Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Уп, 14 воследнего столбца матрицы СА равны нулю, а а-й является н. о. д. элементов а-го столбца матрицы А (испольаовать упражнение 206)). б) Вывести отсюда, что над кольцом С существует квадратная матрица порядка У с определителем, равным 1, такая, что все элементы матрицы УА = (()11), лежащие выше диагонали, равны нулю («приведепнаяг эрмвтова форма матрицы А). в) Пусть )У вЂ” квадратная матрица иад кольцом С зарядка и с определителем, равным 1, и все элементы матрацы УУА =- (уы), лежащие выше диагонали, равны нулю; показать, что при 1 ( 1 ( л элементы ))п и уп ассоциированы. ; "22) Говорят, что модуль М над кольцом главных идеалов А естЬ модуль конечного ранга, если существует целое число т ) О, обладающее следующимя свойствамн: всякий подмодуль конечного типа модуля М содержится в некотором подмодуле ЛХ, имеющем систему обрааукпцнх на не более чем т элементов.
Наименьшее число т, обладающее этим свойством, называется рангом модуля т. а) Покааать, что если модуль ЛХ конечного ранга, то всякий его фактормодуль конечного ранга и его ранг ие превосходит ранга модуля ЛХ. б) Для модуля беа кручения М понятие ранга, определенное выше, совпадает с понятием ранга, определенным в $3.
в) Показать, что если модуль М конечного ранга, то всякий его подмодуль конечного ранга и его ранг не превосходит ранга модуля М. г) Пусть М вЂ” п-модуль и М (л) = М. Показать, что если модуль М конечного ранга, то он конечного тала. д) Пусть М вЂ” и-модуль беа элементов конечной высоты. Показать, что если модуль М конечного ранга, то ои конечного типа в понятие ранга совпадает с занятием, определенным в упражнении 8.
(Заметить, что если М (л) конечного типа, то и ЛХ конечного тяпа, доказав для этого, что высоты в М элементов М (л) ограничены; для этого использовать упражнение 5 $2.) е) Пусть М вЂ” и-модуль ранга г, Мо — его нодмодуль, состоящий нэ элементов, имеющих в М бесконечную высоту. Покааать, что Ме— делямый модуль, прямая сумма конечного числа р неразложимых подмодулей б'я Я 2, упражнение 3), и модуль ЛХ является прямой суммой Мс п подмодуля Лг конечного типа н ранга г — р. (С помощью д) заметить, что модуль МХМо конечного типа; затем применить упражнение 3 $2.) ж) Вывести из предыдущего, что модуль М имеет конечный ранг г тогда п только тогда, когда его фактормодуль М!Т по подмодулю кручения Т имеет конечный ранг р ( г, каждая пз п-компонент подмодуля Т имеет ранг ( г — р и по крайней мере одна из нпх кв«еет ранг г — р.
з) Пусть (р„) — последовательность различных простых чпсел, пусть Р. — Я-модуль, прямая сумма моиогенвых нодмодулей Я)(ра), ЭИДОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 7$ я е„— элемент модуля Е, все координаты которого, отличные от я-й, равны нулю, а ягя координата равна классу 1 по шод рет Пусть М подиодуль ю-модуля д Х (г, порожденный элеыеятаип (е„, 1/р„). Показать,.что М вЂ” модуль ранга 2, его подыодуль кручения Т порождается элементами (р„е„, 0) п ие имеет в М дополпеяпя. (Пусть е„- класс элемента (е„, 1!р„) по модулю Т; показать, что при любом т ~ я существуег класс у„по модулю Т такой, что г„= р у„, ио э классе яя ие сущестэуег элеиеята г„такого, что прп любом т ф п существует элемент уят б М такой, что яя = рту„т.) б 5.
Эндоморфизмы векторных пространств Овознлчения. Пусть даны модуль Е, элемент х Е Е и эндоморфнзмы и н и модуля Ь'; в этом параграфе вместо и (х), (ие и) (х), ие и мы будем писать соответственно их, иэх, ип. Через [ мы будем обозначать тождественное отображение модуля Е па себя в случаях, когда это не может привести к недоразумению. 1.
Згодуль, ассот(иирооанный с ондомоуЯиэмом Пусть Š— векторное пространство конечной размерности п иад полем К, и и — его эндоморфизм. Рассмотрим кольцо К [Х! многочлвнов от одного переменного Х над полем К. Для любого многочлена р (Х) Е К [Х! н любого элемента х Е Е положим р(Х) х= р(и) х. ($) Тем самым определено билинейное отображение нронэведения К [Х! )1 Е в Е, задающее на Е структуру унитарного К [Х[-модуля.
Множество Е, надвленновэтойструктурой, обозначаетсядалее через Е . Заданная на Е структура векторного пространства получается из Ь'„сужением вго кольца операторов до К. Обратно, всякий унитарный К [Х)-модуль Е', являющийся конвчномерным векторным пространством над К, может быть получен этим способом; это следует из коммутатнвности кольца К [Х): достаточно рассмотреть эндоморфизм и, определенный равенством их = Хх (х с Е).
