае» равна хсг»е», отсюда следует, что матрица эндоморфизма и» относительно базиса (а!ет) имеет вид квадратной таблицы (мт»), где м㻠— матрица к-линейного отображения хе!- -+- хсг»е» модуля Ае; в Ае» относительно базисов (а!ег) 1~1~ и (а!е»)!<;с этих К-модулей (гл.

11, с 6, п' 4). Матрица М;ю очевидно, является также матрицей К-зндоморфизма алгебры х-+- хс,» относительно базиса (а!) алгебры А над К; отсюда следует, что матрицы М!» попарно перастанавочнм, так что по лемме 2 ![еС ия = деС (Р (Мыь ..., М„„)). Однако Р (Мы °, М„„) является, очевидно, матрнпей К-эндоморфизма х - х ![еС (с;») алгебры А относительно базиса (а!); по определению, ее опреДелитель Равен тогДа У,»~к (ОеС (и)), что Доказывает втоРУю я формулу (24). С другой стороны, Тг (ик) = ~~ Тг (М»ч) = 1=1 283 НОРМЫ И СЛЕДЫ Тгл/к (сн) = — Тгл/к (~ с//) = Тгл/к (Тг (и)), и тем самым /=1 предложение 7 полностью доказано. Следствие.

Пусть К вЂ” коммутативнзе кольцо, А — коммутативная алгебра над К, имеющая над ним конечный базис, В— алгебра над А, имеющая над ней конечный базис. Тогда алгебра В имеет конечный базис над К и для всякого х ~ В выполняютася равенства: Тгв/к (х) = Тгл/к (Тгшл (х))1 ХВ/к (х) = ХА/к (Р(В/А (х))~ (26) Роз/к (х' Х) = ь1А щ/к ~х1 (Ров/А (х; Х)) (зформулы транзитивностиз).

Достаточно в предложении 7 ааменить У па В, а и — на отображение х -+. ху. 3. Приведенные норма и след Пусть А — простая алгебра конечного ранга и' над своим центром К (з 7, и' 4, следствие 3 теоремы 2), и Т вЂ” ее нейтрализующее поле (з 10, и' 5); по определению, алгебра А<ю — — Х ®к А изоморфна алгебра матриц М„(А). Для любого элемента х ~ А и любого Ь-изоморфизма Ь алгебры Ь ®» А на М (Ь) след, определитель и характеристический многочлен матрицы Ь (1 ® х) не зависят от изоморфизма Ь (з 10, и' 1, следствие теоремы 1).

Покажем, что Тг (Ь (1 ® х)) и аез (Ь (1 ® х)) — элементы поля К, Рс (Ь (1 ® х); Х) — элемент кольца К (Х! и все они не зависят от рассматриваемого кейтрализующего поля Ь. Мы ограничимся доказательством этого утверждения для следа. Пусть / — К-изоморфнзм поля 7 па некоторое расширение Т' поля К; его единственным образом можно продолжить до К-изоморфизма алгебры Ь 8» А на Ь' 8» А и до К-изоморфизма алгебры ЗХ (Ь) на зл„(Ь'); эти изоморфизмы также будем обозначать через /; / ° Ь ° 7'-' является Ь'-изоморфизмом Ь' алгебры Т ' /3к А на М„(7'), и для любого х Е А имеем равенство 7' (Ь (1 ® х)) = = Ь' (1 ® х); следовательно, Тг (Ь' (1 ® х)) = Т (Тг (Ь (1 ® х))). Предположив сначала, что Х вЂ” поле Галуа над К, и применив предыдущие рассуждения к К-автоморфизмам /' поля Ь, убеж- 284 полупгостые мОдули и кОльцА гл.

у111, з $2 Тгй (х+ х') = Тга (х) + Тга (х'), )чга (хх') = — Лгй (х) )чга (х'), (27) Тга (хх') = Тга (х'х), (28) и если положить Р .а (х; х) = х" + ь,,х"- +... + ь„ Ь„„= - Тга (х), Ь, = (-1)" юга (х). то (20) Пгкдложкнпк 8. Пусть А — простая алгебра конечного ранга и' над своим центром К. Для любого Х~А имеем Т1АГИ (х) пТгаА/ь (х)1 Я Арг (х) (1Чгйлж (х)) 1 Рс,1гх(х; Х) = (Рогалик(х; Х))". (30) Пусть Ь вЂ” нейтрализующее поле алгебры А, п Я вЂ” простой А<~дмодуль; матрица Ь (1 3 х) (в введенных выше обозначениях) является матрицей Ь-эндоморфизма (1 ® х)в модуля Я относительно подходящим образом выбранного базиса. ч. другой стороны, А11,> — прямая сумма и подмодулей, изоморфных Я. Поэтому формулы (30) являются следствием формул (13) и' 2 и предложения 1 и' 1.

даемся, что в этом случае Тг (Ь (1 3 х)) принадлежит К. Пусть теперь Ь произвольно и Л' — расширение полн Л (такнге нейтрализующее поле для А); алгебры Л' 3л А и М„(Л) можно канонически отождествить соответственно с Л1®ь (Т зх А) и Л18ьМ„(1); тогда Ь' = 1 4Р Ь будет Л"-изоморфизмом алгебры Л1 ((Ьл А на М„(Л'), таким, что при любом х~А матрицы Ь (1 ® х) и Ь' (1 ®х) имеют одни и те же элементы, а следовательно, один и тот же след. Окончательно наше утверждение следует из того, что поле Галуа над К, нейтрализующее для алгебры А, всегда существует. (з 10, и' 5, следствие предложения 7), и того, что два произвольных расширения поля К всегда К-изоморфны подполам одного и того же расширения поля К (гл.

ч", з 4, предложение 2, и' 2). Элементы Тг (Ь (1 К х)), йеч (Ь (1 бр х)) и Рс (Ь (1 (х> х)) называются соответственно приведенным следом, приведенном нормой и приведенным многочленом элемента х над полем К и обозначаются Тгйлгх (х), Р(гйл1л (х) н Рсгйл,л (х; Х) (А и К опускаются, если это не может привести к недоразумению). Выполняются равепства1 285 нОРмы н слвды Пвндло>квннв 9. Пусть А — простая алгебра конечного ранга над своим центром К. Если элемент а с А удовлетворяет условию Тгд (ах) == 0 для всех х Р А, то а = О. В самом деле, в предыдущих обозначениях, матрицы Ь (1 ® ах) = Ь (1 ~8) а) Ь (1 3 х) при любом х Е А имеют нулевой след; так как векторное Т-пространство Х бр А порождается алгеброй А, то отсюда следует, что матрица Р = Ь (1 ® а) обладает свойством Тг (РХ) =- 0'для любой матрицы Х Е Ай„(Т), что влечет равенство Р = 0 (гл.

111, з 4, и'5); следовательно, а = О. Пгвдло>ккнив 10. Пусть Р— тело конечного ранга и' над своим центром К, х — такой элемент Ю, что л. = К (Х) —. максимальное подполе в П. Тогда минимальный многочлен элемента х над полем К равен Ров~к (х; Х) .

В самом деле, из теоремы Гамильтона — Кали (гл. УП, $5, и' 3, следствие предложения 8) следует, что Рспгк (х; х) = О, и так как К вЂ” поле, то из предложения 8 следует, что и Рсгбогк (х; х) =О. Поскольку Рсгдогк (х; Х) — унитарный многочлен степени и, то есть той же степени, что и минимальный многочлен элемента х над 'К (з 10, и'3, предложение 3), то тем самым утверждение доказано. Пгвдложкннв 11. Пусть А — алгебра конечной размерности т над полем К, (е>,..., е ) — базис алгебры А над К.

Существуют однородные многочлены Тг (Х>, ..., Х ), 1ч (Хы ..., Х ), Рс (Х>, ..., Х; Х) с когффициентаии из К степени соответственно 1, т и т такие, что для любого элемента х = х>е> +... ... + х е (х; б К) алгебры А Тглгк (х) = Тг (х„..., х ), Р)А/к (х) = 1 (х> ..~ хы), РСА>к (х) = Рс (х>~ э хт~ Х). Если, кроме >ного, алгебра А проста и т = пг, то существуют однородные многочлены Тгд (Х„..., Х ), )чгд (Х>,..., Х ), Рсгй (Хн..., Хы; Х) с коэффициентами из К степени соответственно 1, и н и такие, что Тгол>к (х) = Тгд (х>,..., Хо>). Р)гдлк (х) = Хгд (х„..., х ), Рсгдлгк (х) = Рсгд(х„..., х ).

Положим е;е; = ~~ спкел (снл с К). Если х =,,"~ х>е> (х~ ~ К), то матрица эндоморфизма у -+ ху относительно базиса (е;) алгебры А равна (ч~~ ~х;снк). Следовательно, Тгл>к (х) = ~~'~ х;сын 286 полупгостын мОдули и кольца ' Гл. чг11, $12 >'>Я/к (х) = >1е» (~~~ ~х>с>/>>), Рсл/л (х; Х) = бег (6/>>Х вЂ” ~ х;сиа), что доказывает первое утверждение. Теперь будем предполагать,' что алгебра А простая с центром К.

Пусть 1 — ее нейтрализующее ' поле, являющееся алгебраическим расширением конечной степени поля К (1 10, и' 5, следствие 3 предложения 7). Пусть Ь вЂ” изоморфизм алгебры Ь ® А на л1„(А) и Г> == Ь (1 ® е;); тогда Ь (1 >3 х) = ~ х; Г„откуда Тг ба/к (х) = Тг (~ х;1/>), >1гал/к (х) = . 1 > = бе1 (~ х>1/>), Рсгбл/к (х; Х) = бег (Х1„— ~ х>1/>), откуда следует существование многочленов Тгб (Х„..., Х ), 6(гй (Х„..., Х ), Рсг>1 (Х>, „Х; Х), обладающих свойствами, указанными в формулировке предложения, но с коэффициентами ие полл / .

Характеристики

Список файлов книги