Мы видим, таким образом, что задание пары (Е, и), состоящей нз конечномерного векторного пространства Е и его эндоморфизма и, равносильно заданию модуля Е„(конечной размерности над К) (см. гл. ![, $ 7, п' 9). Так как К [Х! — кольцо главных 72 модули нАД кольцАми ГлАВных идеАлоВ гл. ч11, «о идеалов (гл. ЪЧ, $1, предложение 7), то к модулю Е„можно при- менять результаты предыдущих параграфов. Некоторые результаты этого параграфа обобщаытсн на случай, когда Ь' — унитарный модуль над произвольным коммутативным кольцом (см.
прнлох<енне). Прежде чем применять зти результаты к модулю Е„, нам необходимо перевести некоторые понятия с языка модулей на язык эндоморфизмов векторных пространств: «У — подмодуль в Е,» означает «)г — векторное подпространство в Е, устойчивое относительно иы «Р — моногенный подмодуль в Е„» означает «существует такой элемент х Я )г, что векторное подпространство У порождается элементами и'х (1 Г.Ж)». «а — аннулятор подмодуля У» означает «а — идеал, состоящий из таких многочлепов р (Х) Е К (Х), что р (и) Х = 0 для любого х Е У». Унитарный многочлен у, такой, что а является главным идеалом (д), называется минимальным многочленом сужения эндоморфизма и на )г. «Е — монотонный модуль, и аннулятор а = (а)» (где д(Х) =Х" +ав <Х" 1) означает «существует такой элемент х с Е, что элементы (и< х) (О <1<к — 1) составляют базис векторного пространства Е, и д (и) х = 0».
Другими словами, в пространстве Е существует базис, относительно которого эндоморфнзм и имеет матрицу 0 0 0...0 — ао 1 0 0...0 — а, 0 1 0...0 — а, (2) 0 0 0...0 — а„з 0 0 0...1 — а„, Имеет место, прежде всего, следующий результат: Лемма 1. Пусть Š— вектпорное пространство конечной раямерности и над полем К, и и — его гндомор4иям. К (Х)-модуль Е„, х ЭНДОМОРФНЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 73 определенный формулой (1), является модулем кручения конечного типа. Пусть (е;) (1 < [ < и) — базис пространства Е; так как К [Х! содержит К, векторы е, составляют систему образующих К [Х[-модуля Е„, который является, таким образом, модулем конечного типа, С другой стороны, если бы он не был модулем кручения, то в нем имелся бы по/пиодуль, изоморфпый К[Х [; однако зто невозможно, так как К [Х[нмеетнадКбесконечную размерность.
Теперь мы сформулируем в новых терминах 'теорему о разложении модуля кручения конечного типа, о котором идет речь в теореме 1 з 2, п' 2: Предложении 1. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и над полем К, и и — его эндоморфизм; для любого неприводимого унитарного многочлена р (Х), делящего минимальный многочл н д (Х) эндоморфизма и, через Мр обоз ачим векторное подпространстео, состоящее из элементов х Е Е, для которых существует такое целое число /с, что (р (и))ь х = О.
Тогда Мр устойчиво относительно и, Š— прямая сумма подпространств Мр и существуют такие многочлены гр, что компонента любого элемента х в Мр равна г„(и) х. 3 а м е ч а и и е. Ясно, что минимальный мпогочлеи сужеиия видоморфигма и иа Ьт р является иапболыпей степенью ывогочлеиа р, делящей о. Аналогично по теореме 2 з 4 модуль Е„изоморфен прямой сумме моногенных модулей Рг — — К [Х]/ а; (1 </<г), где аг— различные идеалы кольца К [Х[ и аэ с:. ат~б этими условиями идеалы ат определяются однозначно. Так как, кроме того, Е модуль кручения, то а~ = (д) ~ (0); так как размерность Е равна и, то г<п. Положим а; = (/т;) (1 <[<г), где /гт — унитарный многочлен, и рассмотрим последовательность многочленов (д~) (1<г~<п), определяемую формулами ! д, (Х) =1, если 1<к †(З) д~ (Х) = 6„;+, (Х), если и — г < г <и.
Эта перемена обоавачеипй имеет целью привести их в соответствие с обогиачеипямп, припекаемыми в приложении, где будет показало, 74 модули нАд кОльцАми ГлАВных идеАлОВ Гл. у11, $5 что модуль ры канонически нземерфен некоторому фактермедулю свободного К [Х)-модуля. Ясно, что анание многочленов д; эквивалентно знанию л1, вт модуль Е изоморфен прямой сумме и модулей К [Х[!(дс) 11 <1<и), из которых первые и — г снодятся к О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
